Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua.

Consideremos el siguiente problema.

Un meteorito de masa m se mueve hacia la Tierra inmóvil en dirección radial. A la distancia r0 del centro de la Tierra su velocidad es v0. Calcular la velocidad y el tiempo que tarda en chocar con la superficie de la Tierra.

Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v de impacto con la superficie de la Tierra.

1 2 m v 0 2 G Mm r 0 = 1 2 m v 2 G Mm R v= v 0 2 +2GM( 1 R 1 r 0 )

Es más complicado calcular el tiempo de impacto. La velocidad del meteorito cuando se encuentra a una distancia x del centro de la Tierra es

dx dt = v 0 2 +2GM( 1 x 1 r 0 )

Integramos para obtener el tiempo t

t= r 0 R dx v 0 2 +2GM( 1 x 1 r 0 ) t= r 0 R r 0 x 2GM r 0 ( 2GM r 0 v 0 2 )x dx = r 0 R r 0 x abx dx

Hacemos el cambio de variable

x= a b sin 2 θ t= 2a b r 0 b θ 0 θ sin 2 dθ = a b r 0 b { ( θ 0 1 2 sin(2 θ 0 ) )( θ 1 2 sin(2θ) ) }

Ejemplo

Un meteorito de de masa m se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su velocidad a una distancia de r0=3.8·107 m del centro de la Tierra es de v0=30 km/s.
Calcular la velocidad y el tiempo de impacto en la superficie de la Tierra

G=6.67e-11;
M=5.98e24; %masa de la Tierra
R=6.37e6; %radio de la Tierra
r0=3.8e7; %distancia inicial
v0=30000; %velocidad inicial 
%velocidad del metoerito en la superficie de la Tierra
v=sqrt(v0^2+2*G*M*(1/R-1/r0))  

a=2*G*M*r0;
b=2*G*M-r0*v0^2;
fi_0=asin(sqrt(b*r0/a));
fi=asin(sqrt(b*R/a));
%tiempo en minutos
t=sqrt(a^2*r0/b^3)*((fi_0-sin(2*fi_0)/2)-(fi-sin(2*fi)/2))/60 
v = 3.1690e+04
t =  17.3465

Problema de dos cuerpos

Supongamos que inicialmente los dos cuerpos están en reposo, separados una distancia r entre ambos. El centro de masa estará en reposo a una distancia r1 del cuerpo de masa m1 y a una distancia r2 del cuerpo de masa m2, como vemos en la figura.

m1r1=m2r2

r=r1+r2

r 1 = m 2 r m 1 + m 2 r 2 = m 1 r m 1 + m 2

Como el sistema de dos partículas es aislado el centro de masas continuará en reposo en la misma posición.

Si establecemos el origen en el c.m. las ecuaciones del movimiento de los dos cuerpos son

m 1 d 2 r 1 d t 2 =G m 1 m 2 r 2 m 2 d 2 r 2 d t 2 =G m 1 m 2 r 2

Escribiendo r1 o r2 en función de r,

m 1 · m 2 m 1 + m 2 d 2 r d t 2 =G m 1 · m 2 r 2 μ d 2 r d t 2 =G m 1 · m 2 r 2

El movimiento de las dos cuerpos es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m , bajo la acción de la fuerza que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre las dos masas separadas una distancia r=r1+r2

Eliminando el producto m1·m2

d 2 r d t 2 =G m 1 + m 2 r 2

Supongamos que la separación inicial entre los dos cuerpos es r0. Definimos las variables adimensionales

x=r/r0,
τ=t/P

Siendo P el periodo del movimiento circular cuando ambos cuerpos están separados una distancia r0.

P 2 = 4 π 2 r 0 3 G( m 1 + m 2 )

La ecuación del movimiento se transforma en otra más simple.

r 0 P 2 d 2 x d τ 2 = G( m 1 + m 2 ) r 0 2 · x 2 d 2 x d τ 2 = 4 π 2 x 2

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales τ=0, x=1, v=dx/dτ=0.

Transformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

d 2 x d τ 2 = dv dτ = dv dx dx dτ =v dv dx = 4 π 2 x 2

Obtenemos la velocidad v relativa de un cuerpo respecto del otro integrando la ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial x=1, v=0

0 v v·dv =4 π 2 1 x dx x 2 v 2 2 =4 π 2 ( 1 x 1 )

Cuando los cuerpos caen, x disminuye con τ, la velocidad v es negativa. Tenemos que integrar la ecuación diferencial de primer orden

dx dτ =2 2 π 1x x

con las condiciones iniciales τ=0, x=1.

