Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

v_x=v₀·cosθ
v_y=v₀·sinθ-g·t

La posición en función del tiempo es

x= v₀·cosθ·t
y= v₀·sinθ·t-g·t²/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

${\displaystyle T=\frac{2v_0}{g}(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }$

El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es

${\displaystyle R=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\frac{(\tan \theta -\tan \alpha ){\cos }^2\theta }{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\text{sin}(\theta -\alpha )\frac{\cos \theta }{{\cos }^2\alpha }}$

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad $\overrightarrow{g}$ y de la velocidad inicial $\overrightarrow{v_0}$ se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v₀·cos(θ-α)·t-g·sinα·t²/2
y=v₀·sin(θ-α)·t-g·cosα·t²/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

${\displaystyle T=\frac{2v_0\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·\cos \alpha }}$

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación

${\displaystyle R=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\left(\cos (\theta -\alpha )·\cos \alpha -\text{sin}(\theta -\alpha )·\text{sin}\alpha \right)=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\cos \theta }$

v0=60; %velocidad de disparo
alfa=20*pi/180;  %plano inclinado
x=(20:90)*pi/180;
R=2*v0^2*sin(x-alfa).*cos(x)/(9.8*cos(alfa)^2);
plot(x,R)
set(gca,'XTick',0:pi/8:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/8','\pi/4','3\pi/8','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('R')
title('Alcance')

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para un plano inclinado α=20º y una velocidad de disparo v₀=60 m/s. El alcance máximo se produce para el ángulo 55º

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θ_m para el cual el alcance es máximo.

${\displaystyle \frac{dR}{d\theta }=\frac{2v_0^2}{g{\cos }^2\alpha }\cos (2\theta -\alpha )=0}$

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale

${\displaystyle {\theta }_m=\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}}$

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θ_m, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos²θ=1+tan²θ)

${\displaystyle y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )}$

Las coordenadas x₀ e y₀ del punto de impacto están relacionadas y₀=x₀·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

${\displaystyle \frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}{\tan }^2\theta -x_0·\tan \theta +x_0\tan \alpha +\frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_0^2}{g{x}_0}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2g{x}_0}{v_0^2}\tan \alpha -\frac{g^2{x}_0^2}{v_0^4}}\right)}$

Tenemos dos ángulos de tiro θ₁ y el ángulo θ₂ que dan lugar al mismo alcance R<R_m, tal como apreciamos en la figura.

v0=60; %velocidad de disparo
R=200;  %alcance
alfa=20*pi/180; %plano inclinado
x0=R*cos(alfa);

%ángulos de tiro
dis=1-2*9.8*x0*tan(alfa)/v0^2-(9.8*x0/v0^2)^2;
tan_1=v0^2*(1+sqrt(dis))/(9.8*x0);
tan_2=v0^2*(1-sqrt(dis))/(9.8*x0);
%trayectorias
x=linspace(0,x0,100);
y1=x*tan_1-9.8*x.^2*(1+tan_1^2)/(2*v0^2);
y2=x*tan_2-9.8*x.^2*(1+tan_2^2)/(2*v0^2);
hold on
plot(x,y1,'b',x,y2,'r')
%plano inclinado
xx=[0 250*cos(alfa) 250*cos(alfa)];
yy=[0 250*sin(alfa) 0];
fill(xx,yy,'y')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Modificamos el script para las pendientes negativas

v0=60; %velocidad de disparo
R=200;  %alcance
alfa=-20*pi/180; %plano inclinado
x0=R*cos(alfa);

%ángulos de tiro
dis=1-2*9.8*x0*tan(alfa)/v0^2-(9.8*x0/v0^2)^2;
tan_1=v0^2*(1+sqrt(dis))/(9.8*x0);
tan_2=v0^2*(1-sqrt(dis))/(9.8*x0);
%trayectorias
x=linspace(0,x0,100);
y1=x*tan_1-9.8*x.^2*(1+tan_1^2)/(2*v0^2);
y2=x*tan_2-9.8*x.^2*(1+tan_2^2)/(2*v0^2);
hold on
plot(x,y1,'b',x,y2,'r')

%plano inclinado
xx=[0 0 250*cos(alfa)];
yy=[0 250*sin(alfa) 250*sin(alfa)];
fill(xx,yy,'y')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0

${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}{x}_1·x_2=\frac{c}{a}}$

${\displaystyle \tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2=\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan \alpha }$

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ₁ y el ángulo θ₂.

