En este apartado, vamos a determinar la ecuación de la elipse que describe una partícula que dista r₀ del centro de fuerzas, disparada con velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo φ entre dicha velocidad y la línea que une el centro fuerzas y el punto de disparo, tal como se muestra en la figura.

Fuerza central y conservativa

Por ser la fuerza de atracción conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria y vale

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-G\frac{Mm}{r_0}}$

Por ser la fuerza de atracción central, el momento angular es constante en todos los puntos de la trayectoria.

L=mr₀·v₀·sinφ

En la página, Ecuación de la trayectoria, obtuvimos

${\displaystyle r=\frac{d}{1+\epsilon \cos (\theta -{\theta }_0)}}$

r y θ son las coordenadas polares de la partícula y ε<1 es la excentricidad de la elipse.

Para θ=0, la distancia de la partícula al centro de fuerzas es r=r₀. Obtenemos el valor de θ₀

${\displaystyle \cos \left(-{\theta }_0\right)=\frac{1}{\epsilon }\left(\frac{d}{r_0}-1\right)}$

Conocida la energía E y del momento angular L, determinamos los valores de los parámetros d y ε de la elipse.

${\displaystyle d=\frac{r_0^2{v}_0^2{\text{sin}}^2\phi }{GM}\epsilon =\sqrt{1+\frac{2r_0^2{v}_0^2{\text{sin}}^2\phi \left(\frac{1}{2}{v}_0^2-GM/r_0\right)}{G^2{M}^2}}}$

Definimos el parámetro adimensional

${\displaystyle p=\frac{2GM}{r_0{v}_0^2}}$

Es el cociente entre la energía potencial y la cinética en la posición de partida. Para una trayectoria elíptica, la energía total, E<0, p>1

En función de este parámetro

${\displaystyle d=\frac{2r_0{\text{sin}}^2\phi }{p}\epsilon =\sqrt{1-\frac{4{\text{sin}}^2\phi }{p^2}(p-1)}}$

A medida que el ángulo de disparo cambia, 0<φ<π, la excentricidad de la elipse varía

• La excentricidad es máxima ε=1, cuando φ=0

• La excentricidad es mínima ε=(p-2)/p, cuando φ=π/2

Como caso particular mencionaremos, que cuando p=2, o cuando la velocidad de disparo es

${\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{GM}{r_0}}}$

la trayectoria es una circunferencia, ε=0, de radio r₀.

e=@(p, x) sqrt(1-(p-1)*(2*sin(x)/p).^2);
hold on
fplot(@(x) e(1.5,x),[0,pi])
fplot(@(x) e(2,x),[0,pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/3','\pi'})
grid on
xlabel('\phi')
ylabel('\epsilon');
title('Excentricidad')

Introducimos los valores de θ₀, excentricidad ε y parámetro d en términos de r₀, p y ángulo φ en la ecuación de la elipse.

${\displaystyle $ \begin{array}{l}1+\epsilon \left(\cos \theta ·\cos \left(-{\theta }_0\right)-\sin \theta ·\sin \left(-{\theta }_0\right)\right)=\frac{d}{r}\\ 1+\epsilon \left(\cos \theta ·\frac{1}{\epsilon }\left(\frac{d}{r_0}-1\right)-\sin \theta ·\sqrt{1-\frac{1}{{\epsilon }^2}{\left(\frac{d}{r_0}-1\right)}^2}\right)=\frac{d}{r}\\ 1+\left(\cos \theta ·\left(\frac{d}{r_0}-1\right)-\sin \theta ·\frac{2\sin \phi \cos \phi }{p}\right)=\frac{2r_0{\sin }^2\phi /p}{r}\end{array}$}$

Simplificando, llegamos a la ecuación

${\displaystyle \frac{r_0}{r}=-\frac{\cos \phi }{\sin \phi }\sin \theta +\cos \theta +\frac{p\left(1-\cos \theta \right)}{2{\sin }^2\phi }}$

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo φ con el que se dispara la partícula.
f(r, θ, φ)=0

Ecuación del movimiento

Al integrar las ecuaciones del movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas, obtuvimos

${\displaystyle \frac{1}{r}=A\sin \theta +B\cos \theta +\frac{GM{m}^2}{L^2}}$

Derivamos respecto del tiempo y teniendo en cuenta la expresión del momento angular en coordenadas polares, L=mr²(dθ/dt)

${\displaystyle -\frac{m}{L}\frac{dr}{dt}=A\cos \theta -B\sin \theta }$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: θ=0, r=r₀ y las componentes de la velocidad v₀ son:

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{dr}{dt}\right)}_0=v_0\cos \phi \\ L=m{r}_0{v}_0\sin \phi \end{array}}$

Los coeficientes A y B valen:

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{r_0}=B+\frac{GM{m}^2}{L^2}\\ -\frac{m}{L}{v}_0\cos \phi =A\end{array}}$

Obtenemos la misma ecuación de la elipse en términos del parámetro adimensional p

