Alcance máximo en el plano horizontal

El salto de tarzán

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ
vy=v0·
sinθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t
y= h+v0·
sinθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

T= v 0 g ( sinθ+ sin 2 θ+2z )z= gh v 0 2

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

R= v 0 2 g ( sinθ+ sin 2 θ+2z )cosθz= gh v 0 2

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ. Se ha señalado el ángulo 0.6109 rad=35° para el cual el alcance es máximo.

v0=60;
h=200;
x=(0:90)*pi/180;
R=v0^2*(sin(x)+sqrt(sin(x).^2+2*9.8*h/v0^2)).*cos(x)/9.8;
plot(x,R)
set(gca,'XTick',0:pi/8:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/8','\pi/4','3\pi/8','\pi/2'})

grid on
xlabel('\theta')
ylabel('R')
title('Alcance')

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es

v y = v 0 sinθgT= v 0 sin 2 θ+2z

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es

v f = v x 2 + v y 2 = v 0 1+2z tanφ= v y v x = sin 2 θ+2z cosθ

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

1 2 m v 0 2 +mgh= 1 2 m v f 2

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

( cosθ+ 2sinθcosθ 2 sin 2 θ+2z )cosθ( sinθ+ sin 2 θ+2z )sinθ=0 ( cos 2 θ sin 2 θ )( sinθ+ sin 2 θ+2z )=2zsinθ sin 2 θ+2z = 2zsinθ cos(2θ) sinθ

Elevamos al cuadrado y simplificamos

( 12· sin 2 θ ) 2 =2z· sin 2 θ2· sin 2 θ( 12· sin 2 θ )

cos 2 θ= 1+2z 2+2z sin 2 θ= 1 2+2z

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale

tan θ m = 1 1+2z = v 0 v 0 2 +2gh

Sustituyendo cosθ y sinθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones

R m = v 0 2 g 1+2z = v 0 g v 0 2 +2gh

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es

R m = v 0 2 g·tan θ m

Llegamos a una expresión simple para el alcance máximo

Rm=h·tan(2θm)

El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

T m = v 0 g 2+2z = 2( v 0 2 +2gh) g

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 (1+ tan 2 θ)

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

g R 2 2 v 0 2 tan 2 θR·tanθ+( g R 2 2 v 0 2 h )=0

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

v0=60;
h=200;
R=450;
%ángulos de tiro
a=9.8*R^2/(2*v0^2);
b=-R;
c=9.8*R^2/(2*v0^2)-h;
tan_1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a);
tan_2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a);
%trayectorias
x=linspace(0,R,100);
y1=x*tan_1-9.8*x.^2*(1+tan_1^2)/(2*v0^2);
y2=x*tan_2-9.8*x.^2*(1+tan_2^2)/(2*v0^2);
plot(x,y1,'b',x,y2,'r')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectorias')

Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm  que hace que el alcance sea máximo

R m 2 4 g R m 2 2 v 0 2 ( g R m 2 2 v 0 2 h )=0 R m = v 0 g 2gh+ v 0 2

El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.

Velocidad final y velocidad inicial

La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son

v f = v 0 1+2z tan φ m = sin 2 θ+2z cosθ = 1+2z

La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es

tan φ m = 1 tan θ m θ m = φ m + π 2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,

Ejemplo:

Rm=h·tan(2θm)     θm=42.3º

El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·sinθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)

El salto de tarzán

Consideremos un objeto que denominaremos proyectil de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. Cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta comienza a oscilar, tal como estudiaremos en la página dedicada al péndulo simple.

Soltamos el proyectil cuando la cuerda se desvía de la posición de equilibrio un ángulo θ0. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo θ<|θ0|. El proyectil describe una trayectoria parabólica si se desprecia el rozamiento con el aire, tal como se aprecia en la figura.

Principio de conservación de la energía

El proyectil parte de la posición inicial θ0, con velocidad inicial v=0. Describe un arco de circunferencia y llega a la posición final θ, con velocidad v.  Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v. Si ponemos el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de la trayectoria

mg(llcos θ 0 )= 1 2 m v 2 +mg(llcosθ) v= 2gl(cosθcos θ 0 )

Ecuaciones del tiro parabólico

Para describir el movimiento del proyectil, situamos los ejes X e Y del modo en el que se señala en la figura; el eje X en el suelo, y el eje Y tiene la dirección del péndulo en la posición de equilibrio θ=0.

