Alejamiento de la Luna

Consideremos el sistema Tierra-Luna. El momento angular total es la suma del momento angular debido al movimiento de rotación de la Tierra alrededor de su eje y el movimiento de traslación de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra.

Dado que la masa de la Tierra es considerablemente mayor que la de la Luna y que la distancia entre sus centros es mucho mayor que cualquiera de sus radios, podemos considerar la Luna como una partícula de masa ML=7.34·1022 kg que describe una órbita circular de radio r0=384.4·106 m alrededor de la Tierra. Supondremos que el centro de masas del sistema Tierra-Luna coincide con el centro de la Tierra.

Supongamos también, que la Tierra es esférica de masa MT=5.98·1024 kg y radio R=6.37·106 m y gira sobre sí misma con su eje de rotación perpendicular al plano de la órbita de la Luna con velocidad angular Ω0=2π/(24·60·60)=7.27·10-5 rad/s. Otro dato que precisamos es el valor de la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme para describir el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra

G M T M L r 2 = M L ω 2 rω= G M T r 3

Consideremos que el sistema Tierra-Luna es aislado, su momento angular se mantiene constante. El momento angular se compone de dos términos:

Consideremos el sistema Tierra-Luna en el instante inicial (figura de la izquierda) y en un instante t (figura de la derecha), cuando la velocidad angular de rotación de la Tierra alrededor de su eje fijo sea Ω y la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna sea r.

La constancia del momento angular se escribe

( 2 5 M T R 2 ) Ω 0 +( M L r 0 2 ) ω 0 =( 2 5 M T R 2 )Ω+( M L r 2 )ω

Determinamos la relación entre la velocidad angular de rotación de la Tierra alrededor de su eje fijo Ω y la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna r

( 2 5 M T R 2 ) Ω 0 +( M L r 0 2 ) G M T r 0 3 =( 2 5 M T R 2 )Ω+( M L r 2 ) G M T r 3 ( 2 5 M T R 2 )( Ω 0 Ω )= M L G M T ( r r 0 )

Actualmente, la distancia entre la Tierra y la Luna es r0=384.4·106 m y la velocidad angular de rotación de la Tierra es Ω0=2π/(24·60·60) rad/s

Suponiendo que la velocidad de alejamiento de la Luna v=0.038 m/año permanece constante, dentro de 400 millones de años la distancia Tierra-Luna habrá aumentado a r=384.4·106+0.038·400·106=399.6·106 m

Despejamos la velocidad angular de rotación de la Tierra Ω en dicha época futura. El periodo o tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre sí misma es P=2π/Ω

W0=2*pi/(24*3600); %velocidad angular de rotación de la Tierra
r0=384.4e6; %distancia Tierra-Luna
G=6.67e-11; %constante gravitación
MT=5.98e24; %masa de la Tierra
R=6.37e6; %radio de la Tierra
ML=7.34e22; %masa de la Luna

r=r0+0.038*400e6;
W=W0-5*sqrt(G/MT)*ML*(sqrt(r)-sqrt(r0))/(2*R^2);
P=(2*pi/W)/(60*60) %periodo de rotación de la Tierra en horas

El tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre sí misma es

P =   26.0792

El estado final

En el estado final, la velocidad angular de rotación Ω de la Tierra alrededor de su eje fijo se hace igual a la velocidad angular ω de la Luna en su órbita circular alrededor de la Tierra. Calculamos la distancia r entre el centro de la Tierra y la Luna

( 2 5 M T R 2 ) Ω 0 +( M L r 0 2 ) G M T r 0 3 =( 2 5 M T R 2 ) G M T r 3 +( M L r 2 ) G M T r 3

Tenemos que resolver la ecuación en z=r/r0 siguiente

b z 2 +1az z =0 b= ( M L r 0 2 ) ( 2 5 M T R 2 ) a= Ω 0 r 0 3 G M T +b

Para ello, utilizamos la función fzero de MATLAB

Una vez calculado r, determinamos la velocidad angular de rotación Ω de la Tierra y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa

W0=2*pi/(24*3600); %velocidad angular de rotación de la Tierra
r0=384.4e6; %distancia Tierra-Luna
G=6.67e-11; %constante gravitación
MT=5.98e24; %masa de la Tierra
R=6.37e6; %radio de la Tierra
ML=7.34e22; %masa de la Luna

b=ML*r0^2*5/(2*MT*R^2);
a=W0*sqrt(r0^3)/sqrt(MT*G)+b;
f=@(x) b*x^2+1-a*x*sqrt(x);
z=fzero(f,[1,2])
w=sqrt(G*MT/(r0*z)^3);
P=(2*pi/w)/(3600*24)

r=1.54·r0 y P=2π/Ω=52.4 días

z =    1.5398
P =   52.4374

Mecanismo del alejamiento de la Luna

Vamos a analizar las causas por las que disminuye la velocidad angular de rotación Ω de la Tierra y aumenta la distancia r entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna, mediante un modelo muy simple