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{r}=-\frac{m}{L}{v}_0\cos \phi ·\sin \theta +\left(\frac{1}{r_0}-\frac{GM{m}^2}{L^2}\right)\cos \theta +\frac{GM{m}^2}{L^2}\\ \frac{1}{r}=-\frac{m}{m{r}_0{v}_0\sin \phi }{v}_0\cos \phi ·\sin \theta +\left(\frac{1}{r_0}-\frac{GM{m}^2}{m^2{r}_0^2{v}_0^2{\sin }^2\phi }\right)\cos \theta +\frac{GM{m}^2}{m^2{r}_0^2{v}_0^2{\sin }^2\phi }\\ \frac{1}{r}=-\frac{\cos \phi }{r_0\sin \phi }\sin \theta +\frac{\cos \theta }{r_0}+\frac{GM}{r_0^2{v}_0^2{\sin }^2\phi }\left(1-\cos \theta \right)\\ \frac{r_0}{r}=-\frac{\cos \phi }{\sin \phi }\sin \theta +\cos \theta +\frac{p\left(1-\cos \theta \right)}{2{\sin }^2\phi },p=\frac{2GM}{r_0{v}_0^2}\end{array}}$

r0=3; %posición inicial
phi=pi/6; %ángulo de tiro
p=1.5; %parámetro adimensional
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
hold on
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta),'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=-acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Elipse girada')

Las elipses correspondientes a dos ángulos de tiro suplementarios φ y 180-φ, tienen el mismo momento angular L y la misma energía E, son simétricas con respecto del eje X

r0=3; %posición inicial
p=1.5; %parámetro adimensional

phi=pi/6; %ángulo de tiro
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
hold on
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta), 'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=-acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

phi=pi-pi/6; %ángulo de tiro
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta), 'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Elipse girada')

Orbitas de la misma energía

Imaginemos un misil lanzado desde la superficie de la Tierra verticalmente y que en el punto más alto de su trayectoria explota en varios fragmentos iguales que salen en todas las direcciones con igual velocidad.

El movimiento posterior de los fragmentos, se debe únicamente a la fuerza de atracción de la Tierra y por tanto, describirán órbitas elípticas si su energía total es negativa.

El momento angular y la energía de un fragmento de masa m lanzado desde una distancia r₀ del centro de la Tierra, con velocidad v₀ haciendo un ángulo φ con el radio vector es

${\displaystyle \begin{array}{l}L=m{r}_0{v}_0\text{sin}\phi \\ E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{GMm}{r_0}\end{array}}$

Todos los fragmentos tienen la misma energía E, pero distinto momento angular L

El semieje mayor a es independiente del momento angular L y solamente depende de la energía total E.

${\displaystyle a=-\frac{mGM}{2E}}$

Todos los fragmentos tienen el mismo semieje mayor a. Por la tercera ley de Kepler el periodo de todos los fragmentos será el mismo. Todos los fragmentos salen a la vez del mismo punto y regresan después de un tiempo igual al periodo al mismo punto.

Vamos a estudiar ahora los distintos casos que pueden presentarse dependiendo del ángulo de lanzamiento.

Cuando el ángulo φ=0

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El fragmento se eleva y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.

La máxima distancia r a la que se aleja el fragmento, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de constancia de la energía y a continuación, se despeja r.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{GMm}{r_0}=-\frac{GMm}{r}}$

La velocidad v con la que impacta en la superficie de la Tierra, se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{GMm}{r_0}=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}}$

Cuando el ángulo φ=180º

El fragmento cae directamente hacia la superficie de la Tierra, alcanzando su superficie con la velocidad v calculada en el apartado anterior.

Cuando el ángulo φ=90º

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor es 2a=r+r₀. Aplicando la constancia del momento angular y de la energía.

${\displaystyle \begin{array}{l}mrv=m{r}_0{v}_0\\ \frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{GMm}{r_0}\end{array}}$

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para calcular r y v.

Cuando el ángulo es φ

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor está girado con respecto del eje X.

Los dos fragmentos cuyas velocidades forman con el radio vector ángulos φ y 180-φ, tienen el mismo momento angular y la misma energía. Sus trayectorias son simétricas respecto del eje X, tal como podemos ver en la figura.

Ejemplos

Para resolver estos ejemplos se adopta un Sistema de Unidades tal que GM=1

Supongamos que introducimos los siguientes valores

• Posición, r₀=3.0

• Velocidad, v₀=0.5

Cuando el ángulo es φ=0.

La distancia máxima que alcanza el fragmento en la dirección radial es

${\displaystyle \frac{1}{2}{0.5}^2-\frac{1.0}{3.0}=-\frac{1.0}{r}r=4.8}$

Cuando φ=90.

