En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

• El aro está a una altura de 3.05 m del suelo
• El diámetro del aro es de 45 cm
• El diámetro del balón es de 25 cm

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ₀, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\\ v_y=v_0\cdot \text{sin}{\theta }_0-g\cdot t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\cdot t\\ y=v{}_0\cdot \text{sin}{\theta }_0\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\end{array}}$

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

${\displaystyle y=x\tan {\theta }_0-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0}}$

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

• Conocido el ángulo de tiro θ₀, calculamos la velocidad inicial

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

• Conocida la velocidad inicial v₀, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ₀. Para ello, utilizamos la relación 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀

${\displaystyle h=L\tan {\theta }_0-\frac{g{L}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2{\theta }_0)}$

o bien,

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2v_0^2}{gL}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2v_0^{2}h}{g{L}^2}\right)=0}$

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_y}{v_x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{v_0\cos {\theta }_0}}$

como

${\displaystyle \frac{y}{x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{2v_0\cos {\theta }_0}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

${\displaystyle \tan \theta =\frac{2y}{x}-\tan {\theta }_0}$

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v₀ en función del ángulo de tiro θ₀.

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero:

tanθ₀=h/L
cosθ₀=0

Como v²₀ tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ₀ no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

${\displaystyle \tan {\theta }_e=\frac{2h}{L}-\tan {\theta }_0}$

Como θ_e es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

${\displaystyle \tan {\theta }_0>\frac{2h}{L}}$

El ángulo de tiro θ₀ tiene que cumplir

${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{2h}{L}\right)}$

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θ_e mínimo (en valor absoluto)

sin|θ_e|=2R/D_a

donde R es el radio del balón y D_a es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y D_a=45 cm. El ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ₀. La relación entre ambos ángulos es

${\displaystyle \tan \left|{\theta }_e\right|=-\frac{2h}{L}+\tan {\theta }_0}$

${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}}$

θ_0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ₀ que sea mayor que el valor mínimo θ_0L para conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v₀ en función del ángulo de tiro θ_0. Observamos que la curva tiene un mínimo v_0m para cierto valor del ángulo de tiro θ_0m.

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

Calculamos el ángulo θ_0m para el cual la velocidad inicial v₀ es mínima.

${\displaystyle \frac{d{v}_0^2}{d{\theta }_0}=\frac{-\left(-2\cos {\theta }_0·\sin {\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)+{\cos }^2{\theta }_0\frac{1}{{\cos }^2{\theta }_0}\right)gL}{2{\cos }^4{\theta }_0{(\tan {\theta }_0-h/L)}^2}=0}$

Despejamos el ángulo θ₀

-2sin²θ₀+2(h/L)sinθ₀·cos θ₀+1=0

${\displaystyle \tan (2{\theta }_{0m})=\frac{-h}{L}{\theta }_{0m}=45º+\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Expresamos el ángulo θ_0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

${\displaystyle \tan \left(45º+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{1+\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-\tan \frac{1}{2}\alpha }\alpha =\arctan \frac{h}{L}}$

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }}$

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

${\displaystyle \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{-1+\sqrt{1+h^2/L^2}}{h/L}}$

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\tan \left(45+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{h}{L}+\sqrt{1+\frac{h^2}{L^2}}}$

Conocido el valor θ_0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v_0m. Para ello empleamos la relación 1+tan²θ=1/cos²θ

${\displaystyle v_{0m}^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_{0m}(\tan {\theta }_{0m}-h/L)}=g\left(\sqrt{L^2+h^2}+h\right)}$

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que la mínima v_0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}\tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2·1}{3}{\theta }_{0L}=53.2º}$

• Dado el ángulo de tiro θ₀=70º>53.2º  calculamos la velocidad inicial

${\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{3·9.8}{2{\cos }^{2}70(\tan 70-1/3)}}=7.21\text{m/s}}$

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro

${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\frac{1}{3}+\sqrt{1+\frac{1^2}{3^2}}{\theta }_{0m}=54.2º}$

y la velocidad mínima vale

${\displaystyle v_{0m}=\sqrt{9.8\left(\sqrt{3^2+1^2}+1\right)}=6.39\text{m/s}}$

• Dada la velocidad de disparo v₀ es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v₀ tiene que ser mayor que el valor mínimo v_0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v₀=8.0 m/s, calcular θ₀.

