Tiro parabólico y movimiento circular uniforme

Un paraguas de radio R está mojado y gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω, en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde los extremos de las varillas con la misma velocidad v0= ωR pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la figura.

La gota de agua situada en la posición

x0=R·cosθ
y0=R
·sinθ

se desprende del extremo de la varilla con una velocidad inicial v0= ωR formando un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.

La posición de la gota de agua en función del tiempo es:

x= x 0 + v 0 cosα·t y= y 0 + v 0 sinα·t 1 2 g t 2

o bien,

x=Rcosθ v 0 sinθ·t y=Rsinθ+ v 0 cosθ·t 1 2 g t 2

R=1;  %radio del disco
h=8; %altura del disco
w=9.04; %velocidad angular de rotación

hold on
for ang=0:pi/6:2*pi
    %posición inicial
    x=R*cos(ang);
    y=R*sin(ang);
    plot(x,y,'o', 'markersize',3,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k')
    %tiempo de vuelo
    T=(w*R*cos(ang)+sqrt((w*R*cos(ang))^2+4*4.9*(h+R*sin(ang))))/9.8;
    %trayectoria
    t=linspace(0,T,50);
    x=R*cos(ang)-w*R*sin(ang)*t;
    y=R*sin(ang)+w*R*cos(ang)*t-4.9*t.^2;
    plot(x,y);
end
axis equal
hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Tiro parabólico')

Alcance máximo

Si el suelo está a una distancia h por debajo el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.

x=Rcosθ v 0 sinθ·t h=Rsinθ+ v 0 cosθ·t 1 2 g t 2

Dado el ángulo θ, calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.

Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición inicial, o el ángulo θm, de la gota o gotas que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para los cuales el alcance es máximo e igual a xm.

El alcance x es una función del tiempo de vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación, y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ, en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla, expresar x en función del ángulo θ, y despejar θ en la ecuación que nos da la condición de extremo dx/dθ=0. Realizaremos el cálculo de los ángulos θm siguiendo el procedimiento descrito en el artículo citado en las referencias.

Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en forma vectorial

r = r 0 + v 0 t+ 1 2 g t 2

donde

r =x i ^ +y j ^ r 0 =Rcosθ i ^ +Rsinθ j ^ v 0 = v 0 sinθ i ^ + v 0 cosθ j ^ g =g j ^

Dibujamos los tres vectores r 0 , v 0 t, 1 2 g t 2 , y el vector suma r , tal como se muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha, observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa OB común, se cumplirá que

R 2 + ( v 0 t) 2 = x 2 + ( 1 2 g t 2 h ) 2

De este modo, expresamos x solamente en función del tiempo t.

x 2 = 1 4 g 2 t 4 +( v 0 2 +gh) t 2 +( R 2 h 2 )

El extremo (máximo) de x se calcula derivando x con respecto a t.

dx dt = g 2 t 3 +2( v 0 2 +gh)t=0 t m = 2( v 0 2 +gh) g

El alcance xm para el instante tm es

x m =± v 0 4 +2 v 0 2 gh+ g 2 R 2 g

Calculamos el ángulo θm de la gota cuyo punto de impacto es (-xm, -h). Como vemos en la parte derecha de la figura θm=π-α-β.

θ m =πarctan v o t m R arctan 1 2 g t m 2 h x m θ m =πarctan v o 2( v 0 2 +gh) gR arctan v 0 2 v 0 4 +2 v 0 2 gh+ g 2 R 2

Calculamos el ángulo θm de la gota cuyo punto de impacto es (xm, -h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θm=2π-(α-β)=2π-α+β.

θ m =2πarctan v o 2( v 0 2 +gh) gR +arctan v 0 2 v 0 4 +2 v 0 2 gh+ g 2 R 2

Altura máxima

La gota que se lanza en la posición θ=0, se mueve verticalmente hacia arriba,

v y = v 0 gt y= v 0 t 1 2 g t 2

alcanzando una altura máxima y cuando vy=0, cuyo valor es

y= v 0 2 2g

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θm que vamos a calcular

La componente vertical de la velocidad de la gota que sale de la posición angular θ

v y = v 0 cosθgt y=Rsinθ+ v 0 cosθ·t 1 2 g t 2

La máxima altura se alcanza cuando vy=0, y su valor es

y=Rsinθ+ v 0 2 cos 2 θ 2g

El ángulo θ, para el cual y es un extremo se obtiene dy/dθ=0

dy dθ =Rcosθ v 0 2 g sinθ·cosθ=0

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2, que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada es

θ m =arcsin gR v 0 2

La altura máxima que alcanza la gota que parte de esta posición es

y m = g R 2 2 v 0 2 + v 0 2 2g

y su abscisa es xm=0, tal como vemos en la figura, más abajo

Ecuación de la envolvente.

Como vemos en la figura, la envolvente (en color azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación es y=ax2+b. Calculamos a y b sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, ym), y pasa por el punto (xm, -h). Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

a x m 2 +b=h b= y m

La ecuación de la envolvente, para el caso v 0 2 >gR , es la parábola

y= g R 2 2 v 0 2 + v 0 2 2g g x 2 2 v 0 2

Ejemplo:

Sea ω=9.04 rad/s, y por tanto, v0=9.04 m/s, y sea h=8 m la altura del eje del paraguas sobre el suelo

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento de las gotas situadas en los extremos de las varillas del paraguas en las posiciones: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270, 300º, y 330º.

Conocida la altura h del paraguas sobre el suelo, el lector puede calcular los alcances y el tiempo de vuelo de las gotas situadas en algunas de estas posiciones y en especial la situadas en θ=90º y θ=270º.

Referencias

Martínez D. Queiro S. An elementary solution for a difficult motion problem. The Physics Teacher 41, December 2003, pp. 518-520