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)\tan \alpha \\ -\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=\text{sin}({\theta }_1+{\theta }_2)·\tan \alpha \\ -\frac{1}{\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)}=\tan \alpha {\theta }_1+{\theta }_2=\alpha +\frac{\pi }{2}\end{array}}$

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ₁ y θ₂ se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θ_m=θ₁=θ₂.

${\displaystyle 2{\theta }_m=\alpha +\frac{\pi }{2}}$

Sustituyendo θ_m por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página

${\displaystyle R_m=\frac{2v_0^2}{g}\frac{\text{sin}\left(\pi /4-\alpha /2\right)\cos \left(\pi /4+\alpha /2\right)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{v_0^2}{g}\frac{1}{1+\text{sin}\alpha }}$

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

${\displaystyle \tan {\theta }_m=\frac{v_0^2}{g{x}_0}=\frac{v_0^2}{g{R}_m\cos \alpha }}$

Despejamos R_m y sustituimos θ_m por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para R_m.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θ_m vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_m=\frac{2v_0}{g}\left(\text{sin}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)\tan \alpha \right)=\\ \frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\left(\left(\cos \frac{\alpha }{2}+\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)-\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)\frac{2\text{sin}(\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\text{sin}}^2(\alpha /2)}\right)\end{array}}$

Simplificamos esta expresión hasta llegar a

${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\frac{1}{\cos (\alpha /2)+\text{sin}(\alpha /2)}}$

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es

${\displaystyle \tan \phi =\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_0\sin \theta -gT}{v_0\cos \theta }=\frac{v_0\sin \theta -2v_0(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }{v_0\cos \theta }=2\tan \alpha -\tan \theta }$

Para el ángulo de disparo θ_m=π/4+α/2

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\phi }_m=\frac{4\sin (\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\sin }^2(\alpha /2)}-\frac{\sin (\pi /4+\alpha /2)}{\cos (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{\cos (\alpha /2)-\sin (\pi /4)}{\cos (\alpha /2)+\sin (\pi /4)}=\\ -\frac{\cos (\pi /4+\alpha /2)}{\sin (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}\\ \tan {\phi }_m=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}{\theta }_m={\phi }_m+\frac{\pi }{2}\end{array}}$

El vector velocidad inicial $\overrightarrow{v_0}$ y el vector velocidad final $\overrightarrow{v_f}$ son perpendiculares.

Ejemplo

• La velocidad de disparo, v₀=60 m/s
• La pendiente del plano inclinado, α=20º
• El ángulo de disparo, θ₁=60º

• El alcance vale

${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(60-20)\frac{\cos 60}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 60-\tan 20)\cos 60=8.38\text{s}}$

• El ángulo de disparo θ₁=50º

El alcance vale

${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(50-20)\frac{\cos 50}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 50-\tan 20)\cos 50=6.52\text{s}}$

• El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es

${\displaystyle {\theta }_m=\frac{20º}{2}+45º=55º}$

El alcance para este ángulo vale

${\displaystyle R_m=\frac{{60}^2}{9.8}\frac{1}{1+\text{sin20}}=273.7\text{m}}$

El tiempo de vuelo es

${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}60}{9.8}\frac{1}{\cos (10)+\text{sin}(10)}=7.47\text{s}}$

• Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.