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2·8^2}{9.8·3}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2·8^2·1}{9.8·3^2}\right)=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ₀ son

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro. 

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

• La distancia x₀ de la pelota al centro del aro, en el control titulado Distancia

• La altura y₀ de la pelota sobre el suelo, en el control titulado Altura

Las coordenadas del centro (x₀, y₀) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x₀, y la altura h=3.05-y₀. Se representa, en la parte derecha, la función que relaciona la velocidad inicial v₀ con el ángulo de tiro θ₀. Los segmentos de color rojo sobre los ejes marcan los posibles ángulos de tiro, y velocidades iniciales v₀, que hacen pasar el balón por el centro del aro

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

• el valor de la velocidad inicial v₀.
• el valor del ángulo de tiro θ₀.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la trayectoria del centro del balón.

Comprobar que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v₀, θ₀) situados sobre la curva de color rojo, corresponden a trayectorias que pasan por el centro del aro.

Margen de error

En los apartados anteriores, hemos supuesto que el punto de impacto situado a una distancia L y a una altura h del punto de lanzamiento es único. Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, vamos a ver que existe una indeterminación en el alcance L, que da lugar a una tolerancia en la velocidad inicial v₀, en el ángulo de tiro θ₀ o en ambos a la vez. Por tanto, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de tiro que dan lugar a enceste pueden cambiar en un pequeño intervalo que depende de la posición inicial del balón respecto del aro.

Podríamos pensar que la indeterminación en el alcance es igual a la diferencia entre el diámetro del balón y el diámetro del aro, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, el balón entra en el aro siguiendo una trayectoria cuya tangente forma un ángulo θ_e con la horizontal.

En la figura, el aro AB es atravesado por un balón cuya dirección de su velocidad forma un ángulo θ_e con la horizontal. En los triángulos rectángulos ABC y EDF

AC=D_a·sin|θ_e|

EF=AC-2·R= D_a·sin|θ_e|-2R

ED=2ΔL=EF/sin|θ_e|

${\displaystyle \Delta L=\frac{1}{2}\left(D_a-\frac{2R}{\text{sin|}{\theta }_e|}\right)}$

ΔL (en color rojo) representa el margen de error en la distancia horizontal L desde el punto de lanzamiento hasta el blanco. Este margen de error desaparece cuando ΔL=0, es decir, cuando

${\displaystyle \text{sin}\left|{\theta }_e\right|=\frac{2R}{D_a}=\frac{25}{45}\left|{\theta }_e\right|=33.7º}$

Como ya se ha explicado, el ángulo θ_e que forma el vector velocidad $\overrightarrow{v}$ con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro, sin tocarlo.

• Fijado el ángulo de tiro θ₀> θ_0L la velocidad inicial v₀ no es única sino que está comprendida en el intervalo v₀+Δv₊ y v₀-Δv_-. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

En la fórmula,

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL(1+{\tan }^2{\theta }_0)}{2(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

con los datos de h y L calculamos v₀ para un determinado ángulo de disparo θ₀

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos la velocidad de disparo v₊= v₀+Δv₊
2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos la velocidad de disparo v_-= v₀-Δv_-



En la figura, se muestra las tres trayectorias:

• En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
• En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

 

• Fijada la velocidad de disparo v₀, el ángulo de tiro no es único sino que está comprendida en el intervalo θ₀+Δθ₊ y θ₀-Δθ_-. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

Resolvemos la ecuación de segundo grado en tanθ₀.

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2v_0^2}{gL}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2v_0^{2}h}{g{L}^2}\right)=0}$

con los datos de h y L calculamos el ángulo de tiro θ₀ para una determinada velocidad de disparo v₀.