Supondremos que la Tierra está cubierta por una capa esférica homogénea de agua, las fuerzas de marea son máximas y por tanto, la elevación de la capa de agua, en la línea que une la Luna y la Tierra tal como se muestra exageradamente en la figura de la izquierda

Debido a la rotación de la Tierra, las máximas elevaciones del agua de mar no están en la línea que une el centro de la Tierra y el centro de la Luna (figura de la derecha) lo que produce una transferencia de momento angular desde el movimiento de rotación de la Tierra alrededor de su eje hacia el movimiento de traslación de la Luna alrededor de la Tierra como vamos a comprobar seguidamente

Para que el cálculo sea sencillo, sutituiremos la masas de agua en los extremos del diámetro de la Tierra, por dos masas puntuales m, giradas un pequeño ángulo θ respecto de la línea que une el centro de la Tierra y la Luna

Calculamos el módulos de las fuerzas F1 y F2 que ejerce la Luna sobre dichas masas puntuales

F 1 =G M L m r 1 2 F 2 =G M L m r 2 2

Calculamos el momento resultante de ambas fuerzas respecto del centro de la Tierra

M= F 1 Rsinα+ F 2 Rsinβ

Relacionamos los ángulos α y β, y las distancias r1 y r2 con r y el ángulo θ en los triángulos OCB y OAB

r 1 2 = r 2 + R 2 2rRcosθ r 2 2 = r 2 + R 2 +2rRcosθ r sinα = r 1 sinθ r sinβ = r 2 sin( 180θ )

El momento total M es

M=G M L m r 1 2 R rsinθ r 1 +G M L m r 2 2 R rsinθ r 2 =GMm( 1 r 2 3 1 r 1 3 )Rrsinθ

Vamos a obtener una expresión mucho más simple haciendo algunas aproximaciones: (R/r)2≈0, (1+x)n≈1+nx con x<<1

M=3G M L m R 2 r 3 sin( 2θ )

Este momento desaparecerá cuando la velocidad angular de rotación Ω de la Tierra se haga igual a la velocidad angular ω de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra.

El momento M frena el movimiento de rotación de la Tierra

Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación de un sólido, M=dL/dt, para obtener la variación de la velocidad angular de rotación Ω de la Tierra

M=( 2 5 M T R 2 ) dΩ dt

En un itervalo de tiempo pequeño, por ejemplo Δt=1 año, el cambio de velocidad angular de rotación ΔΩ es

ΔΩ= 15 2 G M L m M T r 0 3 sin( 2θ )Δt

Sea m=3.6·1016 kg, θ=3°, r0=384.4·106 m. El cambio de velocidad angular de rotación es ΔΩ=-1.2828·10-14 rad/s

El cambio en la duración del día es

P= 2π Ω ΔP= 2π Ω 0 2 ΔΩ

El resultado es ΔP=1.52·10-5 s

El momento M incrementa la distancia r entre el centro de la Tierra y de la Luna

Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación M=dL/dt

M= d dt ( M L r 2 ω )= d dt ( M L G M T r )= 1 2 M L G M T r dr dt

En un intervalo de tiempo pequeño, por ejemplo Δt=1 año el cambio de la distancia entre el centro de la Tierra y la Luna, Δr es

Δr=6 G M T R 2 r 0 2 r 0 sin( 2θ )Δt

Con los mismos datos del apartado anterior: m=3.6·1016 kg, θ=3°, r0=384.4·106 m. El cambio de de la distancia es Δr=0.0333 m en un año

Balance energético

La energía del sistema Tierra-Luna, se compone de: la energía cinética de rotación de la Tierra alrededor de su eje fijo con velocidad angular Ω, la energía cinética de la Luna, que describe una órbita circular con velocidad constante ωr y la energía potencial de interacción entre la Tierra y la Luna separadas una distancia r

E= 1 2 ( 2 5 M T R 2 ) Ω 2 + 1 2 ( M L r 2 ) ω 2 +( G M T M L r )

Teniendo en cuenta que la Luna se mueve en una trayectoria circular de radio r con velocidad angular ω2=GMT/r3. La expresión de la energía se reduce a

E= 1 2 ( 2 5 M T R 2 ) Ω 2 1 2 G M T M L r

La variación de energía ΔE en un intervalo pequeño Δt

ΔE=( 2 5 M T R 2 ) Ω 0 ΔΩ+ 1 2 G M T M L r 0 2 Δr

Con los resultados obtenidos anteriormente, ΔΩ=-1.2828·10-14 rad/s, Δr=0.0333 m, obtenemos ΔE=-8.72·1019 J

Referencias

Problema de la XL Olimpiada Internacional de Física. Mérida, México, 2009