Calculamos los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<R_m, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

x₀=R·cosα, x₀=200·cos20º=187.9 m

${\displaystyle \tan \theta =\frac{{60}^2}{9.8·187.9}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2·9.8·187.9}{{60}^2}\tan 20-\frac{{9.8}^2{187.9}^2}{{60}^4}}\right)}$

θ₁=37.7º, θ₂=72.3º,  Como vemos θ₁+θ₂=90+20=110º, y θ₁<θ_m<θ₂

Alcance máximo, en general

En las secciones precedentes, el proyectil se dispara desde un punto situado en el plano inclinado. En esta sección, el proyectil se dispara desde un punto P que dista h del plano inclinado de ángulo α. Por comodidad, el ángulo de tiro θ se mide con el plano inclinado, no con el plano horizontal.

Establecemos los ejes X a lo largo del plano e Y perpendicular a dicho plano. Un proyectil se dispara con velocidad inicial v₀ haciendo un ángulo θ con el eje X desde un punto P situado a una distancia h del plano inclinado.

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos acelerados:

• a lo largo del eje X, con velocidad inicial v₀cosθ y aceleración -g·sinα
• a lo largo del eje Y, con velocidad inicial v₀sinθ y aceleración -g·cosα

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta ·t-\frac{1}{2}g\sin \alpha ·t^2\\ y=h+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g\cos \alpha ·t^2\end{array}}$

El alcance x se obtiene para y=0.

Para obtener el alcance máximo, tenemos que resolver un problema de extremo condicionado

Dada la pendiente α, formamos la función de Lagrange

${\displaystyle F(\theta ,t)=v_0\cos \theta ·t-\frac{1}{2}g\sin \alpha ·t^2+\lambda \left(h+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g\cos \alpha ·t^2\right)}$

Escribimos el sistema de ecuaciones para determinar el parámetro λ y obtener los valores de las variables θ y t del extremo condicionado

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial \theta }=-v_0\sin \theta ·t+\lambda v_0\cos \theta =0\\ \frac{\partial F}{\partial t}=v_0\cos \theta -g\sin \alpha ·t+\lambda \left(v_0\sin \theta -g\cos \alpha ·t\right)=0\\ h+v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g\cos \alpha ·t^2=0\end{array}}$

• De la primera ecuación, obtenemos

${\displaystyle \lambda =\tan \theta }$

• De la segunda ecuación,

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_0\cos \theta -g\sin \alpha ·t+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\left(v_0\sin \theta -g\cos \alpha ·t\right)=0\\ v_0-gt\sin \left(\alpha +\theta \right)=0\\ t=\frac{v_0}{g\sin \left(\alpha +\theta \right)}\end{array}}$

• De la tercera ecuación,

${\displaystyle \begin{array}{l}h+v_0\sin \theta \frac{v_0}{g\sin \left(\alpha +\theta \right)}-\frac{1}{2}g\cos \alpha \frac{v_0^2}{g^2{\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)}=0\\ \frac{2hg}{v_0^2}{\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\sin \theta ·\sin \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha =0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\sin \theta ·\sin \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha =0\end{array}}$

Tenemos que transformar esta ecuación en otra equivalente con el fin de despejar el ángulo θ+α en términos de μ y del ángulo α. Esta es

${\displaystyle \left(\mu +\cos \alpha \right){\tan }^2\left(\alpha +\theta \right)-2\sin \alpha ·\tan \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha =0}$

Comprobación

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\mu +\cos \alpha \right){\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)-2\sin \alpha ·\sin \left(\alpha +\theta \right)·\cos \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha ·{\cos }^2\left(\alpha +\theta \right)=0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+\cos \alpha ·{\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)-2\sin \alpha ·\sin \left(\alpha +\theta \right)·\cos \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha \left(1-{\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)\right)=0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\cos \alpha ·{\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)-2\sin \alpha ·\sin \left(\alpha +\theta \right)·\cos \left(\alpha +\theta \right)-\cos \alpha =0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\sin \left(\alpha +\theta \right)\left(\cos \alpha ·\sin \left(\alpha +\theta \right)-\sin \alpha ·\cos \left(\alpha +\theta \right)\right)-\cos \alpha =0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\sin \left(\alpha +\theta \right)\sin \left(\alpha +\theta -\alpha \right)-\cos \alpha =0\\ \mu {\sin }^2\left(\alpha +\theta \right)+2\sin \left(\alpha +\theta \right)\sin \theta -\cos \alpha =0\end{array}}$

