Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua.

Un meteorito se dirige radialmente hacia la Tierra

Un meteorito de masa m se mueve hacia la Tierra en dirección radial (eje X). A la distancia x0 del centro de la Tierra su velocidad es v0. Calcular la velocidad y el tiempo que tarda en chocar con la superficie de la Tierra.

Supondremos que la Tierra está inmóvil. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v de impacto con la superficie de la Tierra.

1 2 m v 0 2 G Mm x 0 = 1 2 m v 2 G Mm R v= v 0 2 +2GM( 1 R 1 x 0 )

Es más complicado calcular el tiempo de impacto. La velocidad del meteorito cuando se encuentra a una distancia x del centro de la Tierra es

dx dt = v 0 2 +2GM( 1 x 1 x 0 )

Integramos para obtener el tiempo t

t= r 0 R dx v 0 2 +2GM( 1 x 1 x 0 ) t= x 0 R x 0 x 2GM x 0 ( 2GM x 0 v 0 2 )x dx = x 0 R x 0 x abx dx

Hacemos el cambio de variable

x= a b sin 2 θ{ a=2GM x 0 b=2GM x 0 v 0 2 t= 2a b x 0 b θ 0 θ sin 2 dθ= a b x 0 b { ( θ 0 1 2 sin(2 θ 0 ) )( θ 1 2 sin(2θ) ) }

Ejemplo

Un meteorito de de masa m se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su velocidad a una distancia de x0=3.8·107 m del centro de la Tierra es de v0=30 km/s.
Calcular la velocidad y el tiempo en minutos de su impacto en la superficie de la Tierra

G=6.67e-11;
M=5.98e24; %masa de la Tierra
R=6.37e6; %radio de la Tierra
r0=3.8e7; %distancia inicial
v0=30000; %velocidad inicial 
%velocidad del metoerito en la superficie de la Tierra
v=sqrt(v0^2+2*G*M*(1/R-1/r0))  

a=2*G*M*r0;
b=2*G*M-r0*v0^2;
fi_0=asin(sqrt(b*r0/a));
fi=asin(sqrt(b*R/a));
%tiempo en minutos
t=sqrt(a^2*r0/b^3)*((fi_0-sin(2*fi_0)/2)-(fi-sin(2*fi)/2))/60 
v = 3.1690e+04
t =  17.3465

Cuando la partícula parte de x0 en reposo v0=0, la expresión del tiempo t que tarda en llegar a la superficie de la Tierra x=R, se simplifica notablemente.

θ 0 = π 2 sinθ= R x 0 t= r 0 r 0 2GM { arccos ( R x 0 )+ R x 0 1 R x 0 }

Supongamos que se deja caer una partícula desde una altura de h=10 000 m sobre la superficie de la Tierra, r0=R+h, calculamos el tiempo que tarda en llegar a la superficie de la Tierra x=R y lo comparamos con el tiempo que se obtendría suponiendo que la aceleración de la gravedad g=GM/R2 es constante

h= 1 2 g t 2 t= 2h g

G=6.67e-11;
M=5.98e24; %masa de la Tierra
R=6.37e6; %radio de la Tierra
h=10000; %altura
r0=R+h; %distancia inicial al centro de la Tierra
t=r0*sqrt(r0/(2*G*M))*(acos((sqrt(R/r0)))+sqrt(R/r0)*sqrt(1-R/r0));

%aceleración de la gravedad constante
g=G*M/R^2;
t1=sqrt(2*h/g);
disp([t;t1])
   45.1657
   45.1067

Un proyectil se dispara desde la superficie de la Tierra

Consideremos un proyectil de masa m que es disparado en dirección radial (eje X) desde una distancia x0 del centro de la Tierra con velocidad v0.

Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v=dx/dt cuando el proyectil se encuentra a una distancia x del centro de la Tierra

1 2 m v 0 2 G Mm x 0 = 1 2 m v 2 G Mm x v 2 = v 0 2 GM( 1 x 0 1 x )

Cuando x tiende a infinito, v tiende a

v 2 = v 0 2 GM x 0

La raíz real de v existe, siempre que la velocidad inicial v0 sea mayor o igual que ve, denominada velocidad de escape (mínima necesaria para llevar un cuerpo al infinito con velocidad nula)

v 0 v e v e = GM x 0

Cuando se dispara un proyectil desde la posición x0 con velocidad v0, existen tres posibilidades

