Alcance máximo en un plano inclinado

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ
vy=v0·
sinθ-g·t

La posición en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t
y= v0·
sinθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

T= 2 v 0 g (tanθtanα)cosθ

El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es

R= x cosα = 2 v 0 2 g (tanθtanα) cos 2 θ cosα = 2 v 0 2 g sin(θα) cosθ cos 2 α

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v0·cos(θ-α)·t-g·sinα·t2/2
y=v0
·sin(θ-α)·t-g·cosα·t2/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

T= 2 v 0 sin(θα) g·cosα

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación

R= 2 v 0 2 sin(θα) g· cos 2 α ( cos(θα)·cosαsin(θα)·sinα )= 2 v 0 2 sin(θα) g· cos 2 α cosθ

v0=60; %velocidad de disparo
alfa=20*pi/180;  %plano inclinado
x=(20:90)*pi/180;
R=2*v0^2*sin(x-alfa).*cos(x)/(9.8*cos(alfa)^2);
plot(x,R)
set(gca,'XTick',0:pi/8:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/8','\pi/4','3\pi/8','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('R')
title('Alcance')

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para un plano inclinado α=20º y una velocidad de disparo v0=60 m/s. El alcance máximo se produce para el ángulo 55º

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

dR dθ = 2 v 0 2 g cos 2 α cos(2θα)=0

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale

θ m = π 4 + α 2

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 (1+ tan 2 θ)

Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

g x 0 2 2 v 0 2 tan 2 θ x 0 ·tanθ+ x 0 tanα+ g x 0 2 2 v 0 2 =0

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

tanθ= v 0 2 g x 0 ( 1± 1 2g x 0 v 0 2 tanα g 2 x 0 2 v 0 4 )

Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance R<Rm, tal como apreciamos en la figura.

v0=60; %velocidad de disparo
R=200;  %alcance
alfa=20*pi/180; %plano inclinado
x0=R*cos(alfa);

%ángulos de tiro
dis=1-2*9.8*x0*tan(alfa)/v0^2-(9.8*x0/v0^2)^2;
tan_1=v0^2*(1+sqrt(dis))/(9.8*x0);
tan_2=v0^2*(1-sqrt(dis))/(9.8*x0);
%trayectorias
x=linspace(0,x0,100);
y1=x*tan_1-9.8*x.^2*(1+tan_1^2)/(2*v0^2);
y2=x*tan_2-9.8*x.^2*(1+tan_2^2)/(2*v0^2);
hold on
plot(x,y1,'b',x,y2,'r')
%plano inclinado
xx=[0 250*cos(alfa) 250*cos(alfa)];
yy=[0 250*sin(alfa) 0];
fill(xx,yy,'y')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Modificamos ligeramente el script para las pendientes negativas

v0=60; %velocidad de disparo
R=200;  %alcance
alfa=-20*pi/180; %plano inclinado
x0=R*cos(alfa);

%ángulos de tiro
dis=1-2*9.8*x0*tan(alfa)/v0^2-(9.8*x0/v0^2)^2;
tan_1=v0^2*(1+sqrt(dis))/(9.8*x0);
tan_2=v0^2*(1-sqrt(dis))/(9.8*x0);
%trayectorias
x=linspace(0,x0,100);
y1=x*tan_1-9.8*x.^2*(1+tan_1^2)/(2*v0^2);
y2=x*tan_2-9.8*x.^2*(1+tan_2^2)/(2*v0^2);
hold on
plot(x,y1,'b',x,y2,'r')

%plano inclinado
xx=[0 0 250*cos(alfa)];
yy=[0 250*sin(alfa) 250*sin(alfa)];
fill(xx,yy,'y')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0

x 1 + x 2 = b a x 1 · x 2 = c a

tan θ 1 +tan θ 2 = 2 v 0 2 g x 0 tan θ 1 ·tan θ 2 =1+ 2 v 0 2 g x 0 tanα

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.

tan θ 1 ·tan θ 2 =1+(tan θ 1 +tan θ 2 )tanα cos( θ 1 + θ 2 )=sin( θ 1 + θ 2 )·tanα 1 tan( θ 1 + θ 2 ) =tanα θ 1 + θ 2 =α+ π 2

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.

2 θ m =α+ π 2

Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página

R m = 2 v 0 2 g sin( π/4α/2 )cos( π/4+α/2 ) cos 2 α = v 0 2 g 1 1+sinα

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

tan θ m = v 0 2 g x 0 = v 0 2 g R m cosα

Despejamos Rm y sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale

T m = 2 v 0 g ( sin( π 4 + α 2 )cos( π 4 + α 2 )tanα )= 2 v 0 g ( ( cos α 2 +sin α 2 )( cos α 2 sin α 2 ) 2sin(α/2)cos(α/2) cos 2 (α/2) sin 2 (α/2) )

Simplificamos esta expresión hasta llegar a

T m = 2 v 0 g 1 cos(α/2)+sin(α/2)

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es

tanφ= v y v x = v 0 sinθgT v 0 cosθ = v 0 sinθ2 v 0 (tanθtanα)cosθ v 0 cosθ =2tanαtanθ

Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2

tan φ m = 4sin(α/2)cos(α/2) cos 2 (α/2) sin 2 (α/2) sin(π/4+α/2) cos(π/4+α/2) = cos(α/2)sin(π/4) cos(α/2)+sin(π/4) = cos(π/4+α/2) sin(π/4+α/2) = 1 tan θ m tan φ m = 1 tan θ m θ m = φ m + π 2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

Ejemplo

Referencias

Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.