Trayectorias hiperbólicas

Supongamos un asteroide de masa m que se aproxima a un planeta de masa M con velocidad v0 en el infinito siguiendo una dirección (recta de color rojo) que dista b del centro del planeta tal como se muestra en la figura. A medida que el asteroide se acerca al planeta, va cambiando su velocidad tanto en módulo como en dirección (en color azul), hasta que se aleja hacia el infinito siguiendo una dirección simétrica respecto del eje X, que es la asíntota de la otra rama de la hipérbola.

Para analizar el problema supondremos que la masa del asteroide es muy pequeña comparada con la del planeta, m<<M y no tendremos en cuenta la influencia del Sol ni la del resto del los planetas.

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcosθ ε= 1+ 2 L 2 E m 3 G 2 M 2 d= L 2 GM m 2

r es la distancia del centro del planeta al asteroide y θ es el ángulo que hace el radio vector que une el asteroide con el centro del planeta con el eje X, tal como se muestra en la figura.

El parámetro ε denominado excentricidad define el tipo de trayectoria. La trayectoria es una hipérbola si ε>1 es decir, si la energía del asteroide E>0.

El ángulo θ no puede superar el ángulo límite, aquél para el cual r→∞, θ=arccos(-1/ε)

Mínima distancia

La energía del asteroide en el infinito es solamente cinética

E= 1 2 m v 0 2

El momento angular es

L=mv0b

Los parámetros ε y d valen

 ε= 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2 d= b 2 v 0 2 GM

La distancia más cercana del asteroide al centro del planeta ocurre cuando θ=0

r p = d 1+ε = b 2 v 0 2 GM 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2

Calculamos esta distancia, aplicando la conservación de la energía y del momento angular en el punto P más cercano al centro del planeta.

L=m v 0 b=m v p r p E= 1 2 m v 0 2 = 1 2 m v p 2 G Mm r p

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos vp y rp

v p = GM b v 0 ( 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2 ) r p = b 2 v 0 2 GM 1+ 1+ b 2 v 0 4 G 2 M 2

Dependiendo de las magnitudes M, v0, b y el radio R del planeta el asteroide choca rp<R o pasa el planeta. Cuando rp=R el asteroide choca tangencialmente con el planeta.

Asíntotas

El ángulo para el cual r→∞, es

α=arccos( 1 ε )

La dirección de la velocidad del asteroide cambia a medida que se acerca al planeta y luego, cuando se aleja. El cambio en la dirección de la velocidad es φ=2α-π tal como se aprecia en la figura.

tan(φ/2)=-cotα. Utilizando la relación trigonométrica

1+ tan 2 α= 1 cos 2 α tan φ 2 = GM b v 0 2

La asíntota de una de las ramas de la hipérbola hace un ángulo α con el eje X y dista b del origen.

Donde x es la intersección de la asíntota con el eje X

x= b sin(180α) = bε ε 2 1

e=1.5; %excentricidad
d=1;
r=@(x) d./(1+e*cos(x));
alfa=acos(-1/e); %asíntota
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[-alfa+0.1,alfa-0.05])
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola')

Ejemplo

Para el planeta Júpiter cuya masa es M=1.90·1027 kg y radio es R=6.98·106 m.

G=6.67e-11; %constante G
M=1.90e27; %masa de Júpiter
R=6.98e7; %radio de Júpiter

b=2*R; %parámetro de impacto
v0=14.6*1000; %velocidad
ex=sqrt(1+b^2*v0^4/(G*M)^2); %excentricidad
d=(b*v0)^2/(G*M);

rp=d/(1+ex); %máximo acercamiento
vp=v0*b/rp; %velocidad
fprintf('Máximo acercamiento %1.3f, velocidad (km/s) %3.2f\n'
,rp/R, vp/1000)
Máximo acercamiento 0.232, velocidad (km/s) 126.048

Hipérbola girada

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula que se mueve a una distancia muy grande del centro de fuerzas paralelamente al eje X, con velocidad v0, tal como se muestra en la figura.

