La parábola de seguridad.

En el programa interactivo al final de la página, se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con los siguientes ángulos de tiro θ : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son

x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t 1 2 g t 2

La parábola de seguridad

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

x max = v 0 2 sin(2θ) g

Su valor máximo se obtiene para θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+α , que para θ =45-α . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sin(2·30)=sin(2·60).

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

y max = v 0 2 sin 2 θ 2g

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad.

Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y=-ax2+b que pasa por los puntos (x=v02/g, y=0), y (x=0, y=v02/(2g)) tal como se ve en la figura.

La ecuación de dicha parábola es

y= 1 2 g v 0 2 x 2 + 1 2 v 0 2 g

Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t 1 2 g t 2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 cos 2 θ

Esta ecuación se puede escribir de forma alternativa

tan 2 θ 2 v 0 2 gx tanθ+( 1+ 2 v 0 2 y g x 2 )=0

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuación de la trayectoria y puede ocurrir

  1. Que la ecuación de segundo grado en tanθ no tenga raíces reales. El punto P1 no podría ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v0.

  2. Que la ecuación de segundo grado tenga dos raíces reales, lo que implicará que el punto P2 es accesible, y que hay dos ángulos de tiro θ1 y θ2 que dan en el blanco P2. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.

  3. Cuando la raíz de la ecuación de segundo grado es doble θ1=θ2. Como vemos en la figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P3 dado de la envolvente.

Para que las raíces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b2-4ac de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 sea nulo.

( 2 v 0 2 gx ) 2 4( 1+ 2 v 0 2 y g x 2 )=0y= g 2 v 0 2 x 2 + v 0 2 2g

Esta es la ecuación de la envolvente que hemos obtenido anteriormente.

Ecuación de la envolvente

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo θ con el que se dispara el proyectil. f(x, y, θ)=0

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 (1+ tan 2 θ)

La ecuación de la envolvente de las trayectorias se obtiene derivando con respecto a θ o bien, respecto a tanθ e igualando a cero.

f θ =0 1 gx v 0 2 tanθ=0tanθ= v 0 2 gx

Combinamos esta ecuación con la de la trayectoria para eliminar el ángulo θ. Es decir, introducimos la expresión de tanθ  en la ecuación de la trayectoria, para obtener la ecuación de la envolvente

y= g 2 v 0 2 x 2 + v 0 2 2g  

La elipse que une las posiciones de altura máxima

La altura máxima se alcanza cuando vy=0, en el intante t=v0·sinθ/g. La posición (xm, ym) del proyectil en este instante es

x m = v 0 2 2g sin(2θ) y m = v 0 2 2g sin 2 θ

Teniendo en cuenta, la relación trigonométrica 1-cos(2θ)=2sin2θ

x m = v 0 2 2g sin(2θ) y m = v 0 2 4g ( 1cos(2θ) )

Despejando sin(2θ) en la primera ecuación, cos(2θ), en la segunda, elevando al cuadrado y sumando, eliminamos el ángulo 2θ.

x m 2 4 b 2 + ( y m b) 2 b 2 =1b= v 0 2 4g

Esta ecuación representa una elipse centrada en el punto (0, b) cuyos semiejes son 2b y b

v0=10; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
hold on
for ang=(15:15:180)*pi/180
    %trayectorias
    T=2*v0*sin(ang)/g;
    fplot(@(t) v0*cos(ang)*t, @(t) v0*sin(ang)*t-g*t.^2/2,[0,T]);
    %máximos
    xm=v0^2*sin(2*ang)/(2*g); 
    ym=v0^2*sin(ang)^2/(2*g);
    plot(xm,ym,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
%elipse
b=v0^2/(4*g);
x=linspace(-2*b,2*b, 50);
y=b*(1+sqrt(1-x.^2/(4*b^2))); %media elipse
plot([x,fliplr(x)],[y,2*b-y],'k')
hold off
grid on
xlim([-10,10])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Máximos de la trayectoria')

La circunferencia que une los focos de las parábolas

Sea la parábola de ecuación, y= 1 4p x 2 . El vértice está en el origen (0,0) y el foco, una distancia p por debajo, tal como se aprecia en la figura de la izquierda

Sea una parábola de ecuación y=ax2+bx+c, con a<0. Conocidas las coordenadas del vértice (máximo), las coordenadas del foco son

x F = x m , y F = y m + 1 4a ,a<0

En la ecuación de la trayectoria el coeficiente a es

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 cos 2 θ , a= g 2 v 0 2 cos 2 θ

Las coordenadas del foco son

x F = v 0 2 2g sin( 2θ ) y F = v 0 2 sin 2 θ 2g v 0 2 cos 2 θ 2g = v 0 2 2g cos( 2θ )

Cumplen que

x F 2 + y F 2 = ( v 0 2 2g ) 2

Que es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio r= v 0 2 2g

v0=10; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
hold on
for ang=(15:15:180)*pi/180
    %trayectorias
    T=2*v0*sin(ang)/g;
    fplot(@(t) v0*cos(ang)*t, @(t) v0*sin(ang)*t-g*t.^2/2,[0,T]);
    %focos
    xF=v0^2*sin(2*ang)/(2*g); 
    yF=-v0^2*cos(2*ang)/(2*g);
    plot(xF,yF,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
%circunferencia
r=v0^2/(2*g);
fplot(@(t) r*cos(t), @(t) r*sin(t),[0,2*pi], 'color','k')
hold off
axis equal
grid on
xlim([-10,10])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Focos')

