Trayectorias hiperbólicas

Supongamos un asteroide de masa m que se aproxima a un planeta de masa M con velocidad v0 en el infinito siguiendo una dirección (recta de color rojo) que dista b del centro del planeta tal como se muestra en la figura. A medida que el asteroide se acerca al planeta, va cambiando su velocidad tanto en módulo como en dirección (en color azul), hasta que se aleja hacia el infinito siguiendo una dirección simétrica respecto del eje X, que es la asíntota de la otra rama de la hipérbola.

Para analizar el problema supondremos que la masa del asteroide es muy pequeña comparada con la del planeta, m<<M y no tendremos en cuenta la influencia del Sol ni la del resto del los planetas.

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcosθ ε= 1+ 2 L 2 E m 3 G 2 M 2 d= L 2 GM m 2

r es la distancia del centro del planeta al asteroide y θ es el ángulo que hace el radio vector que une el asteroide con el centro del planeta con el eje X, tal como se muestra en la figura.

El parámetro ε denominado excentricidad define el tipo de trayectoria. La trayectoria es una hipérbola si ε>1 es decir, si la energía del asteroide E>0.

El ángulo θ no puede superar el ángulo límite, aquél para el cual r→∞, θ=arccos(-1/ε)

Mínima distancia

La energía del asteroide en el infinito es solamente cinética

E= 1 2 m v 0 2

El momento angular es

L=mv0b

Los parámetros ε y d valen

 ε= 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2 d= b 2 v 0 2 GM

La distancia más cercana del asteroide al centro del planeta ocurre cuando θ=0

r p = d 1+ε = b 2 v 0 2 GM 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2

Calculamos esta distancia, aplicando la conservación de la energía y del momento angular en el punto P más cercano al centro del planeta.

L=m v 0 b=m v p r p E= 1 2 m v 0 2 = 1 2 m v p 2 G Mm r p

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos vp y rp

v p = GM b v 0 ( 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2 ) r p = b 2 v 0 2 GM 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2

Dependiendo de las magnitudes M, v0, b y el radio R del planeta el asteroide choca rp<R o pasa el planeta. Cuando rp=R el asteroide choca tangencialmente con el planeta.

Asíntotas

El ángulo para el cual r→∞, es

α=arccos( 1 ε )

La dirección de la velocidad del asteroide cambia a medida que se acerca al planeta y luego, cuando se aleja. El cambio en la dirección de la velocidad es φ=2α-π tal como se aprecia en la figura.

tan(φ/2)=-cotα. Utilizando la relación trigonométrica

1+ tan 2 α= 1 cos 2 α tan φ 2 = GM b v 0 2

La asíntota de una de las ramas de la hipérbola hace un ángulo α con el eje X y dista b del origen.

Donde x es la intersección de la asíntota con el eje X

x= b sin(180α) = bε ε 2 1

e=1.5; %excentricidad
d=1;
r=@(x) d./(1+e*cos(x));
alfa=acos(-1/e); %asíntota
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[-alfa+0.1,alfa-0.05])
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola')

Ejemplo

Para el planeta Júpiter cuya masa es M=1.90·1027 kg y radio es R=6.98·106 m.

G=6.67e-11; %constante G
M=1.90e27; %masa de Júpiter
R=6.98e7; %radio de Júpiter

b=2*R; %parámetro de impacto
v0=14.6*1000; %velocidad
ex=sqrt(1+b^2*v0^4/(G*M)^2); %excentricidad
d=(b*v0)^2/(G*M);

rp=d/(1+ex); %máximo acercamiento
vp=v0*b/rp; %velocidad
fprintf('Máximo acercamiento %1.3f, velocidad (km/s) %3.2f\n'
,rp/R, vp/1000)
Máximo acercamiento 0.232, velocidad (km/s) 126.048

Hipérbola girada

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula que se mueve a una distancia muy grande del centro de fuerzas paralelamente al eje X, con velocidad v0, tal como se muestra en la figura.

El momento angular L y la energía E valen

L=mb v 0 E= 1 2 m v 0 2

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcos( θ θ 0 )

Calculamos el ángulo θ0 sabiendo que cuando la partícula está muy alejada del origen θ

cos( θ θ 0 )= 1 ε ( d r 1 ) rθπ cos( π θ 0 )= 1 ε cos θ 0 = 1 ε

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+ε( cosθcos θ 0 +sinθsin θ 0 ) = d 1+cosθ+ ε 2 1 sinθ

Teniendo en cuenta que

  ε 2 1 = b v 0 2 GM d= b 2 v 0 2 GM

Expresamos la ecuación de la trayectoria en términos del parámetro adimensional p

r= bp 1+cosθ+psinθ p= b v 0 2 GM

Donde π<θ<π-2α, siendo 2α-π el cambio en la dirección de la velocidad

α=arccos( 1 ε )=arccos( 1 p 2 +1 )