Primero, calculamos la velocidad de escape a la distancia r₀=3.0, que es

${\displaystyle v_e^2=\frac{2}{3}}$

Después, calculamos la velocidad y la distancia máxima o mínima al centro de fuerzas

${\displaystyle v_2=\frac{2/3}{0.5}-0.5=0.83r_2=3\frac{{0.5}^2}{2/3-{0.5}^2}=1.8}$

El eje mayor de la elipse es 2a= 3.0+1.8=4.8

El eje mayor de la elipse se puede obtener de forma directa mediante la fórmula

${\displaystyle 2a=-\frac{mGM}{E}=\frac{1}{0.21}=4.8}$

El periodo de todos los fragmentos es

${\displaystyle P^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}=\frac{4{\pi }^2{2.4}^3}{1.0}P=23.36}$

Actividades

Se introduce

• La velocidad v₀ del fragmento en el control titulado Velocidad
• La posición r₀ en el control de edición titulado Posición.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

No se aceptan valores de v₀ y r₀ que den lugar:

• a una energía E positiva o nula.
• a una trayectoria cuyo apogeo sea mayor de 6 unidades
• a una trayectoria cuyo perigeo sea menor que 0.1 unidades

En el caso de que los dos valores sean aceptados, se observa las trayectorias de los fragmentos cuya velocidad forma ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el radio vector.

Observamos que todas las trayectorias tienen el mismo eje mayor y por tanto, los fragmentos se vuelven a encontrar en el punto de partida transcurrido un periodo P.

Envolvente de las trayectorias elípticas de la misma energía

Obtuvimos por dos procedimientos la ecuación de la trayectoria elíptica en términos del ángulo de disparo φ

${\displaystyle \frac{r_0}{r}=-\frac{\cos \phi }{\sin \phi }\sin \theta +\cos \theta +\frac{p\left(1-\cos \theta \right)}{2{\sin }^2\phi }}$

La ecuación de la envolvente de las trayectorias elípticas se obtiene derivando la ecuación de la elipse, f(r,θ,φ)=0 con respecto a φ e igualando a cero.

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \phi }=0}$

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria f(r,θ,φ)=0 para eliminar el ángulo φ. La derivada con respecto a φ vale

${\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\sin }^2\phi }+\frac{p(1-\cos \theta )}{2}\frac{-2\cos \phi }{{\sin }^3\phi }=0}$

Simplificando llegamos a la expresión

${\displaystyle \tan \phi =\frac{p(1-\cos \theta )}{\sin \theta }}$

Introducimos esta expresión en la ecuación de la elipse, teniendo en cuenta la relación trigonométrica

${\displaystyle {\text{sin}}^2\phi =\frac{{\tan }^2\phi }{1+{\tan }^2\phi }}$

realizando algunas operaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{r_0}{r}=\frac{1}{2}\frac{{\text{sin}}^2\theta +p^2{(1-\cos \theta )}^2}{2p(1-\cos \theta )}+\cos \theta -\frac{{\text{sin}}^2\theta }{p(1-\cos \theta )}\\ \frac{r_0}{r}=\frac{1}{2}\frac{p^2(1-\cos \theta )-(1+\cos \theta )}{p}+\cos \theta \\ \frac{r_0}{r}=\frac{1}{2}\left\{\left(p-\frac{1}{p}\right)-\left(p+\frac{1}{p}-2\right)\cos \theta \right\}\\ \frac{r_0}{r}=\frac{1}{2}\left\{\left(p-\frac{1}{p}\right)-{\left(\sqrt{p}-\frac{1}{\sqrt{p}}\right)}^2\cos \theta \right\}\end{array}}$

y despejando r, obtenemos la ecuación de la elipse

${\displaystyle r=\frac{2r_0}{\left(p-\frac{1}{p}\right)-{\left(\sqrt{p}-\frac{1}{\sqrt{p}}\right)}^2\cos \theta }}$

Calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b de la elipse

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta =0r_1=r_0\frac{p}{p-1}\\ \theta =\pi r_2=r_0\frac{1}{p-1}\\ a=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{r_0}{2}\frac{p+1}{p-1}\\ c=a-r_2=\frac{r_0}{2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2}=r_0\frac{\sqrt{p}}{p-1}\end{array}}$

La ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares es

${\displaystyle \frac{{\left(x-r_0/2\right)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1p=\frac{2GM}{r_0{v}_0^2}}$

Se dibuja las trayectorias elípticas de las partículas disparadas con ángulos φ=30°, 60°, 90°, 120°, 150°. Se dibuja también la envolvente de dichas elipses.

r0=3; %posición inicial
p=1.5; %parámetro adimensional
r=@(phi,x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=0:pi/180:2*pi;
hold on
for k=1:5
%trayectorias
    plot(r(pi*k/6,theta).*cos(theta),r(pi*k/6,theta).*sin(theta)
,'displayName',num2str(k*30))
end
rEnv=@(x) 2*r0./((p-1/p)-(sqrt(p)-1/sqrt(p))^2*cos(x));
plot(rEnv(theta).*cos(theta),rEnv(theta).*sin(theta)
,'k', 'displayName','envolvente')

hold off
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Envolvente')

Referencias

Butikov E. Families of Keplerian orbits. Eur. J. Phys. 24 (2003) pp. 175-183

Laporte O., On Kepler ellipses starting from a point of space. Am. J. Phys. 38 (7) July 1970, pp. 837-840