Apuntar un cañón para dar en el blanco.

En el programa interactivo, al pulsar sobre el botón Nuevo aparece un terreno cuyo perfil está trazado por una función cuyos coeficientes son números aleatorios. Sobre dicho terreno se sitúa el blanco también de forma aleatoria.

Antes de proceder a resolver numéricamente el problema, se usará el programa como un juego: dar en el blanco en el menor número de intentos posibles. Esto constituye una primera aproximación a la resolución del problema, ya que nos proporciona un conocimiento intuitivo de la situación física,  permitiéndonos determinar el ángulo aproximado de tiro que acierta en el blanco. Además, se comprobará que existen dos posibles soluciones, dos ángulos de tiro que dan en el blanco. A veces, por el perfil del terreno, sólo es posible el ángulo que corresponde a la trayectoria más alta.

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v0, se despejará el ángulo de tiro θ.

Las componentes de la velocidad inicial son

v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 sinθ

Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x= v 0 cosθt y= y 0 + v 0 sinθt 1 2 g t 2

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ. Eliminando t y empleando la relación trigonométrica

1 cos 2 θ =1+ tan 2 θ

nos queda una ecuación de segundo grado en tanθ  

( g x 2 2 v 0 2 ) tan 2 θxtanθ+( g x 2 2 v 0 2 +y )=0

Ejemplo

El programa interactivo nos proporciona los datos de la posición del blanco y la velocidad de disparo.

Con estos datos, la ecuación de segundo grado se escribe

13.46 tan2θ -159.7 tanθ +167.16=0

Las soluciones son

tanθ =9.15, θ =83.8º
tanθ =1.18, θ =49.8º

Actividades

Se puede utilizar el programa como un juego, para tratar de acertar en el blanco en el menor número de intentos.

Se recomienda resolver al menos una situación numéricamente, introduciendo uno de los dos ángulos calculados en el control titulado Angulo de tiro para acertar al primer intento, comprobándose de este modo que la solución es correcta.

Solución con MATLAB

Calcular el ángulo de tiro con que se ha de apuntar un cañón para que dé en el blanco situado a 200 m de distancia horizontal y 100 m de altitud sobre el cañón, sabiendo que la velocidad de disparo es de 60 m/s. (Tómese g=10 m/s2)

{ a x = 0 a y = 10 { v x = 60 · cos θ v y = 60 · sin θ + ( 10 ) t { x = 60 · cos θ · t y = 60 · sin θ t + 1 2 ( 10 ) t 2

Punto de impacto: x=200 m, y=100 m. Para calcular los ángulos de tiro θ despejamos el tiempo t en la primera ecuación y la sustituímos en la segunda, quedando una ecuación de segundo grado en tanθ.

t = 10 3 · cos θ 1 = 2 · sin θ 1 cos θ 5 1 9 ·s cos 2 θ 1 cos 2 θ = 1 + tan 2 θ 5 9 tan 2 θ 2 tan θ + 14 9 = 0 { θ 1 = 67.9 º θ 2 = 48.7 º

clear
syms fi t;
eq1='60*cos(fi)*t=200';
eq2='60*sin(fi)*t-5*t^2=100';
[fi tf]=solve(eq1,eq2);
fi=double(fi);
tf=double(tf);
disp(['ángulo','  tiempo de vuelo'])
disp([fi*180/pi,tf])

hold on
fill([100,100,250 250],[0,100,100,0],'g') %terreno
t=linspace(0,tf(4),100);
x=60*cos(fi(4))*t;
y=60*sin(fi(4))*t-5*t.^2;
plot(x,y,'b')
t=linspace(0,tf(3),100);
x=60*cos(fi(3))*t;
y=60*sin(fi(3))*t-5*t.^2;
plot(x(x‹=100),y(x‹=100),'r') %hasta que choca con la pared
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('tiro parabólico')
hold off

Corremos el script en la ventana de comandos

ángulo  tiempo de vuelo
   ángulo  tiempo de vuelo
 -131.3400   -5.0465
 -112.0950   -8.8619
   48.6600    5.0465
   67.9050    8.8619

La función solve nos calcula cuatro ángulos, de los cuales solamente son posibles los positivos. Transformamos la expresión exacta del ángulo en radianes guardada en fi en un valor numérico en doble precisión del ángulo en grados mediante la función double.