Braquistócrona en un campo de fuerzas centrífugas

En la página titulada Trabajo, energía cinética y energía potencial, vimos que la fuerza que ejerce un muelle elástico sobre una partícula, F=-kx es conservativa y la energía potencial es kx2/2, tomando como nivel cero de energía potencial cuando el muelle está sin deformar, x=0

Cuando una partícula de masa m está situada a una distancia r del eje de rotación de una plataforma que gira con velocidad angular constante ω, experimenta una fuerza centrífuga 2r. Esta fuerza es conservativa y su energía potencial es -2r2/2, tomando como nivel cero de energía potencial cuando la partícula está en el eje r=0.

Supongamos que disponemos de una plataforma en rotación de radio muy grande. Se lanza una partícula de masa m con velocidad inicial v0 cuando se encuentra a una distancia R del eje de rotación. Si no hay rozamiento, cuando se encuentre a una distancia r de eje de rotación su velocidad será v. Aplicando el principio de conservación de la energía

1 2 m v 2 1 2 m ω 2 r 2 = 1 2 m v 0 2 1 2 m ω 2 R 2 v= ω 2 r 2 + v 0 2 ω 2 R 2 =ω r 2 ( R 2 v 0 2 ω 2 ) =ω r 2 a 2

Denominamos a a la distancia al eje para la cual la velocidad v de la partícula se hace cero

Ecuación de la trayectoria

Expresamos el arco ds= d x 2 +d y 2 , en coordenadas polares

x=rcosθ, y=rsinθ

dx=dr·cosθ-rsinθ·dθ, dy=dr·sinθ+rcosθ·dθ

ds= d r 2 + r 2 d θ 2 = ( dr dθ ) 2 + r 2 ·dθ= r ˙ 2 + r 2 ·dθ

El tiempo t que tarda en desplazarse una partícula entre A y B es

t= A B ds v = A B r ˙ 2 + r 2 ω r 2 a 2 dθ

Tenemos que buscar la función r=r(θ) que haga la funcional t(r) extremo. Dado que el integrando, la función

f(θ,r, r ˙ )= r ˙ 2 + r 2 r 2 a 2

no depende de θ, la ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f r ˙ f r ˙ = C 1 r 2 r 2 a 2 r ˙ 2 + r 2 = C 1

C1 es una constante que se evalúa para el máximo r0 de la trayectoria r=r(θ), es decir, cuando dr/dθ=0. Véase la figura más arriba

r 0 = C 1 C 1 2 1 a

En términos del nuevo parámetro r0, la ecuación diferencial de la trayectoria se escribe

r 2 r 2 a 2 r ˙ 2 + r 2 = r 0 r 0 2 a 2 dr dθ =r a r 0 r 0 2 r 2 r 2 a 2 a r 0 θ= r 2 a 2 r 0 2 r 2 dr r + C 2

Para la fuerza de atracción F<0 se ha tomado el signo positivo de la raíz cuadrada, para una fuerza F>0 (centrífuga) se toma el signo negativo.

La ecuación de la trayectoria es casi idéntica a la estudiada en la página El viaje más rápido a través de un túnel por el interior de la Tierra, difieren en el signo y en el nombre del parámetro R (radio de la esfera) que se ha cambiado por a, relacionado con la posición inicial y la velocidad inicial. La partícula se encuentra en reposo, tanto a la distancia R como a la distancia a

Siguiendo los mismos pasos, resolvemos la integral del segundo miembro, haciendo el cambio

u= r 0 2 r 2 r 2 a 2 r= r 0 2 + a 2 u 2 1+ u 2 dr= u r a 2 r 0 2 (1+ u 2 ) 2 du

El resultado de la integral es

r 2 a 2 r 0 2 r 2 dr r = 1 r 2 a 2 r 0 2 (1+ u 2 ) 2 du= ( a 2 r 0 2 )du ( r 0 2 + a 2 u 2 )(1+ u 2 ) = ( a 2 + a 2 u 2 a 2 u 2 r 0 2 )du ( r 0 2 + a 2 u 2 )(1+ u 2 ) = a 2 du r 0 2 + a 2 u 2 du 1+ u 2 = a r 0 tan 1 ( a r 0 u ) tan 1 u= a r 0 tan 1 ( a r 0 r 0 2 r 2 r 2 a 2 ) tan 1 ( r 0 2 r 2 r 2 a 2 )

La ecuación implícita de la trayectoria, r=r(θ), es

θ= tan 1 ( a r 0 r 0 2 r 2 r 2 a 2 )+ r 0 a tan 1 ( r 0 2 r 2 r 2 a 2 )+ C 2

Donde θ se mide desde el eje de simetría. Véase la figura al principio de la página

Para r=r0, cuando r es máximo, θ=0, por lo que C2=0. Para r=a, cuando la velocidad de la partícula se hace cero

θ= π 2 + r 0 a π 2 = π 2 ( r 0 a 1 )