La velocidad inicial del proyectil es igual a la de escape

Es el caso más sencillo

dx dt = GM x = v 0 x 0 x

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales: t=0, x=x0

1 x 0 r 0 r x dx = v 0 0 t dt x= x 0 ( 1+ 3 2 v 0 t x 0 ) 2/3

x0=1;
x=@(t) (1+3*t/2).^(2/3);
fplot(x,[0,10])
grid on
ylim([0,7])
xlabel('t')
ylabel('x')
title('v_0=v_e')

La velocidad inicial del proyectil es mayor a la de escape

Escribimos el principio de conservación de la energía de la forma

v 2 = ( v 0 2 v e 2 )x+ x 0 v e 2 x = v 0 2 bx+a x γ= v 0 v e b=1 1 γ 2 a= x 0 γ 2 dx dt = v 0 bx+a x

Si v0>ve, entonces γ>1 y b>0, como vemos a>0

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales: t=0, x=x0

1 v 0 x 0 x x bx+a dx= 0 t dt

Para resolver la integral de la izquierda, como b>0, hacemos el cambio de variable

x= a b sinh 2 θdx=2 a b sinhθcoshθ·dθ

El integrando es

x a+bx dx= 2a b 3/2 sinh 2 θ·dθ= a 2 b 3/2 ( sinh(2θ)2θ )= a b 3/2 ( sinhθ·coshθθ )

Deshaciendo el cambio, el integrando es

x a+bx dx= a b 3/2 { 1+ bx a bx a sinh 1 bx a }

>> syms a b positive;
>> syms x;
>> z=int(sqrt(x/(a+b*x)),x)
>> simplify(z)
ans =((x/(a + b*x))^(1/2)*(a + b*x))/b - 
(a*atanh(b^(1/2)*(x/(a + b*x))^(1/2)))/b^(3/2)

En el código, el integrando aparece expresado en términos de tanh-1θ, comprobamos que es equivalente a expresarlo en términos de sinh-1θ sabiendo que

tanh 2 θ= sinh 2 θ 1+ sinh 2 θ

Expresamos el integrando en términos del parámetro γ=v0/ve

γ ( γ 2 1 ) 3/2 x 0 { ( γ 2 1) x x 0 +( γ 2 1) x 2 x 0 2 sinh 1 ( γ 2 1) x x 0 }

El tiempo t vale

t= γ ( γ 2 1 ) 3/2 x 0 v 0 { γ 2 1 x x 0 +( γ 2 1) ( x r 0 ) 2 sinh 1 ( γ 2 1) x x 0 γ γ 2 1 + sinh 1 γ 2 1 }

Representamos la función implícita x(t), para dos valores de γ, 1.05 y 1.5

x0=1;
hold on
gamma=1.05;
t=@(x) gamma*(sqrt(gamma^2-1)*sqrt(x+(gamma^2-1)*x.^2)-asinh(sqrt((gamma^2-1)*x))
-gamma*sqrt(gamma^2-1)+asinh(sqrt(gamma^2-1)))/(gamma^2-1)^(3/2);
fplot(t,[x0,10])
gamma=1.5;
t=@(x) gamma*(sqrt(gamma^2-1)*sqrt(x+(gamma^2-1)*x.^2)-asinh(sqrt((gamma^2-1)*x))-
gamma*sqrt(gamma^2-1)+asinh(sqrt(gamma^2-1)))/(gamma^2-1)^(3/2);
fplot(t,[x0,10])
grid on
legend('\gamma=1.05','\gamma=1.5', 'location','northwest')
xlabel('x')
ylabel('t')
view(90,-90)
title('v_0>v_e')

La velocidad inicial del proyectil es menor a la de escape

Escribimos el principio de conservación de la energía de la misma forma que en el apartado anterior

v 2 = ( v 0 2 v e 2 )x+ x 0 v e 2 x = v 0 2 bx+a x γ= v 0 v e b=1 1 γ 2 a= x 0 γ 2 dx dt = v 0 bx+a x

Si v0<ve, entonces γ<1 y b<0

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales: t=0, x=x0

1 v 0 x 0 x x a| b |x dx= 0 t dt

Para resolver la integral de la izquierda, hacemos el cambio de variable

x= a | b | sin 2 θdx=2 a | b | sinθcosθ·dθ

El integrando es

x a| b |x dx= 2a | b | 3/2 sin 2 θ·dθ= a | b | 3/2 (1cos2θ)·dθ= a | b | 3/2 ( θ 1 2 sin(2θ) )= a | b | 3/2 ( θsinθcosθ )

