Tiros frontales a canasta

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ0, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cos θ 0 v y = v 0 sin θ 0 gt { x= v 0 cos θ 0 t y=v 0 sin θ 0 t 1 2 g t 2

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

y=xtan θ 0 1 2 g x 2 v 0 2 cos 2 θ 0

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

tanθ= v y v x =tan θ 0 gt v 0 cos θ 0

como

y x =tan θ 0 gt 2 v 0 cos θ 0

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

tanθ= 2y x tan θ 0

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v0 en función del ángulo de tiro θ0.

v 0 2 = gL 2 cos 2 θ 0 (tan θ 0 h/L)

la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero:

tanθ0=h/L
cosθ0=0

Como v20 tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ0 no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

90º> θ 0 >arctan( h L )

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θe que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

tan θ e = 2h L tan θ 0

Como θe es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

tan θ 0 > 2h L

El ángulo de tiro θ0 tiene que cumplir

90º> θ 0 >arctan( 2h L )

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θe mínimo (en valor absoluto)

sin|θe|=2R/Da

donde R es el radio del balón y Da es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y Da=45 cm. El ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ0. La relación entre ambos ángulos es

tan| θ e |= 2h L +tan θ 0

tan θ 0L =tan33.7+ 2h L

θ0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ0 que sea mayor que el valor mínimo θ0L para conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v0 en función del ángulo de tiro θ0. Observamos que la curva tiene un mínimo v0m para cierto valor del ángulo de tiro θ0m.

v 0 2 = gL 2 cos 2 θ 0 (tan θ 0 h/L)

Calculamos el ángulo θ0m para el cual la velocidad inicial v0 es mínima.

d v 0 2 d θ 0 = ( 2cos θ 0 ·sin θ 0 (tan θ 0 h/L)+ cos 2 θ 0 1 cos 2 θ 0 )gL 2 cos 4 θ 0 (tan θ 0 h/L) 2 =0

Despejamos el ángulo θ0

-2sin2θ0+2(h/L)sinθ0·cos θ0+1=0

tan(2 θ 0m )= h L θ 0m =45º+ 1 2 arctan( h L )

Expresamos el ángulo θ0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

tan( 45º+ 1 2 α )= 1+tan 1 2 α 1tan 1 2 α α=arctan h L

tanα= 2tan 1 2 α 1 tan 2 1 2 α

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

tan 1 2 α= 1+ 1+ h 2 / L 2 h/L

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

tan θ 0m =tan( 45+ 1 2 α )= h L + 1+ h 2 L 2

Conocido el valor θ0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v0m. Para ello empleamos la relación 1+tan2θ=1/cos2θ

v 0m 2 = gL 2 cos 2 θ 0m (tan θ 0m h/L) =g( L 2 + h 2 +h )

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v0 tiene que ser mayor que la mínima v0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

tan θ 0L =tan33.7+ 2h L tan θ 0L =tan33.7+ 2·1 3 θ 0L =53.2º

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

Las coordenadas del centro (x0, y0) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x0, y la altura h=3.05-y0. Se representa, en la parte derecha, la función que relaciona la velocidad inicial v0 con el ángulo de tiro θ0. Los segmentos de color rojo sobre los ejes marcan los posibles ángulos de tiro, y velocidades iniciales v0, que hacen pasar el balón por el centro del aro

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la trayectoria del centro del balón.

Comprobar que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v0, θ0) situados sobre la curva de color rojo, corresponden a trayectorias que pasan por el centro del aro.


Margen de error

En los apartados anteriores, hemos supuesto que el punto de impacto situado a una distancia L y a una altura h del punto de lanzamiento es único. Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, vamos a ver que existe una indeterminación en el alcance L, que da lugar a una tolerancia en la velocidad inicial v0, en el ángulo de tiro θ0 o en ambos a la vez. Por tanto, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de tiro que dan lugar a enceste pueden cambiar en un pequeño intervalo que depende de la posición inicial del balón respecto del aro.

Podríamos pensar que la indeterminación en el alcance es igual a la diferencia entre el diámetro del balón y el diámetro del aro, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, el balón entra en el aro siguiendo una trayectoria cuya tangente forma un ángulo θe con la horizontal.

En la figura, el aro AB es atravesado por un balón cuya dirección de su velocidad forma un ángulo θe con la horizontal. En los triángulos rectángulos ABC y EDF

AC=Da·sin|θe|

EF=AC-2·R= Da·sin|θe|-2R

ED=2ΔL=EF/sin|θe|

ΔL= 1 2 ( D a 2R sin| θ e | )

ΔL (en color rojo) representa el margen de error en la distancia horizontal L desde el punto de lanzamiento hasta el blanco. Este margen de error desaparece cuando ΔL=0, es decir, cuando

sin| θ e |= 2R D a = 25 45 | θ e |=33.7º

Como ya se ha explicado, el ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro, sin tocarlo.

Estos dos márgenes de error sirven de criterio para elegir la mejor trayectoria. Cuando mayor sea el margen de error para un determinado ángulo de tiro, mayor es la libertad del jugador para desviarse de los valores precisos de v0 y θ 0 necesarios para que el balón entre por el centro del aro.

Ejemplo:

Supongamos, como en el ejemplo del apartado anterior, que h=1 m y L=3 m.

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

Las coordenadas del centro (x0, y0) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x0, y la altura h=3.05-y0. Se representa, en la parte derecha, la función que relaciona la velocidad inicial v0 con el ángulo de tiro θ0. y también se representa la función v+(θ0) y v-(θ0).

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Comprobamos que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v0, θ0) situados sobre la región coloreada, corresponden a trayectorias que pasan por el aro sin tocarlo.


Referencias

Brancazio P. J. Physics of basketball. Am. J. Phys. 49 (4) April 1981. pp. 356-365

Savirón J. M. Problemas de Física General en un año olímpico. Editorial Reverté (1984), págs. 113-157.