El momento angular L y la energía E valen

L=mb v 0 E= 1 2 m v 0 2

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcos( θ θ 0 )

Calculamos el ángulo θ0 sabiendo que cuando la partícula está muy alejada del origen θ

cos( θ θ 0 )= 1 ε ( d r 1 ) rθπ cos( π θ 0 )= 1 ε cos θ 0 = 1 ε

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+ε( cosθcos θ 0 +sinθsin θ 0 ) = d 1+cosθ+ ε 2 1 sinθ

Teniendo en cuenta que

  ε 2 1 = b v 0 2 GM ,d= b 2 v 0 2 GM

Expresamos la ecuación de la trayectoria en términos del parámetro adimensional p

r= bp 1+cosθ+psinθ ,p= b v 0 2 GM

Donde π<θ<π-2α, siendo 2α-π el cambio en la dirección de la velocidad

α=arccos( 1 ε )=arccos( 1 p 2 +1 )

Angulo final

Calculamos de otro modo, el ángulo final θf=π-2α. La distancia r→∞, cuando 1+cosθ+psinθ=0. Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

cosθ= 1 1+ tan 2 θ ,sinθ= tanθ 1+ tan 2 θ

obtenemos

1+ tan 2 θ +1+ptanθ=0

Llamando θ=2φ

tanθ=tan( 2φ )= 2tanφ 1 tan 2 φ 1+ tan 2 φ 1 tan 2 φ +1+p 2tanφ 1 tan 2 φ =0 1+ptanφ=0

El ángulo final θf es

θ f =2arctan( 1 p )

Distancia mínima

La distancia mínima de acercamiento se produce para el ángulo θm tal que r=rm

dr dθ =0,tan θ m =p, r m = bp 1+ 1+ p 2

La velocidad es máxima vm cuando la distancia es mínima rm. La constancia del momento angular se escribe

bv0=rmvm

La ecuación de la trayectoria se puede expresar, alternativamente

r= bp 1+ 1+ p 2 cos( θ θ m )

Ejemplo

El planeta Júpiter tiene una masa de 318 veces la de la Tierra (318·5.98·1024=1.9·1027 kg). Su radio es RJ=71 398 km

Una nave espacial se dirige hacia Júpiter a una velocidad v0=30 km/s con un parámetro de impacto b=250 000 km (≈3.5 radios de Júpiter).

Representamos la trayectoria de la nave espacial

b=250e6; %parámetro de impacto
v0=30e3; %velocidad
M=318*5.98e24; %masa de Júpiter
G=6.67e-11; %constante gravitación
p=b*v0^2/(G*M);
RJ=71492e3; %radio de Júpiter

%trayectoria tomando como unidad el radio de Júpiter
b=250e6/RJ;
r=@(x) b*p./(1+cos(x)+p*sin(x));
th_f=2*atan(-1/p); %ángulo final
th_m=atan(p); %posición mínima distancia
hold on
%proximidades del planeta
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[th_m-pi/2-pi/10,th_m+pi/2+pi/10])
plot(r(th_m-pi/2)*cos(th_m-pi/2),r(th_m-pi/2)*sin(th_m-pi/2),'ro', 
'markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(r(th_m+pi/2)*cos(th_m+pi/2),r(th_m+pi/2)*sin(th_m+pi/2),'ro', 
'markersize',4,'markerfacecolor','r')
%origen, centro de fuerzas
th=(1:360)*pi/180;
fill(cos(th),sin(th),'c')
%asíntotas
alfa=acos(-1/sqrt(1+p^2)); %asíntota
x=b*sqrt(1+p^2)/p;
line([-9,x*cos(pi-alfa)],[b,b],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x*cos(pi-alfa),9],[b,tan(2*pi-2*alfa)*(9-x*cos(pi-alfa))+b],
'lineStyle','--', 'color','k')
line([-3,x*cos(pi-alfa)],[-3*tan(pi-alfa),b],'lineStyle','--', 'color','k')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola girada')

Tiempo de vuelo

Definimos el tiempo de vuelo en las proximidades del planeta como el doble del tiempo que tarda la nave espacial en desplazarse desde la posición θ-θm=π/2 hasta la posición θm de máximo acercamiento. Los dos puntos de color rojo marcados sobre la trayectoria

En la posición inicial y final, la distancia de la nave espacial al planeta es r=bp mayor que la mínima rm

Obtenemos el tiempo t, a partir de la constancia del momento angular

r 2 dθ dt =b v 0 0 π/2 b 2 p 2 ( 1+ 1+ p 2 cosβ ) 2 dβ =b v 0 t t v =2 b p 2 v 0 0 π/2 dβ ( 1+ 1+ p 2 cosβ ) 2

Donde la variable β=θ-θm, dβ=dθ

Esta integral no es sencilla, buscamos su solucioón en la tabla de integrales (véase las referencias), la encontramos en la página 173, 2.554, n° 3

dx ( a+bcosx ) n = 1 (n1)( a 2 b 2 ) { bsinx ( a+bcosx ) n1 (n1)a(n2)bcosx ( a+bcosx ) n1 dx }

