Un objeto se deja caer desde un vehículo en movimiento

Plano inclinado

Un vehículo se mueve sin rozamiento a lo largo de una rampa inclinada un ángulo θ por debajo de la horizontal. Parte del reposo en el origen O,

Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad v₀ del móvil cuando su altura es y₀ por debajo de origen.

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g y_{0}, v_{0} = \sqrt{2 g y_{0}}$

En ese instante, el conductor del vehículo deja caer un objeto. Las ecuaciones del movimiento serán,

${\begin{cases} x = x_{0} + v \cos θ \cdot t \\ y = y_{0} + v_{0} \sin θ \cdot t + \frac{1}{2} g t^{2} \end{cases}$

El objeto llega al suelo cuando y=h, en el instante t tal que la posición final del objeto es x₀+L, siendo L=v₀cosθ·t, el alcance.

$\begin{array}{l} {\begin{cases} h = y_{0} + v_{0} \sin θ \cdot t + \frac{1}{2} g t^{2} \\ L = v_{0} \cos θ \cdot t \end{cases} \\ h - y_{0} = L \tan θ + \frac{1}{2} g \frac{L^{2}}{v_{0}^{2}} (1 + \tan^{2} θ) \end{array}$

Llamamos k=tanθ, a la pendiente del plano inclinado, llegamos a la ecuación

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} \frac{L^{2}}{y_{0}} (1 + k^{2}) + k L - (h - y_{0}) = 0 \\ L = \frac{- k y_{0} + \sqrt{k^{2} y_{0}^{2} + (1 + k^{2}) y_{0} (h - y_{0})}}{\frac{1}{2} (1 + k^{2})} = \frac{- k y_{0} + \sqrt{y_{0} ((1 + k^{2}) h - y_{0})}}{\frac{1}{2} (1 + k^{2})} \end{array}$

Hemos tomado la raíz real positiva

Representamos L en función de x₀=y₀/k para θ=π/6 (30°) y h=10 m

k=-tan(pi/6); %pendiente de la rampa
h=-10; %altura sobre el suelo
x0=0:0.2:10;
y0=k*x0;
L=(-k*y0+sqrt(y0.*((1+k^2)*h-y0)))/((1+k^2)/2); %alcance
plot(x0,L)
axis square
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Rampa')

>> [M,I] = max(L)
M =    5.7735
I =    30
>> x0(I)
ans =    5.8000
>> y0(I)
ans =    -3.3486

El alcance máximo es L=5.7735 m, y se produce cuando el vehículo deja caer el objeto, en la posición x₀=5.8000 m, o y₀=3.3486 m por debajo del origen

El alcance L es máximo cuando

$\begin{array}{l} \frac{d L}{d y_{0}} = \frac{1}{\frac{1}{2} (1 + k^{2})} {- k + \frac{2 k^{2} y_{0} + (1 + k^{2}) (h - 2 y_{0})}{2 \sqrt{k^{2} y_{0}^{2} + (1 + k^{2}) y_{0} (h - y_{0})}}} = 0 \\ 2 k \sqrt{k^{2} y_{0}^{2} + (1 + k^{2}) y_{0} (h - y_{0})} = (1 + k^{2}) h - 2 y_{0} \\ y_{0} = h \frac{1 + k^{2} \pm k \sqrt{1 + k^{2}}}{2} \end{array}$

Representamos la trayectoria parabólica del objeto para dicha posición y₀ y calculamos el alcance máximo

k=-tan(pi/6); %pendiente
h=-10; %altura sobre el suelo
hold on
line([0,15],[0,k*15],'lineWidth',1.5) %rampa
line([0,15],[h,h],'lineWidth',1.5,'color','k'); %suelo
y0=h*(1+k^2+k*sqrt(1+k^2))/2; %posición de máximo alcance
x0=y0/k;
L=(-k*y0+sqrt(y0*((1+k^2)*h-y0)))/((1+k^2)/2); %alcance
v0=sqrt(-2*9.8*y0); %velocidad inicial
fplot(@(x) y0+(x-x0)*k-4.9*(x-x0).^2*(1+k^2)/v0^2,[x0,L+x0]) %trayectoria
line([x0,x0],[y0,h],'lineStyle','--','color','k')
text(5,0,num2str(L))
hold off
axis square
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Rampa')

>> y0
y0 =   -3.3333
>> L
L =    5.7735

Actividades

Se introduce

El ángulo θ de la rampa, en el control titulado Angulo
La altura sobre el suelo se ha fijado en h=10 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo, a continuación, empieza ►, el vehículo se desplaza a lo largo de la rampa. En un determinado instante o en una determina posición se pulsa el botón Libera, un objeto se deja caer desde el vehículo, se observa la trayectoria parbólica que describe

En la parte superior derecha, se proporciona los datos de la posición x₀ del vehículo en el instante t. Cuando el objeto llega al suelo, se proporciona el dato del alcance

Angulo:

Una pista descrita por la función f(x)

Para una pista descrita por la función y=f(x), cuando el cuerpo se deja caer en la posición x₀ la pendiente es

$k = {(\frac{d y}{d x})}_{x_{0}}$

El alcance vale

$L = \frac{- k y_{0} + \sqrt{y_{0} ((1 + k^{2}) h - y_{0})}}{\frac{1}{2} (1 + k^{2})}$

con y₀=f(x₀).

Supongamos una pista descrita por la función y=A(cos(ωx)-1). Representamos L en función de x₀ para h=-5 m

A=1;
w=0.5;
h=-5;
x0=(0:pi/180:2*pi)/w;
y0=A*(cos(w*x0)-1);
k=-A*w*sin(w*x0); %pendiente
L=(-k.*y0+sqrt(y0.*((1+k.^2)*h-y0)))./((1+k.^2)/2); %alcance
plot(x0,L)
axis square
xlabel('x')
ylabel('L')
grid on
title('Rampa')

>> [M,I]=max(L)
M =    5.6954
I =   220
>> x0(I)
ans =    7.6445

El alcance máximo es L=5.6954 m, se produce cuando se deja caer el objeto en la posición x₀=7.6445 m

A=1;
w=0.5;
h=-5;
hold on
fplot(@(x) A*(cos(w*x)-1),[0,2*pi/w]) %pista
line([0,14],[h,h],'lineWidth',1.5,'color','k'); %suelo
x0= 7.6445; %se deja caer
y0=A*(cos(w*x0)-1);
k=-A*w*sin(w*x0); %pendiente
L=(-k.*y0+sqrt(y0.*((1+k.^2)*h-y0)))./((1+k.^2)/2); %alcance
v0=sqrt(-2*9.8*y0); %velocidad inicial
fplot(@(x) y0+(x-x0)*k-4.9*(x-x0).^2*(1+k^2)/v0^2,[x0,L+x0]) %trayectoria
line([x0,x0],[y0,h],'lineStyle','--','color','k')
text(6,-1,num2str(L))
hold off
axis square
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Rampa')

En la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica, se estudia el movimiento de un cuerpo a lo largo de una pista de forma semiesférica y también de forma cualesquiera. Calculamos la posición en la que el cuerpo que desliza se sale de la pista, la reacción N se hace cero. Para una pista de forma Acos(ωx) no hay ninguna de tales posiciones

Referencias

Carl E Mungan, Trevor C Lipscombe Dropping a particle out of a roller coaster. Eur. J. Phys. 35 (2014) 045007

Artículo disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017