La distancia mínima de acercamiento se produce para el ángulo θm tal que r=rm

dr dθ =0tan θ m =p r m = bp 1+ 1+ p 2

La ecuación de la trayectoria se puede escribir, alternativamente

r= bp 1+ 1+ p 2 cos( θ θ m )

p=1.5; %parámetro adimensional
b=3; %parámetro de impacto
r=@(x) b*p./(1+cos(x)+p*sin(x));
alfa=acos(-1/sqrt(1+p^2)); %asíntota
x=b*sqrt(1+p^2)/p;
%trayectoria
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[pi-2*alfa+20*pi/180,pi-20*pi/180])
line([-5,x*cos(pi-alfa)],[b,b],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x*cos(pi-alfa),5],[b,tan(2*pi-2*alfa)*(5-x*cos(pi-alfa))+b],
'lineStyle','--', 'color','k')
line([-3,x*cos(pi-alfa)],[-3*tan(pi-alfa),b],'lineStyle','--', 'color','k')
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola girada')

Actividades

Se elige un planeta en el control titulado Planeta

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La trayectoria del asteroide empieza a dibujarse a una distancia r=10·R, diez veces el radio del planeta. En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos del tiempo en horas y la distancia en radios del planeta elegido.

Se sugiere al lector:

Datos

Planeta GM Radio (km)
Tierra 3.986·1014 6378
Marte 4.283·1013 3397
Júpiter 1.267·1017 71 492
Saturno 3.793·1016 60 268

Ecuación de la hipérbola en coordenadas rectangulares

Como en la elipse, establecemos el origen O a una distancia a del vértice de la hipérbola o a una distancia c del foco. La posición (x,y) del cuerpo celeste es

x=c-rcosθ
y=rsinθ

La ecuación de la trayectoria se escribe

d=r+εrcosθ d= ( cx ) 2 + y 2 +ε(cx)

Elevando al cuadrado

dε(cx)= ( cx ) 2 + y 2 d 2 + ε 2 ( cx ) 2 2dε(cx)= ( cx ) 2 + y 2 d 2 + ε 2 x 2 + ε 2 c 2 2 ε 2 cx+2dεx2dεc= x 2 + c 2 2cx+ y 2

Teniendo en cuenta la relación entre el parámetro d y a, y la definición de excentricidad ε

c=a+ d 1+ε c=aε }d=a( ε 2 1 )

La expresión anterior se simplifica notablemente

x 2 ( ε 2 1) y 2 = a 2 ( ε 2 1) x 2 a 2 y 2 a 2 ( ε 2 1) =1

Fuerzas repulsivas

Sobre la partícula actúa una fuerza repulsiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas. Por ejemplo, un núcleo fijo de carga Q que repele a una partícula alfa de masa m y carga q. Las ecuación de la trayectoria es la hipérbola

r= d εcos(θ θ 0 )1 ε= 1+ 2 L 2 E k 2 m d= L 2 km k= Qq 4π ε 0

Representamos la hipérbola con parámetro d01 y excentricidad ε=1.5.

r= d εcosθ1

El ángulo θ no puede superar el ángulo límite, aquél para el cual r→∞, θ=arccos(1/ε)

e=1.5; %excentricidad
d=1;
r=@(x) d./(e*cos(x)-1);
alfa=acos(1/e); %asíntota
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[-alfa+0.1,alfa-0.05])
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola')

Hipérbola girada

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula que se mueve a una distancia muy grande del centro de fuerzas paralelamente al eje X, con velocidad v0, tal como se muestra en la figura.

El momento angular L y la energía E valen

L=mb v 0 E= 1 2 m v 0 2

La ecuación de la trayectoria es

r= d εcos(θ θ 0 )1

Calculamos el ángulo θ0 sabiendo que cuando la partícula está muy alejada del origen θ

cos(θ θ 0 )= 1 ε ( d r +1 ) rθπ cos(π θ 0 )= 1 ε cos θ 0 = 1 ε

La ecuación de la trayectoria es

r= d ε(cosθcos θ 0 +sinθsin θ 0 )1 = d ε 2 1 sinθcosθ1

Teniendo en cuenta que

  ε 2 1 = mb v 0 2 k d= m b 2 v 0 2 k

Expresamos la ecuación de la trayectoria en términos del parámetro adimensional p

r= bp psinθcosθ1 p= mb v 0 2 k

p=1.5; %parámetro adimensional
b=3; %parámetro de impacto
r=@(x) b*p./(p*sin(x)-cos(x)-1);
alfa=acos(1/sqrt(1+p^2)); %asíntota
x=b*sqrt(1+p^2)/p;
%trayectoria
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[pi-2*alfa+10*pi/180,pi-10*pi/180])
line([-15,x*cos(pi-alfa)],[b,b],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x*cos(pi-alfa),5],[b,tan(2*pi-2*alfa)*(5-x*cos(pi-alfa))+b],
'lineStyle','--', 'color','k')
line([-5,0],[-5*tan(pi-alfa),0],'lineStyle','--', 'color','k')
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola girada')