1 x x 1x dx=2 2 π 0 τ dτ

La integral del miembro izquierdo se resuelve haciendo la sustitución

z 2 = x 1x dx= 2z (1+ z 2 ) 2 dz

A continuación, se integra por partes quedando

z 1+ z 2 +arctanz

Deshaciendo el cambio, evaluando el integrando para el límite superior e inferior, despejamos el tiempo adimensional τ.

τ= 1 2 2 π ( x x 2 arctan x 1x + π 2 )

Tenemos una ecuación implícita τ=τ(x), dado el valor de x calculamos el tiempo τ.

Intregramos y despejamos τ mediante Math Symbolic

>> syms x;
>> tau=-int('sqrt(x/(1-x))',x,1,x)/(2*sym('sqrt(2)')*pi)
tau =(2^(1/2)*(atan(1/(-x/(x - 1))^(1/2)) - x*(-x/(x - 1))^(1/2) +
 (-x/(x - 1))^(1/2)))/(4*pi)

Representamos la función implícita τ=f(x) en el intervalo 0<x<1

>> ezplot(tau,[0,1])
>> ylabel('\tau')
>> title('Atracción entre los cuerpos')
>> grid on
>> view([90 -90]) %gira los ejes

Ejemplo 1:

Cuerpo Masa (kg) Radio (m)
Sol 1.98·10 20 6.96·108
Tierra 5.98·1024 6.37·106
Luna 7.34·1022 1.74·106

Sea el sistema formado por la Tierra y el Sol. Supongamos que la Tierra se detiene cuando está a una distancia de una unidad astronómica r0=1.49·1011 m del centro del Sol.

La posición inicial del Sol y de la Tierra respecto del origen situado en el c.m. es

r 1 = 5.98· 10 24 5.98· 10 24 +1.98· 10 30 1.49· 10 11 =4.5· 10 5 m

a la izquierda del c.m.

r2=1.49·1011-4.5·105=1.49·1011 m

a la derecha del c.m.

El centro de masas del sistema formado por la Tierra y el Sol está muy cerca del centro del Sol que permanecerá prácticamente inmóvil dada su gran diferencia de masa con respecto de la Tierra.

Supongamos que la Tierra cae hacia el Sol, entra en contacto con el Sol, cuando la separación entre sus centros es r=6.96·108+6.37·106 m.

La Tierra está en reposo cuando su distancia del centro del Sol es x=1, y entra en contacto con el Sol cuando su separación es x=r/r0=0.0047.

Calculamos el valor del tiempo adimensional τ=0.177.

Calculamos el periodo P de la órbita circular de la Tierra alrededor del Sol.

P=2π (1.49· 10 11 ) 3 6.67· 10 11 (1.98· 10 30 +5.98· 10 24 ) =31445832s=364días

El instante en el que entran en contacto el Sol y la Tierra es t= τ·P=5558126 s=64 días.

Los centros de ambos cuerpos celestes coinciden r=0, ó x=0 en el instante

t=P 1 4 2 =5558890s

>> tau_1=subs(tau,x,0.0047);
>> double (tau_1)
ans =    0.1768
>> limit(tau,x,0)
ans =2^(1/2)/8

Ejemplo 2:

La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es 3.84·108 m

La posición de la Tierra y la Luna respecto del origen situado en el c.m. cuando su separación es r=x·3.84·108 m es

r 1 = 7.34· 10 22 5.98· 10 24 +7.34· 10 22 3.84· 10 8 ·x

a la izquierda del c.m.

r2=3.84·108-r1m

a la derecha del c.m.

El periodo P de la órbita circular de la Luna y de la Tierra alrededor de su c.m. común es

P=2π (3.84· 10 8 ) 3 6.67· 10 11 (7.34· 10 22 +5.98· 10 24 ) =2352958s=27días

Si se detiene la Tierra y la Luna cuando su distancia es r0=3.84·108 m o x=1. Sus centros coinciden r=0, ó x=0, en el instante t

t=P 1 4 2 =415948s=5días