La circunferencia que une las posiciones en el instante t

Se disparan en el mismo instante poyectiles con la misma velocidad v0 con varios ángulos ángulos de tiro θ. Escribimos la posición de los proyectiles en el instante t de la foma

x= v 0 cosθ·t y+ 1 2 g t 2 = v 0 sinθ·t

Elevando al cuadrado y sumando, obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio v0t centrada en el punto x=0, y=-gt2/2

x 2 +( y+ 1 2 g t 2 )= ( v 0 t ) 2

v0=10; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad

hold on
T=1; %instante
for ang=(15:15:180)*pi/180
    %trayectorias
    x=@(t) v0*cos(ang)*t;
    y=@(t) v0*sin(ang)*t-g*t.^2/2;
    fplot(x ,y ,[0,T]);
    %posición en el instante T
    plot(x(T),y(T),'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
%circunferencia
fplot(@(ang) v0*T*cos(ang), @(ang) v0*T*sin(ang)-g*T^2/2, [0,2*pi])
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Posiciones en el mismo instante')

Actividades

Se introduce la velocidad inicial de los proyectiles en el control titulado Velocidad inicial.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa las trayectorias que siguen los proyectiles disparados con ángulo de tiro θ : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º y la envolvente o parábola de seguridad

En la parte superior derecha se muestra el alcance de cada uno de los proyectiles.

El lector puede calcular, el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo de un proyectil para algunos de los ángulos de tiro especificados y en especial, el que corresponde a 45º y comparar sus resultados con los proporcionados por el programa interactivo.

Una valla de protectora

Supongamos una región unidimensional de longitud R. Un cañón situado en el origen dispara proyectiles con velocidad constante v0 tal que el alcance máximo R= v 0 2 /g , haciendo un ángulo 0<θ<90° de forma aleatoria. Los habitantes de esta región están amenazados, por lo que deciden levantar una valla de seguridad de altura yp en la posición xp.

Ahora bien, supondremos que la altura yp de la valla impenetrable por los proyectiles es menor que la ordenada de la parábola de seguridad en la posición xp, tal como se muestra en la figura.

La ecuación de la parábola de seguridad es

y= 1 2 v 0 2 g 1 2 g v 0 2 x 2 = 1 2 R( 1 x 2 R 2 )

La ordenada y en la posición xp de la pared es

y= 1 2 R( 1 x p 2 R 2 )

Determinamos las trayectorias de las dos parábolas que pasan por el punto (xp, yp)

{ x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t 1 2 g t 2 y=tanθ·x 1 2 g v 0 2 x 2 cos 2 θ =tanθ·x 1 2 g x 2 v 0 2 (1+ tan 2 θ)

Dada la posición del blanco, determinamos los dos ángulos de tiro, θ1 y θ2 resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ

tan 2 θ2 v 0 2 g x p tanθ+ 2 v 0 2 g x p 2 y p +1=0 tan 2 θ2 R x p tanθ+ 2R x p 2 y p +1=0 tan θ 1 = R R 2 x p 2 2R y p x p ,tan θ 2 = R+ R 2 x p 2 2R y p x p

Se obtienen raíces reales si el discriminante es positivo

y p < 1 2 R( 1 x p 2 R 2 )

es decir, el extremo de la pared vertical (xp, yp) está dentro de la parábola de seguridad

Los alcances x1 y x2 de los proyectiles disparados con ángulos θ1 y θ2 son

x 1 = v 0 2 g sin(2 θ 1 )=2R tan θ 1 1+ tan 2 θ 1 = R R 2 x p 2 2R y p (R y p ) R 2 x p 2 2R y p x p = x p 2 + y p ( R+ R 2 x p 2 2R y p ) x p 2 + y p 2 x p x 2 = v 0 2 g sin(2 θ 2 )=2R tan θ 2 1+ tan 2 θ 2 = R+ R 2 x p 2 2R y p (R y p )+ R 2 x p 2 2R y p x p = x p 2 + y p ( R R 2 x p 2 2R y p ) x p 2 + y p 2 x p

Supongamos que la región tiene una longitud R=1000 m, que corresponde al alcance máximo. La velocidad de disparo es por tanto, v0=98.9949 m/s.

Pueden ocurrir dos casos:

Referencias

Del apartado, "La elipse que une las posiciones de altura máxima"

Fernández-Chapou J. L., Salas-Brito A. L., Vargas C. A. An elliptic property of parabolic trajectories. Am. J. Phys. 72 (8) August 2004, pp. 1109

Del apartado, "Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad"

Donnelly D. The parabolic envelope of constant initial speed trajectories. Am. J. Phys. 60 (12) December 1992, pp. 1149-1150

Del apartado, "Una valla protectora"

O. Faella, R. De Luca Living under attack in a one-dimensional virtual world. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 37, n. 3, 3304 (2015). https://www.scielo.br/j/rbef/i/2015.v37n3/