Para n=2, la integral se convierte en

dx ( a+bcosx ) 2 = 1 ( a 2 b 2 ) { bsinx a+bcosx a dx a+bcosx }

Encontramos la integral del miembro derecho, en la página 172, 2.553, n° 4 caso b2>a2

dx a+bcosx = 2 b 2 a 2 ln| (ba)tan( x 2 )+ b 2 a 2 (ba)tan( x 2 ) b 2 a 2 |, b 2 > a 2

En nuestro caso β=x, a=1, b= 1+ p 2 .

dβ ( 1+ 1+ p 2 cosβ ) 2 = 1 p 2 { 1+ p 2 sinβ 1+ 1+ p 2 cosβ 2 p ln| ( 1+ p 2 1 )tan( β 2 )+p ( 1+ p 2 1 )tan( β 2 )p | }

El tiempo de sobrevuelo de la nave espacial sobre un planeta es

t v =2 b v 0 { 1+ p 2 2 p ln| 1+ p 2 1+p 1+ p 2 1p | }

Nota: en el artículo de Cameron Reed citado en las referencias la expresión de tv difiere de la calculada en este apartado

b=250e6; %parámetro de impacto
v0=30e3; %velocidad
M=318*5.98e24; %masa de Júpiter
G=6.67e-11; %constante gravitación
p=b*v0^2/(G*M);
th_f=2*atan(-1/p); 
fprintf('ángulo final %2.1fº\n',th_f*180/pi)
rm=b*p/(1+sqrt(1+p^2)); 
fprintf('mínima distancia al planeta %2.1f km\n',rm/1000)
tv=2*b*(sqrt(1+p^2)-2*log((sqrt(1+p^2)-1+p)/(sqrt(1+p^2)-1-p))/p)/v0; 
fprintf('tiempo sobrevuelo %2.1f h\n',tv/3600)
ángulo final -58.8º
mínima distancia al planeta 146055.2 km
tiempo sobrevuelo 2.4 h

Actividades

Se elige un planeta en el control titulado Planeta

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La trayectoria del cuerpo celeste empieza a dibujarse a una distancia r=10·R, diez veces el radio del planeta. En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos del tiempo en horas y la distancia en radios del planeta elegido.

Se sugiere al lector:

Los datos del ejemplo son: Planeta, Júpiter. Parámetro de impacto, b=3.5. Velocidad, v0=30 km/s,

Datos

Planeta GM Radio (km)
Tierra 3.986·1014 6378
Marte 4.283·1013 3397
Júpiter 1.267·1017 71 492
Saturno 3.793·1016 60 268

Ecuación de la hipérbola en coordenadas rectangulares

Como en la elipse, establecemos el origen O a una distancia a del vértice de la hipérbola o a una distancia c del foco. La posición (x,y) del cuerpo celeste es

x=c-rcosθ
y=rsinθ

La ecuación de la trayectoria se escribe

d=r+εrcosθ d= ( cx ) 2 + y 2 +ε(cx)

Elevando al cuadrado

dε(cx)= ( cx ) 2 + y 2 d 2 + ε 2 ( cx ) 2 2dε(cx)= ( cx ) 2 + y 2 d 2 + ε 2 x 2 + ε 2 c 2 2 ε 2 cx+2dεx2dεc= x 2 + c 2 2cx+ y 2

Teniendo en cuenta la relación entre el parámetro d y a, y la definición de excentricidad ε

c=a+ d 1+ε c=aε }d=a( ε 2 1 )

La expresión anterior se simplifica notablemente

x 2 ( ε 2 1) y 2 = a 2 ( ε 2 1) x 2 a 2 y 2 a 2 ( ε 2 1) =1

Fuerzas repulsivas

Sobre la partícula actúa una fuerza repulsiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas. Por ejemplo, un núcleo fijo de carga Q que repele a una partícula alfa de masa m y carga q. Las ecuación de la trayectoria es la hipérbola

r= d εcos(θ θ 0 )1 ε= 1+ 2 L 2 E k 2 m d= L 2 km k= Qq 4π ε 0

Representamos la hipérbola con parámetro d=1 y excentricidad ε=1.5.

r= d εcosθ1

El ángulo θ no puede superar el ángulo límite, aquél para el cual r→∞, θ=arccos(1/ε)

e=1.5; %excentricidad
d=1;
r=@(x) d./(e*cos(x)-1);
alfa=acos(1/e); %asíntota
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[-alfa+0.1,alfa-0.05])
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola')

Hipérbola girada

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula que se mueve a una distancia muy grande del centro de fuerzas paralelamente al eje X, con velocidad v0, tal como se muestra en la figura.