El proyectil se dispara con una velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal, desde una altura h=H+(l-lcosθ). Siendo H+l la altura del centro de giro del péndulo.

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= l·sinθ+v·cosθ·t
y= h+v·
sinθ·t-g·t2/2

Siguiendo los mismos pasos que en la sección anterior. Obtenemos el alcance R, poniendo y=0, en la segunda ecuación, despejando el tiempo de vuelo t, y sustituyéndolo en la primera ecuación de la  trayectoria.

R= v 2 g ( sinθ+ sin 2 θ+2z )cosθ+l·sinθ z= gh v 2

Expresamos el alcance R en función del ángulo θ

R=2l(cosθcos θ 0 )cosθ( sinθ+ sin 2 θ+ H+l(1cosθ) l(cosθcos θ 0 ) )+l·sinθ

Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, se tratará de calcular el ángulo θ, para el cual el alcance R es máximo.

Alcance máximo

Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, calcularemos el ángulo θm, para el cual el alcance R es máximo.

l=0.6;
H=1.0;
aIni=80*pi/180;

x=linspace(0,aIni,100);
R=2*l*((cos(x)-cos(aIni)).*cos(x)).*(sin(x)+sqrt(sin(x).^2+
(H+l*(1-cos(x)))./(l*(cos(x)-cos(aIni)))))+l*sin(x);
plot(x,R)
set(gca,'XTick',0:pi/8:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/8','\pi/4','3\pi/8','\pi/2'})

grid on
ylim([0 2])
xlabel('\theta')
ylabel('R')
title('Alcance')

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo θ, para θ0=80º. se ha señalado el ángulo para el cual se produce el alcance máximo, 0.4936 rad=28.3°.

El ángulo θm para el cual R es máximo se obtiene derivando R respecto del ángulo θ, e igualando a cero. Es decir,  resolviendo la ecuación dR/dθ=0.

En el segundo artículo citado en las referencias, el alcance máximo se obtiene calculando las raíces reales de la ecuación cúbica.

x 3 + H+l(12cos θ 0 ) l x 2 H+l(1cos θ 0 ) l =0

con x=cosθm

Ejemplo:

La velocidad del proyectil cuando se corta la cuerda es

v= 2·9.8·0.6(cos30ºcos80º) =2.85   m/s

Ecuaciones del movimiento

x= 0.6·sin30+2.85·cos30·t
y=
1.0+0.6-0.6·cos30+2.85·sin30·t-9.8·t2/2

El alcance se calcula poniendo y=0. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t. La raíz positiva vale t=0.64 s

Calculamos el alcance en la primera ecuación x=1.87 m

Calculamos el alcance de forma directa

R=2·0.6(cos30cos80)cos30( sin30+ sin 2 30+ 1.0+0.6(1cos30) 0.6(cos30cos80) )+ 0.6·sin30=1.87   m

Para calcular el ángulo θm para el cual el alcance es máximo, se resuelve la ecuación cúbica

x3+a·x2+bx+c=0

con a=2.32, b=0, c=-2.49

Se calcula

Q= a 2 3b 9 =0.60R= 2 a 3 9ab+27c 54 =0.78

Como R2>Q3 entonces la ecuación tiene una raíz real

A=sgn(R) [ | R |+ R 2 Q 3 ] 1/3 =1.12 x 1 =A+ Q A a 3 =0.882

El ángulo x1=cosθm, θm=28.1º

Este ángulo θm se puede obtener aproximadamente de forma gráfica, tal como se ha señalado en la figura

H=1.0;
l=0.6;
aIni=80*pi/180;
a=(H+l*(1-2*cos(aIni)))/l;
c=-(H+l*(1-cos(aIni)))/l;
x=roots([1 a 0 c]);
for i=1:length(x)
    if isreal(x(i))
        disp(acos(x(i))*180/pi);
        break;
    end
end
28.0663

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.


Referencias

Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.

Bittel D. Maximizing the range of a projectile launched by a simple pendulum. The Physics Teacher, 43, February 2005, pp. 98-100.

De Luca R. Shot-put kinematics. Eur. J. Phys. 26 (2005), pp. 1031-1036