Llamamos x=tan(θ+α) y resolvemos la ecuación de segundo grado

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\mu +\cos \alpha \right)x^2-2\sin \alpha ·x-\cos \alpha =0\\ x=\frac{2\sin \alpha \pm \sqrt{4{\sin }^2\alpha +4\left(\mu +\cos \alpha \right)\cos \alpha }}{2\left(\mu +\cos \alpha \right)}\end{array}}$

Solamente es válida la raíz positiva

${\displaystyle \tan \left(\theta +\alpha \right)=\frac{\sin \alpha +\sqrt{1+\mu \cos \alpha }}{\mu +\cos \alpha }}$

Casos particulares:

• Plano horizontal, α=0

${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sqrt{1+\mu }}{\mu +1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2hg}{v_0^2}}}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2hg}}}$

• Se dispara desde un punto situado en el plano inclinado, h=0, μ=0

${\displaystyle \tan \left(\theta +\alpha \right)=\frac{\sin \alpha +1}{\cos \alpha },\theta =\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}}$

Resultado que hemos obtenido anteriormente. Recuérdese que ahora, el ángulo de tiro θ se mide con el plano inclinado

Comprobación

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1+\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1-\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{{\left(1+\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)\right)}^2}{1-{\tan }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{\left(1+2\frac{\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)}+\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}\right){\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}\\ =\frac{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+2\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cos \alpha }=\frac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }\end{array}}$

Ejemplo

Se dispara un proyectil con velocidad v₀=60 m/s, desde un punto P que dista h=50 m del plano inclinado un ángulo α=20°

Calulamos el ángulo de tiro θ_m que hace que el alcance sea máximo

${\displaystyle \begin{array}{l}\mu =\frac{2hg}{v_0^2}\\ {\theta }_m=\arctan \left(\frac{\sin \alpha +\sqrt{1+\mu \cos \alpha }}{\mu +\cos \alpha }\right)-\alpha \end{array}}$

El resultado es θ_m=30.4°

Representamos tres trayectorias del proyectil para los ángulos de tiro: 25.4°, 30.4° y 35.4°. La trayectoria intermedia es la que tiene mayor alcance 305.7 m

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=-h\sin \alpha +v_0\cos \left(\theta +\alpha \right)\theta ·t\\ y=h\cos \alpha +v_0\sin \left(\theta +\alpha \right)·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

v0=60; %velocidad de disparo
alfa=20*pi/180; %plano inclinado
h=50; %distancia a la posición de disparo
mu=2*h*9.8/v0^2;
th_m=atan((sin(alfa)+sqrt(1+mu*cos(alfa)))/(mu+cos(alfa)))-alfa;
disp(th_m*180/pi) %ángulo de tiro para el alcance máximo
hold on
plot(-h*sin(alfa),h*cos(alfa),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
line([0,-h*sin(alfa)],[0,h*cos(alfa)])
%plano inclinado
xx=[0 350*cos(alfa) 350*cos(alfa)];
yy=[0 350*sin(alfa) 0];
fill(xx,yy,'y')
%trayectorias
for th=[th_m-5*pi/180,th_m,th_m+5*pi/180] %trayectorias
    tt=(v0*sin(th)+sqrt(v0^2*sin(th)^2+2*9.8*h*cos(alfa)))/(9.8*cos(alfa));
    x=@(t) -h*sin(alfa)+v0*cos(th+alfa)*t;
    y=@(t) h*cos(alfa)+v0*sin(th+alfa)*t-4.9*t.^2;
    fplot(x,y,[0,tt])
    disp(sqrt(x(tt)^2+y(tt)^2)) %alcance
end
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Alcance máximo')

30.3557 %ángulo de tiro
300.7219  
305.7106 %alcance máximo
300.4022

Referencias

Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.

Drago Bajc. Maximum ranges in ideal projectile motion-A generalization. Am. J. Phys. 58 (4) April 1990, pp. 408-409