El momento angular L y la energía E valen

L=mb v 0 E= 1 2 m v 0 2

La ecuación de la trayectoria es

r= d εcos(θ θ 0 )1

Calculamos el ángulo θ0 sabiendo que cuando la partícula está muy alejada del origen θ

cos(θ θ 0 )= 1 ε ( d r +1 ) rθπ cos(π θ 0 )= 1 ε cos θ 0 = 1 ε

La ecuación de la trayectoria es

r= d ε(cosθcos θ 0 +sinθsin θ 0 )1 = d ε 2 1 sinθcosθ1

Teniendo en cuenta que

  ε 2 1 = mb v 0 2 k d= m b 2 v 0 2 k

Expresamos la ecuación de la trayectoria en términos del parámetro adimensional p

r= bp psinθcosθ1 p= mb v 0 2 k

p=1.5; %parámetro adimensional
b=3; %parámetro de impacto
r=@(x) b*p./(p*sin(x)-cos(x)-1);
alfa=acos(1/sqrt(1+p^2)); %asíntota
x=b*sqrt(1+p^2)/p;
%trayectoria
hold on
fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[pi-2*alfa+10*pi/180,pi-10*pi/180])
line([-15,x*cos(pi-alfa)],[b,b],'lineStyle','--', 'color','k')
line([x*cos(pi-alfa),5],[b,tan(2*pi-2*alfa)*(5-x*cos(pi-alfa))+b],
'lineStyle','--', 'color','k')
line([-5,0],[-5*tan(pi-alfa),0],'lineStyle','--', 'color','k')
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Hipérbola girada')

Trayectorias de la misma energía

En este apartado, vamos a repetir los cálculos de la página titulada Trayectorias elípticas con el eje girado pero para trayectorias hiperbólicas, energía E>0, en vez de elípticas, E<0

La ecuación de la trayectoria que describe una partícula que dista r0 del centro de fuerzas, disparada con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo φ entre dicha velocidad y la línea que une el centro fuerzas y el punto de disparo, es.

r= d 1+εcos(θ θ 0 )

La energía E<0 para una trayectoria hiperbólica y el momento angular L, son

E= 1 2 m v 0 2 G Mm r 0 ,L=m r 0 v 0 sinφ

Para θ=0, la distancia de la partícula al centro de fuerzas es r=r0. Obtenemos el valor de θ0

cos( θ 0 )= 1 ε ( d r 0 1 )

Conocida la energía E y del momento angular L, determinamos los valores de los parámetros d y ε de la trayectoria. Previamente, definimos el parámetro adimensional

p= 2GM r 0 v 0 2

Es el cociente entre la energía potencial y la cinética en la posición de partida. Para una trayectoria hiperbólica, la energía total, E>0, p<1

d= 2 r 0 sin 2 φ p ε= 1 4 sin 2 φ p 2 (p1)

Representamos la excentricidad ε en función del ángulo de disparo φ para dos valores del parámetro p=1/2 y 2/3

e=@(p, x) sqrt(1-(p-1)*(2*sin(x)/p).^2);
hold on
fplot(@(x) e(0.5,x),[0,pi])
fplot(@(x) e(0.2/3,x),[0,pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/3','\pi'})
legend('0.5','2/3','location','best')
grid on
xlabel('\phi')
ylabel('\epsilon');
title('Excentricidad')

Se representan las trayectorias hiperbólicas de las partículas disparadas desde la posición r0=3, con ángulos de tiro φ=10°, 30°, 50°, 70°, 90°, 110°, 130°, 150° y 170°, para el valor del parámetro adimensional p=2/3

p=2/3; %energia potencial/energía cinética
r0=3; %posición de partida
hold on
for phi=(170:-20:110)*pi/180
    d=2*r0*sin(phi)^2/p;
    ex=sqrt(1-4*sin(phi)^2*(p-1)/p^2);
    th_0=acos((d/r0-1)/ex);
    r=@(th) d./(1+ex*cos(th-th_0));
    th_lim=th_0+acos(-1/ex);
    fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th), [0, th_lim-1/180])
end
for phi=(90:-20:10)*pi/180
    d=2*r0*sin(phi)^2/p;
    ex=sqrt(1-4*sin(phi)^2*(p-1)/p^2);
    th_0=-acos((d/r0-1)/ex);
    r=@(th) d./(1+ex*cos(th-th_0));
    th_lim=th_0+acos(-1/ex);
    fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th), [0, th_lim-1/180])
end

hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
axis([-10,10,-10,10])
title('Fuerza atractiva')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La energía total E= 1 2 v 0 2 1 r 0 ,E>0 deberá ser positiva