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ₊= θ₀+Δθ₊
2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ_-=θ₀-Δθ_-

 

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

• En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
• En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

Estos dos márgenes de error sirven de criterio para elegir la mejor trayectoria. Cuando mayor sea el margen de error para un determinado ángulo de tiro, mayor es la libertad del jugador para desviarse de los valores precisos de v₀ y θ ₀ necesarios para que el balón entre por el centro del aro.

Ejemplo:

Supongamos, como en el ejemplo del apartado anterior, que h=1 m y L=3 m.

• Fijamos el ángulo de tiro θ₀=70º, la velocidad inicial calculada v₀=7.21 m/s.
  El ángulo de entrada del balón cuando llega al aro es

${\displaystyle \tan {\theta }_e=\frac{2·1}{3}-\tan 70º{\theta }_e=-64.3º}$

El margen de error ΔL en la distancia horizontal L vale

${\displaystyle \Delta L=\frac{1}{2}\left(0.45-\frac{0.25}{\text{sin64}\text{.3}}\right)=0.086\text{m}}$

En la fórmula,

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL(1+{\tan }^2{\theta }_0)}{2(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

1. Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos la velocidad inicial v₊=7.30 m/s, y la tolerancia Δv₊=0.09 m/s
2. Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos la velocidad inicial v_-= 7.12 m/s, y la tolerancia Δv_-=0.09 m/s

 

• Fijamos la velocidad inicial v₀=8.0 m/s, el ángulo de tiro calculado es θ₀=74.83º
  En la ecuación de segundo grado

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2v_0^2}{gL}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2v_0^{2}h}{g{L}^2}\right)=0}$

1. Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos el ángulo de tiro θ_-=74.34º, y la tolerancia Δ θ _-=0.49º
2. Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos el ángulo de tiro θ₊ =75.32º, y la tolerancia Δ θ₊=0.49º

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

• La distancia x₀ de la pelota al centro del aro, en el control titulado Distancia

• La altura y₀ de la pelota sobre el suelo, en el control titulado Altura

Las coordenadas del centro (x₀, y₀) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x₀, y la altura h=3.05-y₀. Se representa, en la parte derecha, la función que relaciona la velocidad inicial v₀ con el ángulo de tiro θ₀. y también se representa la función v₊(θ₀) y v_-(θ₀).

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

• el valor de la velocidad inicial v₀.
• el valor del ángulo de tiro θ₀.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Comprobamos que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v₀, θ₀) situados sobre la región coloreada, corresponden a trayectorias que pasan por el aro sin tocarlo.

Choque del balón con el aro

El choque del balón con el aro (punto de color negro en la figura), nos introduce al concepto de parámetro de impacto y ángulo de dispersión.

Cuando una esfera rígida de radio R, choca contra un obstáculo puntual la dirección de la velocidad de su centro cambia, tal como se muestra en la figura.

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad del centro de la esfera y el obstáculo puntual. Si el parámetro de impacto b, es mayor o igual que el radio R, no se dispersa continuando con la dirección incidente original.

Ahora bien, si el parámetro de impacto es menor que el radio R, suponiendo un choque elástico con un obstáculo fijo, el disco se refleja siguiendo una dirección que forma un ángulo Φ suplementario a la suma del ángulo de incidencia α y reflejado β.

Del mismo modo que en una reflexión especular, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, α=β. La normal en este caso es la recta que une el obstáculo puntual y el centro de la esfera.

El ángulo de dispersión, Φ como puede fácilmente deducirse de la figura, es

${\displaystyle \Phi =\pi -2\text{arcsin}\left(\frac{b}{R}\right)}$

Referencias

Brancazio P. J. Physics of basketball. Am. J. Phys. 49 (4) April 1981. pp. 356-365

Savirón J. M. Problemas de Física General en un año olímpico. Editorial Reverté (1984), págs. 113-157.