El ángulo subtendido por la trayectoria, entre las posiciones inicial y final, por simetría, es el doble

Δθ=π( r 0 a 1 )

Tiempo que tarda en recorrer el camino

Teniendo en cuenta que

r ˙ = dr dθ =r a r 0 r 0 2 r 2 r 2 a 2

Calculamos la expresión del tiempo t

t= A B ( dr dθ ) 2 + r 2 ω r 2 a 2 dθ= r 0 2 a 2 aω A B r·dr r 0 2 r 2 r 2 a 2 = r 0 2 a 2 aω A B r·dr ( a 2 r 0 2 2 ) 2 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 ) 2

Haciendo el cambio de variable

u= a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 2 = a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 du= 4r·dr a 2 r 0 2 r 0 2 a 2 aω 1 2 A B du 1 u 2 = r 0 2 a 2 aω 1 2 sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 ) | A B

Tomando tiempo t=0, cuando la trayectoria pasa por el máximo r=r0

t= r 0 2 a 2 aω 1 2 sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 ) | r 0 r t= r 0 2 a 2 aω 1 2 ( sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 ) sin 1 1 )= r 0 2 a 2 aω 1 2 ( sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 ) π 2 )

Finalmente, por simetría, el tiempo de viaje T es el doble del tiempo que tarda en ir del máximo r0 a a

T= 2 1 2 r 0 2 a 2 aω ( sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 π 2 ) ) | r 0 a T= r 0 2 a 2 aω ( 3 2 π π 2 )=π r 0 2 a 2 aω

Ecuaciones paraméricas de la trayectoria

Llamando Ω=π/T, en la ecuación que nos da el tiempo t, despejamos r2

t= r 0 2 a 2 aω 1 2 ( sin 1 ( a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 ) π 2 ) sin( 2Ωt+ π 2 )= a 2 + r 0 2 2 r 2 a 2 r 0 2 r 2 = a 2 + r 0 2 2 + r 0 2 a 2 2 cos( 2Ωt )

Expresamos la posición angular θ en función del tiempo t. El cociente

r 0 2 r 2 r 2 a 2 = 1cos( 2Ωt ) 1+cos( 2Ωt ) = 2 sin 2 ( Ωt ) 2 cos 2 ( Ωt ) = tan 2 ( Ωt )

El resultado es

θ= tan 1 ( a r 0 r 0 2 r 2 r 2 a 2 )+ r 0 a tan 1 ( r 0 2 r 2 r 2 a 2 ) θ= tan 1 ( a r 0 tan( Ωt ) )+ r 0 a Ωt

Conocidos r y θ en función del tiempo t dibujamos la trayectoria. Hacemos que la partícula parta de la misma posición. Las posiciones finales distan, 30, 60, 90, 120°

a=1;
w=1;
hold on
delta=0;
for ang=(30:30:120)*pi/180
    r0=(1+ang/pi)*a;
    T=pi*sqrt(r0^2-a^2)/(a*w);
    r2=@(t) (a^2+r0^2)/2+(r0^2-a^2)*cos(2*pi*t/T)/2;
    th=@(t) -atan(a*tan(pi*t/T)/r0)+r0*pi*t/(T*a);
    x=@(t) sqrt(r2(t)).*cos(th(t)+delta);
    y=@(t) sqrt(r2(t)).*sin(th(t)+delta);
    fplot(x,y,[-T/2,T/2], 'displayName',num2str(ang*180/pi))
    delta=ang/2;
end
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
fplot(@(t) a*cos(t),@(t) a*sin(t),[0,2*pi])
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x');
ylabel('y')
title('Disco en rotación')

Curvas cicloidales

La trayectoria es un arco de una curva denominada epitrocoide

{ x= a n { ( n+1 )cosφcos( (n+1)φ ) } y= a n { ( n+1 )sinφ+sin( (n+1)φ ) }

a=1;
n=5;
x=@(t) a*((n+1)*cos(t)-cos((n+1)*t))/n;
y=@(t) a*((n+1)*sin(t)-sin((n+1)*t))/n;
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
fplot(@(t) a*cos(t),@(t) a*sin(t),[0,2*pi])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Epitrocoide')

Se sugiere al lector cambiar el valor de n por ejemplo 2,3,4 (número entero), 5/3, 7/3, 8/3, 9/4 (número racional), π 2 , véase la página Hypocycloid

En el programa interactivo de la página titulada Curvas cicloidales se generan curvas denominadas epicicloidales. Se trata de curvas engendradas por un punto ligado a una círculo móvil que rueda sin deslizar sobre una circunferencia fija. Cuando el círculo móvil es exterior a la circunfereencia fija, la curva engendrada recibe el nombre de epicicloide.

Referencias

John M. McKinley. Brachistochrones, tautochrones, evolutes and tesselations. Am. J. Phys. 47(1) January 1979, pp. 81-86