Se observa las trayectorias de los proyectiles disparados con velocidad v0 desde la posición r0 formando ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el eje X. La fuerza es atractiva

Fuerzas repulsivas

En el caso de que las fuerzas sean repulsivas, (cargas eléctricas del mismo signo) las trayectorias son hiperbólicas

r= d εcos(θ θ 0 )1

Para θ=0, la distancia de la partícula al centro de fuerzas es r=r0. Obtenemos el valor de θ0

cos( θ 0 )= 1 ε ( d r 0 +1 )

En función del parámetro p

d= 2 r 0 sin 2 φ p ε= 1+ 4 sin 2 φ p 2 (p+1)

Recuérdese que la energía potencial es positiva para una fuerza repulsiva

Introducimos los valores de θ0, excentricidad ε y parámetro d en términos de r0, p y ángulo φ en la ecuación de la trayectoria. Simplificando, llegamos a la ecuación, similar a la obtenida para trayectorias elípticas

r 0 r = cosφ sinφ sinθ+cosθ p( 1cosθ ) 2 sin 2 φ

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo φ con el que se dispara la partícula.
f(r, θ, φ)=0

Envolvente

La ecuación de la envolvente de las trayectorias hiperbólicas se obtiene derivando la ecuación, f(r,θ,φ)=0 con respecto a φ e igualando a cero.

f φ =0

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria f(r,θ,φ)=0 para eliminar el ángulo φ. La derivada con respecto a φ vale

sinθ sin 2 φ p(1cosθ) 2 2cosφ sin 3 φ =0

Simplificando llegamos a la expresión

tanφ= p(1cosθ) sinθ

Introducimos esta expresión en la ecuación de la hipérbola, teniendo en cuenta la relación trigonométrica

sin 2 φ= tan 2 φ 1+ tan 2 φ

Simplificando y agrupando términos obtenemos

r 0 r = sin 2 θ p( 1cosθ ) +cosθ 1 2 sin 2 θ+ p 2 ( 1cosθ ) 2 p( 1cosθ ) r 0 r = 1 2 { ( 1 p p )+ ( p + 1 p ) 2 cosθ }

Se representan las trayectorias hiperbólicas de las partículas disparadas desde la posición r0=3, con ángulos de tiro φ=30°, 60°, 90°, 110°, 130°, 150°, 160°, 165°, 170° y 175°, para el valor del parámetro adimensional p=2/3

Se representa la envolvente, línea de color negro gruesa. No se representan las trayectorias para los ángulos negativos, ya que la figura es simétrica respecto del eje horizontal X

p=2/3; %energia potencial/energía cinética
r0=3; %posición de partida
hold on
for phi=[175, 170,165, 160, 150, 130, 110]*pi/180
    d=2*r0*sin(phi)^2/p;
    ex=sqrt(1+4*sin(phi)^2*(p+1)/p^2);
    th_0=acos((d/r0+1)/ex);
    r=@(th) d./(ex*cos(th-th_0)-1);
    th_lim=th_0+acos(1/ex);
    fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th), [0, th_lim-1/180])
end
for phi=(90:-30:30)*pi/180
    d=2*r0*sin(phi)^2/p;
    ex=sqrt(1+4*sin(phi)^2*(p+1)/p^2);
    th_0=-acos((d/r0+1)/ex);
    r=@(th) d./(ex*cos(th-th_0)-1);
    th_lim=th_0+acos(1/ex);
    fplot(@(th) r(th).*cos(th),@(th) r(th).*sin(th), [0, th_lim-1/180])
end
th_lim=acos((p-1/p)/(sqrt(p)+1/sqrt(p))^2);
rEnv=@(x) 2*r0./((1/p-p)+(sqrt(p)+1/sqrt(p))^2*cos(x)); %envolvente
fplot(@(th) rEnv(th).*cos(th),@(th) rEnv(th).*sin(th),[0,th_lim], 
'color','k','lineWidth',1.5)

hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
axis([0,5,0,6])
title('Fuerza repulsiva')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa las trayectorias de los proyectiles disparados con velocidad v0 desde la posición r0 formando ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el eje X. La fuerza es repulsiva

Referencias

I Samengo, R O Barrachina. Rainbow and glory scattering in Coulomb trajectories starting from a point in space. Eur. J. Phys. 15 (1994) pp. 300-308

B Cameron Reed. The single-mass gravitational slingshot. Eur. J. Phys. 35 (2014) 045009

I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products, Eighth Edition. Elsevier Inc