Dinámica del movimiento circular

Problemas

El regulador centrífugo

El regulador centrífugo está constituido por cuatro barras articuladas de masa despreciable y de la misma longitud l, que giran alrededor de un eje vertical, estando el sistema de barras fijado al punto B. El cuerpo de masa m' que puede deslizar sin rozamiento a lo largo del eje, está apoyado en un resorte de constante k. Las bolas en las articulaciones A de las barras son iguales y de masa m. Cuando el sistema está en reposo C coincide con O y BO mide 2l.

Formularemos la ecuación de la dinámica de cada una de las dos bolas y el equilibrio del cuerpo m' que desliza a lo largo del eje.

Ejemplo

Calcular la deformación del muelle x, con los datos siguientes del regulador centrífugo

Longitud de la varilla, l 0.6 m
Masa de una bola, m 1.5 kg
Masa del bloque que desliza, m’ 2.5 kg
Constante elástica del muelle, k 310 N/m
Velocidad angular de rotación, ω 15 rad/s

El resultado es

x=2 1.5· 15 2 ·0.61.5·9.82.5·9.8 1.5· 15 2 +2·310 =0.34m=34cm

Tiovivo

Un juego de un parque de atracciones consta de una plataforma circular de radio R m que gira con velocidad angular constante ω. De la plataforma cuelgan “sillas voladoras” suspendidas de unas cadenas de longitud l. Cuando la plataforma gira las cadenas que sostienen los asientos forman un ángulo θ con la vertical.

Formulamos el equilibrio en la dirección vertical y la dinámica del movimiento circular uniforme en la dirección horizontal

Tcosθ=mg
Tsinθ=2(R+l·sinθ)

Eliminando la tensión T

tanθ= R ω 2 g + l ω 2 g sinθ

Mediante el cambio de variable

t=tan θ 2 tanθ= 2t 1 t 2 sinθ= 2t 1+ t 2

obtenemos la ecuación

R ω 2 g t 4 +2( 1+ l ω 2 g ) t 3 +2( 1 l ω 2 g )t R ω 2 g =0

Ejemplo

R=4; %radio plataforma
l=2.5; %longitud del péndulo
w=1; %velocidad angular
p=[R*w^2/9.8,2*(1+l*w^2/9.8),0,2*(1-l*w^2/9.8),-R*w^2/9.8];
angulo=roots(p);
for k=1:length(angulo) 
    if isreal(angulo(k))
        if angulo(k)>0
            fprintf('El ángulo es %2.1f\n',2*atan(angulo(k))*180/pi)
            break;
        end
    end  
end 
El ángulo es 27.8