Otros máximos en el tiro parabólico
Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son
Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria
Alcance
La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo y=0 en la ecuación de la trayectoria
El máximo valor de R se obtiene para θ=45º
Tiempo de vuelo
Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y
El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.
Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X
En la figura, se muestra el área diferencial y·dx. El área total encerrada entre la trayectoria y el eje X se calcula mediante la integral definida.
En la figura, se muestra que el comportamiento del área total A encerrada entre la trayectoria y el eje X con el ángulo de tiro θ. El área aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir, hasta que se hace cero cuando θ=90º
f=@(x) (sin(x).^3).*cos(x); fplot(f,[0,pi/2]) set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) grid on xlabel('\theta') ylabel('Area') title('Area encerrada por la trayectoria')
Calculamos el máximo de la función f(θ)=sin3θ·cosθ
Tiene sentido solamente el signo positivo, que corresponde al ángulo de tiro θ=60º
Cuando se dispara un proyectil con un ángulo de tiro θ=60º, el área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X es máxima.
Longitud de la trayectoria
La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy, respectivamente.
La longitud total del camino recorrido por el proyectil es
Esta integral es de la forma
>> syms x; >> int(sqrt(1+x^2),x) ans =asinh(x)/2 + (x*(x^2 + 1)^(1/2))/2
El arco seno hiperbólico se define
La longitud del camino es
Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.
- El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ
- El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθ
Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ
En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.
f=@(x) sin(x)+(cos(x).^2).*log((1+sin(x))./cos(x)); fplot(f,[0,pi/2]) set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) grid on xlabel('\theta') ylabel('Longitud') title('Longitud del camino recorrido por el proyectil')
Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima
Tenemos que resolver la ecuación trascendente
La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º. Se calcula la raíz de la ecuación trascendente con
>> f=@(x) 1-sin(x)*log((1+sin(x))/cos(x)); >> fzero(f,50*pi/180,60*pi/180)*180/pi ans = 56.4658
Distancia entre el origen del disparo y el proyectil
La distancia d entre el origen O y la posición (x, y) del proyectil en el instante t es
El máximo de esta distancia se obtiene igualando la derivada con respecto al tiempo a cero
Simplificando entre t, calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en t.
Las raíces reales existen cuando el radicando es positivo o nulo
Para ángulos de tiro θ<θ0 la distancia d entre el origen y el proyectil es una función creciente del tiempo, que alcanza su máximo valor cuando impacta en el suelo.
El máximo d es igual al alcance R y ocurre en el instante T=2v0sinθ/g que es el tiempo de vuelo.
En el instante t+ la distancia d+ entre el origen y la posición del proyectil vale
En el instante t- la distancia d- entre el origen y el proyectil vale
Comprobamos que
De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado t+ y t- solamente hemos de tener en cuenta la segunda, ya que d->d+ para θ>θ0=70.5º .
Verificamos que el instante t- es menor que el tiempo de vuelo T
Comparamos ahora d- con el alcance R. Vamos a determinar el ángulo θ1 a partir del cual d- es mayor que R
La ecuación
11x8-31x6+28x4-7x2-1=0
Tiene dos raíces reales dobles x=1 y x=-1
11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1)
Resolvemos la ecuación bicuadrada
11x4-9x2-1=0 haciendo el cambio de variable z=x2
11z2-9z-1=0
La raíces reales son x=±0.95775, que corresponden al ángulo θ=±arcsinx=±73.3º
Para el ángulo θ≥θ1=73.3º la distancia d- entre le origen y la posición del proyectil en el instante t- es mayor que el alcance R
En la figura se muestra, el instante tm para el cual la distancia d entre el proyectil y el origen es máximo. Para θ<θ1=73.3º esta distancia es el alcance R y el tiempo tm=T al tiempo de vuelo. Sorprendentemente, la curva presenta una discontinuidad en θ=θ1. A partir de este ángulo θ>θ1, el instante tm=t- y la distancia máxima dm=d-. Las expresiones de t- y d- en función del ángulo de tiro θ las hemos deducido en este apartado.
t=@(x) (3*sin(x)/2).*sqrt(1-sqrt(1-8./(9*sin(x).^2))); T=@(x) 2*sin(x); hold on fplot(T,[0,pi/2]); fplot(t,[0,pi/2]) hold off set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) grid on xlabel('\theta') ylabel('Tiempo') title('Distancia máxima')
La gráfica de color azul es proporcional al tiempo de vuelo T. La grafíca de color amarillo es proporcional a t-. La segunda es menor que T en el intervalo (73.3°,90°)
Ejemplo:
-
Sea θ=71º>70.5º.
-
Sea θ=75º>θ1=73.3º.
El alcance vale
El tiempo de vuelo
El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante
que es menor que el tiempo de vuelo T
Calculamos la posición del proyectil en el instante tm
xm=v0·cosθ·tm=0.427·v02/g
ym= v0·sinθ·tm-gtm2/2=0.380·v02/g
que es menor que el alcance R. Luego, para un ángulo de disparo de 71º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante T cuando llega al suelo y es el alcance R.
El alcance vale
El tiempo de vuelo
El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante
que es menor que el tiempo de vuelo T
Calculamos la posición del proyectil en este instante
xm=v0·cosθ·tm=0.293·v02/g
ym= v0·sinθ·tm-gtm2/2=0.452·v02/g
que es mayor que el alcance R
Luego, para un ángulo de disparo de 75º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante tm=1.134v0/g y vale dm=0.539·v02/g.
Actividades
Se introduce
- El ángulo de tiro, en el control titulado Ángulo
- La velocidad de disparo se ha fijado en v0=60 m/s
Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación ►. Pulsando en el botón pausa || nos aproximamos al momento en el que la distancia es máxima. Pulsando repetidamente el botón paso a paso >|, nos acercamos a dicho instante.
Cuando el ángulo de tiro θ>θ1=73.3º. El programa interactivo calcula el instante tm para el cual la distancia entre el proyectil y el origen es máxima. Se dibuja el segmento de color azul que une ambas posiciones y se muestra la distancia d en la parte superior
Referencias
Sarafian H. On projectile motion. The Physics Teacher. Vol 37, February 1999, pp. 86-88
Hu H, Yu J. Another look at projectile motion. The Physics Teacher Vol 38, October 2000, pp. 423
Mirabelli A. A new projectile problem and the attribution of continuity. Am. J. Phys. 54 (3) March 1986, pp. 278-27