Otros máximos en el tiro parabólico

Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son

{ a x = 0 a y = g { v x = v 0 cos θ v y = v 0 sin θ g t { x = v 0 cos θ t y = v 0 sin θ t 1 2 g t 2

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria

y=xtanθ 1 2 g v 0 2 cos 2 θ x 2

Alcance

La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo y=0 en la ecuación de la trayectoria

R= 2 v 0 2 sinθcosθ g = v 0 2 sin(2θ) g

El máximo valor de R se obtiene para θ=45º

Tiempo de vuelo

Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y

T= 2 v 0 sinθ g

El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.

Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X

En la figura, se muestra el área diferencial y·dx. El área total encerrada entre la trayectoria y el eje X se calcula mediante la integral definida.

A(θ)= 0 R y·dx= 0 R ( xtanθ 1 2 g v 0 2 cos 2 θ x 2 ) dx= 1 2 x 2 tanθ 1 2 g v 0 2 cos 2 θ x 3 3 | 0 R = 1 2 R 2 tanθ 1 2 g v 0 2 cos 2 θ R 3 3 = 2 3 v 0 4 g 2 sin 3 θcosθ

En la figura, se muestra que el comportamiento del área total A encerrada entre la trayectoria y el eje X con el ángulo de tiro θ. El área aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir, hasta que se hace cero cuando θ=90º

f=@(x) (sin(x).^3).*cos(x);
fplot(f,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('Area')
title('Area encerrada por la trayectoria')

Calculamos el máximo de la función f(θ)=sin3θ·cosθ

df dθ = sin 2 θ(3 cos 2 θ sin 2 θ)=0tanθ=± 3

Tiene sentido solamente el signo positivo, que corresponde al ángulo de tiro θ=60º

Cuando se dispara un proyectil con un ángulo de tiro θ=60º, el área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X es máxima.

Longitud de la trayectoria

La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy, respectivamente.

d x 2 +d y 2 = 1+( dy dx ) 2 dx

La longitud total del camino recorrido por el proyectil es

L(θ)= 0 R d x 2 +d y 2 = 0 R 1+ ( dy dx ) 2 dx = 0 R 1+ ( g v 0 2 cos 2 θ x+tanθ ) 2 dx

Esta integral es de la forma

1+ u 2 du= u 2 u 2 +1 + 1 2 ln| u+ u 2 +1 |

>> syms x;
>> int(sqrt(1+x^2),x)
ans =asinh(x)/2 + (x*(x^2 + 1)^(1/2))/2

El arco seno hiperbólico se define

asinh(x)=ln( x+ x 2 +1 )

La longitud del camino es

L(θ)= v 0 2 cos 2 θ g u 0 u 1 1+ u 2 du u= g v 0 2 cos 2 θ x+tanθ

Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.

L(θ)= v 0 2 cos 2 θ g u 0 u 1 1+ u 2 du = v 0 2 cos 2 θ g { ( tanθ 2 1+ tan 2 θ + 1 2 ln| tanθ+ 1+ tan 2 θ | ) ( tanθ 2 1+ tan 2 θ + 1 2 ln| tanθ+ 1+ tan 2 θ | ) }

Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ

L(θ)= v 0 2 cos 2 θ g { sinθ cos 2 θ + 1 2 ln( 1sinθ cosθ ) 1 2 ln( 1+sinθ cosθ ) }= v 0 2 cos 2 θ g { sinθ cos 2 θ + 1 2 ln( 1sinθ 1+ sin θ ) }= v 0 2 cos 2 θ g { sinθ cos 2 θ + 1 2 ln( 1 sin 2 θ (1+sinθ) 2 ) }= v 0 2 cos 2 θ g { sinθ cos 2 θ ln( 1+sinθ cosθ ) }= v 0 2 g { sinθ+ cos 2 θln( 1+sinθ cosθ ) }

En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.

f=@(x) sin(x)+(cos(x).^2).*log((1+sin(x))./cos(x));
fplot(f,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('Longitud')
title('Longitud del camino recorrido por el proyectil')

Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima

dL dθ =2 v 0 2 g cosθ( 1sinθln( 1+sinθ cosθ ) )=0

Tenemos que resolver la ecuación trascendente

1sinθln( 1+sinθ cosθ )=0

La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º. Se calcula la raíz de la ecuación trascendente. El valor que se obtiene es θm=56.46º

>> f=@(x) 1-sin(x)*log((1+sin(x))/cos(x));
>> fzero(f,50*pi/180,60*pi/180)*180/pi
ans =   56.4658

Distancia entre el origen del disparo y el proyectil

La distancia d entre el origen O y la posición (x, y) del proyectil en el instante t es

d 2 = x 2 + y 2 = ( v 0 cosθ·t ) 2 + ( v 0 sinθ·t 1 2 g t 2 ) 2 = 1 4 g 2 t 4 v 0 gsinθ· t 3 + v 0 2 t 2

El máximo de esta distancia se obtiene igualando la derivada con respecto al tiempo a cero

g 2 t 3 3 v 0 gsinθ· t 2 +2 v 0 2 t=0

Simplificando entre t, calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en t.

t ± = 3 v 0 sinθ 2g ( 1± 1 8 9 sin 2 θ )

Las raíces reales existen cuando el radicando es positivo o nulo

8 9 sin 2 θ 1 sin 2 θ 8 9 θ 0 70.5º

Para ángulos de tiro θ<θ0 la distancia d entre el origen y el proyectil es una función creciente del tiempo, que alcanza su máximo valor cuando impacta en el suelo.