Deshaciendo el cambio, el integrando es

x a| b |x dx= a | b | 3/2 { arcsin | b |x a | b |x a 1 | b |x a }=

>> syms a b positive;
>> syms x;
>> z=int(sqrt(x/(a-b*x)),x) 
>> simplify(z)
ans =(a*atan(b^(1/2)*(x/(a - b*x))^(1/2)))/b^(3/2) - 
((x/(a - b*x))^(1/2)*(a - b*x))/b

En el código, el integrando aparece expresado en términos de tan-1θ, comprobamos que es equivalente a expresarlo en términos de sin-1θ sabiendo que

tan 2 θ= sin 2 θ 1 sin 2 θ

Expresamos el integrando en términos del parámetro γ=v0/ve

γ x 0 ( 1 γ 2 ) 3/2 { arcsin (1 γ 2 ) x x 0 (1 γ 2 ) x x 0 (1 γ 2 ) x 2 x 0 2 }

El tiempo t vale

t= γ ( 1 γ 2 ) 3/2 x 0 v 0 { arcsin (1 γ 2 ) x x 0 1 γ 2 x x 0 (1 γ 2 ) ( x x 0 ) 2 arcsin 1 γ 2 +γ 1 γ 2 }

La velocidad se hace cero cuando a+bx=0, que es la máxima distancia de alejamiento del centro de fuerzas (recuérdese que en este caso b<0). La distancia de máximo alejamiento xm es

x m = x 0 1 γ 2

El tiempo tm que emplea en alcanza esta posición es

t m = γ ( 1 γ 2 ) 3/2 x 0 v 0 { π 2 arcsin 1 γ 2 +γ 1 γ 2 }

2tm es el tiempo que tarda en regresar al punto de partida x0, con velocidad v0 en sentido contrario

Representamos la función implícita x(t), para γ=0.8

x0=1;
gamma=0.8;
xm=1/(1-gamma^2);
tm=gamma*(pi/2-asin(sqrt(1-gamma^2))+gamma*sqrt(1-gamma^2))/(1-gamma^2)^(3/2);
t=@(x) gamma*(-sqrt(1-gamma^2)*sqrt(x-(1-gamma^2)*x.^2)+asin(sqrt((1-gamma^2)*x))
+gamma*sqrt(1-gamma^2)-asin(sqrt(1-gamma^2)))/(1-gamma^2)^(3/2);
fplot(t,[x0,xm])
grid on
xlabel('x')
ylabel('t')
view(90,-90)
title('v_0<v_e')

La distancia de máximo alejamiento xm y el tiempo que emplea en recorrerla tm son

>> xm
xm =    2.7778
>> tm
tm =    5.2122

Problema de dos cuerpos

Supongamos que inicialmente los dos cuerpos están en reposo, separados una distancia r entre ambos. El centro de masa estará en reposo a una distancia r1 del cuerpo de masa m1 y a una distancia r2 del cuerpo de masa m2, como vemos en la figura.

m1r1=m2r2

r=r1+r2

r 1 = m 2 r m 1 + m 2 r 2 = m 1 r m 1 + m 2

Como el sistema de dos partículas es aislado el centro de masas continuará en reposo en la misma posición.

Si establecemos el origen en el c.m. las ecuaciones del movimiento de los dos cuerpos son

m 1 d 2 r 1 d t 2 =G m 1 m 2 r 2 m 2 d 2 r 2 d t 2 =G m 1 m 2 r 2

Escribiendo r1 o r2 en función de r,

m 1 · m 2 m 1 + m 2 d 2 r d t 2 =G m 1 · m 2 r 2 μ d 2 r d t 2 =G m 1 · m 2 r 2

El movimiento de las dos cuerpos es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m , bajo la acción de la fuerza que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre las dos masas separadas una distancia r=r1+r2

Eliminando el producto m1·m2

d 2 r d t 2 =G m 1 + m 2 r 2

Supongamos que la separación inicial entre los dos cuerpos es r0. Definimos las variables adimensionales

x=r/r0,
τ=t/P

Siendo P el periodo del movimiento circular cuando ambos cuerpos están separados una distancia r0.

P 2 = 4 π 2 r 0 3 G( m 1 + m 2 )

La ecuación del movimiento se transforma en otra más simple.

r 0 P 2 d 2 x d τ 2 = G( m 1 + m 2 ) r 0 2 · x 2 d 2 x d τ 2 = 4 π 2 x 2

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales τ=0, x=1, v=dx/dτ=0.

Transformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

d 2 x d τ 2 = dv dτ = dv dx dx dτ =v dv dx = 4 π 2 x 2

Obtenemos la velocidad v relativa de un cuerpo respecto del otro integrando la ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial x=1, v=0

0 v v·dv =4 π 2 1 x dx x 2 v 2 2 =4 π 2 ( 1 x 1 )

Cuando los cuerpos caen, x disminuye con τ, la velocidad v es negativa. Tenemos que integrar la ecuación diferencial de primer orden

dx dτ =2 2 π 1x x

con las condiciones iniciales τ=0, x=1.

1 x x 1x dx=2 2 π 0 τ dτ

La integral del miembro izquierdo se resuelve haciendo la sustitución

z 2 = x 1x dx= 2z (1+ z 2 ) 2 dz

A continuación, se integra por partes quedando

z 1+ z 2 +arctanz

Deshaciendo el cambio, evaluando el integrando para el límite superior e inferior, despejamos el tiempo adimensional τ.

τ= 1 2 2 π ( x x 2 arctan x 1x + π 2 )

Tenemos una ecuación implícita τ=τ(x), dado el valor de x calculamos el tiempo τ.

Intregramos y despejamos τ mediante Math Symbolic

>> syms x;
>> tau=-int('sqrt(x/(1-x))',x,1,x)/(2*sym('sqrt(2)')*pi)
tau =(2^(1/2)*(atan(1/(-x/(x - 1))^(1/2)) - x*(-x/(x - 1))^(1/2) +
 (-x/(x - 1))^(1/2)))/(4*pi)

Representamos la función implícita τ=f(x) en el intervalo 0<x<1

>> ezplot(tau,[0,1])
>> ylabel('\tau')
>> title('Atracción entre los cuerpos')
>> grid on
>> view([90 -90]) %gira los ejes

Ejemplo 1:

Cuerpo Masa (kg) Radio (m)
Sol 1.98·10 20 6.96·108
Tierra 5.98·1024 6.37·106
Luna 7.34·1022 1.74·106

Sea el sistema formado por la Tierra y el Sol. Supongamos que la Tierra se detiene cuando está a una distancia de una unidad astronómica r0=1.49·1011 m del centro del Sol.

La posición inicial del Sol y de la Tierra respecto del origen situado en el c.m. es

r 1 = 5.98· 10 24 5.98· 10 24 +1.98· 10 30 1.49· 10 11 =4.5· 10 5 m

a la izquierda del c.m.

r2=1.49·1011-4.5·105=1.49·1011 m

a la derecha del c.m.

El centro de masas del sistema formado por la Tierra y el Sol está muy cerca del centro del Sol que permanecerá prácticamente inmóvil dada su gran diferencia de masa con respecto de la Tierra.

Supongamos que la Tierra cae hacia el Sol, entra en contacto con el Sol, cuando la separación entre sus centros es r=6.96·108+6.37·106 m.

La Tierra está en reposo cuando su distancia del centro del Sol es x=1, y entra en contacto con el Sol cuando su separación es x=r/r0=0.0047.

Calculamos el valor del tiempo adimensional τ=0.177.

Calculamos el periodo P de la órbita circular de la Tierra alrededor del Sol.

P=2π (1.49· 10 11 ) 3 6.67· 10 11 (1.98· 10 30 +5.98· 10 24 ) =31445832s=364días

El instante en el que entran en contacto el Sol y la Tierra es t= τ·P=5558126 s=64 días.

Los centros de ambos cuerpos celestes coinciden r=0, ó x=0 en el instante

t=P 1 4 2 =5558890s

>> tau_1=subs(tau,x,0.0047);
>> double (tau_1)
ans =    0.1768
>> limit(tau,x,0)
ans =2^(1/2)/8

Ejemplo 2:

La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es 3.84·108 m

La posición de la Tierra y la Luna respecto del origen situado en el c.m. cuando su separación es r=x·3.84·108 m es

r 1 = 7.34· 10 22 5.98· 10 24 +7.34· 10 22 3.84· 10 8 ·x

a la izquierda del c.m.

r2=3.84·108-r1m

a la derecha del c.m.

El periodo P de la órbita circular de la Luna y de la Tierra alrededor de su c.m. común es

P=2π (3.84· 10 8 ) 3 6.67· 10 11 (7.34· 10 22 +5.98· 10 24 ) =2352958s=27días

Si se detiene la Tierra y la Luna cuando su distancia es r0=3.84·108 m o x=1. Sus centros coinciden r=0, ó x=0, en el instante t

t=P 1 4 2 =415948s=5días