Una rana salta un tronco.

Un tronco cilíndrico de radio R, yace en el suelo. Una rana intenta saltarlo siguiendo una trayectoria parabólica tal como se muestra en la figura. Vamos a calcular la velocidad v0 mínima de disparo, el ángulo de tiro θ y la distancia x0 al troco.

Vamos a estudiar una trayectoria parabólica simétrica respecto del eje Y, es decir, la posición de disparo es -x0 y la de impacto x0, el alcance sería 2x0 y la altura máxima R+h

a { a x =0 a y =g v { v x =x v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt r { x= x 0 + v 0 cosθ·t y= v 0 sinθt 1 2 g t 2

La altura máxima se alcanza cuando vy=0

t= v 0 sinθ g R+h= v 0 sinθ v 0 sinθ g 1 2 g ( v 0 sinθ g ) 2 = 1 2 v 0 2 sin 2 θ g

En el tiempo t que tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima, se desplaza desde -x0 hasta el origen x=0 o desde el origen hasta la posición de impacto x0

0= x 0 + v 0 cosθ v 0 sinθ g x 0 = 1 2 v 0 2 sin( 2θ ) g

Tiempo de vuelo es el doble que el empleado en alcanzar la máxima altura

T=2 v 0 sinθ g

Trayectoria tangente a la circunferencia de radio R

Dado que la trayectoria es simétrica, situamos el origen en el centro del tronco y tomamos la velocidad de disparo v0cosθ a una altura h por encima del centro. Las ecuaciones del movimiento del proyectil respecto del nuevo origen, son simples:

x=v0cosθ·t
y=h-gt2/2

La trayectoria parabólica es tangente a la circunferencia de radio R, por lo que x2+y2=R2

( v 0 cosθ·t ) 2 + ( h 1 2 g t 2 ) 2 = R 2 g 2 4 t 4 +( ( v 0 cosθ ) 2 gh ) t 2 +( h 2 R 2 )=0 t 2 = ( ( v 0 cosθ ) 2 gh )± ( ( v 0 cosθ ) 2 gh ) 2 g 2 ( h 2 R 2 ) g 2 /2

Por simetría los tiempos tiene que ser iguales y de signo contrario, por lo que el discriminante deberá ser nulo

( ( v 0 cosθ ) 2 gh ) 2 g 2 ( h 2 R 2 )=0 ( v 0 cosθ ) 2 =g( h± h 2 R 2 )

La solución con signo positivo no es posible ya que daría un tiempo t2<0

v 0 cosθ= g( h h 2 R 2 )

Conocida la velocidad en el punto más alto de la trayectoria v0cosθ, aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad de disparo v0

1 2 m v 0 2 =mg(h+R)+ 1 2 m ( v 0 cosθ ) 2 v 0 2 =g( 3h+2R h 2 R 2 )

hold on
ang=(1:360)*pi/180; %tronco
fill(cos(ang),1+sin(ang),'y')
R=1; %radio del tronco
h=1.5; %altura desde el centro del tronco
v0=sqrt(9.8*(3*h+2*R-sqrt(h^2-R^2))); %velocidad de disparo
th=acos(sqrt(9.8*(h-sqrt(h^2-R^2)))/v0); %ángulo de tiro
x0=v0^2*sin(2*th)/(2*9.8); %posición de disparo
tVuelo=2*x0/(v0*cos(th)); %tiempo de vuelo
fplot(@(t) -x0+v0*cos(th)*t, @(t) v0*sin(th)*t-4.9*t.^2,[0,tVuelo])
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Tiro parabólico')

En el script se calculan: la velocidad de disparo v0=7.26 m/s, el ángulo de tiro θ=74.5°, la posición de disparo x0=-1.38 m y el tiempo de vuelo T=1.43 s

>> v0
v0 =    7.2625
>> th*180/pi
ans =   74.5496
>> x0
x0 =    1.3820
>> tVuelo
tVuelo =    1.4286

Velocidad mínima

hold on
ang=(1:360)*pi/180; %tronco
fill(cos(ang),1+sin(ang),'y')
R=1; %radio del tronco
v0=sqrt(2*(1+sqrt(2))*9.8*R); %velocidad de disparo
th=asin(sqrt(sqrt(2)+2)/2); %ángulo de tiro
x0=(sqrt(2)+2)*R/2; %posición de disparo
tVuelo=sqrt(2*(4+3*sqrt(2)))*sqrt(R/9.8); %tiempo de vuelo
fplot(@(t) -x0+v0*cos(th)*t, @(t) v0*sin(th)*t-4.9*t.^2,[0,tVuelo])
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Tiro parabólico')

En el script se calculan: la velocidad de disparo v0=6.88 m/s, el ángulo de tiro θ=67.5°, la posición de disparo x0=-1.71 m, el tiempo de vuelo T=1.30 s y la altura máxima medida desde el centro del tronco, hm=1.06 m, 6 cm por encima del tronco.

>> v0
v0 =    6.8789
>> th*180/pi
ans =   67.5000
>> x0
x0 =    1.7071
>> tVuelo
tVuelo =    1.2970
>> hm=3*sqrt(2)*R/4
hm =    1.0607

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se traza la trayectoria parabólica seguida por la rana de acuerdo con las ecuaciones

Cuando el proyectil choca con el tronco, es decir, cuando su distancia al centro del tronco es menor que R el movimiento se detiene

x 2 + ( yR ) 2 R 2

El movimiento también se detiene cuando el proyectil llega al suelo, y=0


Referencias

Physcis Challenge for Teachers and Students. Solution to November 2010 Challenge. A Natural Log Puzzle. The Physics Teacher, Vol 49, 2011, pp. 631-632