El máximo d es igual al alcance R y ocurre en el instante T=2v0sinθ/g que es el tiempo de vuelo.

En el instante t+ la distancia d+ entre el origen y la posición del proyectil vale

d + 2 = t + 2 ( 1 4 g 2 t + 2 v 0 gsinθ· t + + v 0 2 )= ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1+ 1 8 9 sin 2 θ ) 2 { 1 4 g 2 ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1+ 1 8 9 sin 2 θ ) 2 v 0 gsinθ( 3 v 0 sinθ 2g )( 1+ 1 8 9 sin 2 θ )+ v 0 2 }= v 0 2 ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1+ 1 8 9 sin 2 θ ) 2 { 3 8 sin 2 θ 3 8 sin 2 θ 1 8 9 sin 2 θ + 1 2 }= 9 v 0 4 sin 2 θ 4 g 2 { 2 3 2 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ +( 4 3 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ }

En el instante t- la distancia d- entre el origen y el proyectil vale

d 2 = t 2 ( 1 4 g 2 t 2 v 0 gsinθ· t + v 0 2 )= ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1 1 8 9 sin 2 θ ) 2 { 1 4 g 2 ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1 1 8 9 sin 2 θ ) 2 v 0 gsinθ( 3 v 0 sinθ 2g )( 1 1 8 9 sin 2 θ )+ v 0 2 }= v 0 2 ( 3 v 0 sinθ 2g ) 2 ( 1 1 8 9 sin 2 θ ) 2 { 3 8 sin 2 θ+ 3 8 sin 2 θ 1 8 9 sin 2 θ + 1 2 }= 9 v 0 4 sin 2 θ 4 g 2 { 2 3 2 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ +( 4 3 + 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ }

Comprobamos que

d 2 > d + 2 { 2 3 2 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ +( 4 3 + 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ }> { 2 3 2 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ +( 4 3 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ } ( 4 3 + 3 2 sin 2 θ )>( 4 3 3 2 sin 2 θ ) sin 2 θ> 8 9

De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado t+ y t- solamente hemos de tener en cuenta la segunda, ya que d->d+ para θ>θ0=70.5º .

Verificamos que el instante t- es menor que el tiempo de vuelo T

t T = 3 v 0 sinθ 2g ( 1 1 8 9 sin 2 θ ) 2 v 0 g sinθ = 3 4 ( 1 1 8 9 sin 2 θ )<1

Comparamos ahora d- con el alcance R. Vamos a determinar el ángulo θ1 a partir del cual d- es mayor que  R

9 v 0 4 sin 2 θ 4 g 2 { 2 3 2 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ +( 4 3 + 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ }> ( 2 v 0 2 sinθcosθ g ) 2 2 9 + 5 18 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ >( 4 3 3 2 sin 2 θ ) 1 8 9 sin 2 θ ( 2 9 + 5 18 sin 2 θ 4 9 sin 2 θ ) 2 > ( 4 3 3 2 sin 2 θ ) 2 ( 1 8 9 sin 2 θ ) 11sin 8 θ31 sin 6 θ+28 sin 4 θ7 sin 2 θ1>0

La ecuación

11x8-31x6+28x4-7x2-1=0

Tiene dos raíces reales dobles x=1 y x=-1

11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1)

Resolvemos la ecuación bicuadrada

11x4-9x2-1=0 haciendo el cambio de variable z=x2

11z2-9z-1=0

La raíces reales son x=±0.95775, que corresponden al ángulo θ=±arcsinx=±73.3º

Para el ángulo θ≥θ1=73.3º la distancia d- entre le origen y la posición del proyectil en el instante t- es mayor que el alcance R

En la figura se muestra, el instante tm para el cual la distancia d entre el proyectil y el origen es máximo. Para θ<θ1=73.3º esta distancia es el alcance R y el tiempo tm=T al tiempo de vuelo. Sorprendentemente, la curva presenta una discontinuidad en θ=θ1. A partir de este ángulo θ>θ1, el instante tm=t- y la distancia máxima dm=d-. Las expresiones de t- y d- en función del ángulo de tiro θ las hemos deducido en este apartado.

t=@(x) (3*sin(x)/2).*sqrt(1-sqrt(1-8./(9*sin(x).^2)));
T=@(x) 2*sin(x);
hold on
fplot(T,[0,pi/2]); 
fplot(t,[0,pi/2]) 
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('Tiempo')
title('Distancia máxima')

La gráfica de color azul es proporcional al tiempo de vuelo T. La grafíca de color amarillo es proporcional a t-. La segunda es menor que T en el intervalo (73.3°,90°)

Ejemplo:

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación . Pulsando en el botón pausa || nos aproximamos al momento en el que la distancia es máxima. Pulsando repetidamente el botón paso a paso >|, nos acercamos a dicho instante.

Cuando el ángulo de tiro θ>θ1=73.3º. El programa interactivo calcula el instante tm para el cual la distancia entre el proyectil y el origen es máxima. Se dibuja el segmento de color azul que une ambas posiciones y se muestra la distancia d en la parte superior

Referencias

Sarafian H. On projectile motion. The Physics Teacher. Vol 37, February 1999, pp. 86-88

Hu H, Yu J. Another look at projectile motion. The Physics Teacher Vol 38, October 2000, pp. 423

Mirabelli A. A new projectile problem and the attribution of continuity. Am. J. Phys. 54 (3) March 1986, pp. 278-27