Dinámica del movimiento circular

Problemas

Curva sin peralte

Un automóvil describe una trayectoria circular de radio R con velocidad constante v.

Suponemos que el vehículo describe una trayectoria circular de radio R con velocidad constante v. Para un observador inercial, situado fuera del vehículo, las fuerzas que actúan sobre el móvil son:

Esta última, es la que hace que el vehículo describa una trayectoria circular.

Como hay equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso

N=mg

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento en la dirección radial

F r =m a n F r =m v 2 R

Siendo v la velocidad del móvil y R el radio de la circunferencia que describe

A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de rozamiento Fr hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del coeficiente estático por la reacción del plano, μ·N.

La velocidad máxima v que puede alcanzar el vehículo para que describa una curva circular de radio R es, por tanto

m v 2 R =μNv= μgR

Como apreciamos en el programa interactivo, a medida que se aumenta la velocidad del móvil, la fuerza de rozamiento crece hasta alcanzar el valor máximo μ·N, la trayectoria del vehículo es una circunferencia.

Si la velocidad del móvil es superior a la máxima, la fuerza de rozamiento, que es perpendicular al vector velocidad, tiene un valor constante e igual a su valor máximo, la trayectoria del móvil deja de ser circular. Para simplificar el problema hemos supuesto que los coeficientes estático y cinético tienen el mismo valor.

Curva con peralte

Consideremos ahora el caso de que la curva tiene un peralte de ángulo θ.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las mismas que en el caso de la curva sin peralte, pero con distinta orientación salvo el peso.

En la figura de la izquierda, se muestran las fuerzas y en la figura de la derecha, se ha sustituido la fuerza de rozamiento Fr y la reacción del plano N por la acción simultánea de sus componentes rectangulares.

La trayectoria que describe el vehículo es una sección cónica cortada por un plano perpendicular al eje del cono y por tanto, el centro de dicha circunferencia está situada en dicho plano y no en el vértice del cono.

El vehículo comienza a deslizar hacia arriba en la dirección radial, cuando lleva una velocidad tal que Fr=μN. En el sistema de dos ecuaciones

N(cosθ-μsinθ)=mg
N
(sinθ+μcosθ)=mv2/R

despejamos la velocidad máxima v que puede llevar el vehículo para que describa la curva con seguridad

v= Rg sinθ+μcosθ cosθμsinθ

Ejemplo

Un coche circula por la curva de una carretera de 500 m de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con el que el automóvil puede describir la curva con seguridad en los casos siguientes:

v= 500·9.8·0.75 =60.6m/s v= 500·9.8 sin15+0.75·cos15 cos150.75·sin15 =79.0m/s

Cuando el ángulo del peralte es grande o el coeficiente de rozamiento pequeño

Consideremos ahora el caso en el que el coeficiente de rozamiento es pequeño o el ángulo de la curva es grande. Cuando se cumple que

mg·sinθ>μ·N, es decir, tanθ>μ.

Existirá una velocidad mínima vmín de modo que el vehículo no deslice hacia abajo.

El vehículo comienza a deslizar hacia abajo en la dirección radial, cuando lleva una velocidad tal que Fr=μN. En el sistema de dos ecuaciones

N(cosθ+μsinθ)=mg
N
(sinθ-μcosθ)=mv2/R

Despejamos la velocidad mínima vmín que puede llevar el vehículo para que describa la curva con seguridad

v= Rg sinθμcosθ cosθ+μsinθ

Ejemplo

Para el ángulo θ=15° y el coeficiente de rozamiento μ=0.2, se cumple que tanθ>μ.