Un anillo de masa M y radio R permanece en posición vertical. Dos partículas iguales de masa m pueden deslizar sin rozamiento a lo largo del anillo, partiendo desde la posición inicial θ₀ en reposo.

Supondremos que el anillo cuelga de una balanza. Vamos a calcular la fuerza T que mide en función de la posición angular θ de las partículas

Conservación de la energía

Cuando las partículas están en la posición θ, su velocidad es v.

Aplicamos el principio de conservación de la energía a cada una de las partículas, tomando el nivel cero de energía potencial en la parte inferior del anillo, θ=π

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2+mg\left(R+R\cos \theta \right)=mg\left(R+R\cos {\theta }_0\right)\\ v^2=2gR\left(\cos {\theta }_0-\cos \theta \right)\end{array}}$

Dinámica del movimiento circular

Las fuerzas sobre cada una de las partículas son

• El peso, mg
• La fuerza N que ejerce el anillo sobre la partícula

Aplicando la dinámica del movimiento circular

${\displaystyle \begin{array}{l}mg\cos \theta -N=m\frac{v^2}{R}\\ N=mg\cos \theta -2mg\left(\cos {\theta }_0-\cos \theta \right)=mg\left(3\cos \theta -2\cos {\theta }_0\right)\end{array}}$

La reacción N se hace cero para el ángulo θ

${\displaystyle \cos \theta =\frac{2}{3}\cos {\theta }_0}$

Si la posición inicial θ₀=0, entonces, cosθ=2/3

Véase la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica para un caso similar

Fuerza sobre el anillo

La fuerza T que ejerce el soporte que sujeta el anillo en posición vertical es

${\displaystyle \begin{array}{l}T=2N\cos \theta +Mg\\ T=2mg\left(3\cos \theta -2\cos {\theta }_0\right)\cos \theta +Mg\end{array}}$

La fuerza T se anula para dos ángulos

${\displaystyle \begin{array}{l}0=2mg\left(3\cos \theta -2\cos {\theta }_0\right)\cos \theta +Mg\\ {\cos }^2\theta -\frac{2}{3}\cos {\theta }_0\cos \theta +\frac{1}{6}\frac{M}{m}=0\\ \cos {\theta }_1=\frac{1}{3}\cos {\theta }_0+\sqrt{\frac{{\cos }^2{\theta }_0}{9}-\frac{1}{6}\frac{M}{m}}\\ \cos {\theta }_2=\frac{1}{3}\cos {\theta }_0-\sqrt{\frac{{\cos }^2{\theta }_0}{9}-\frac{1}{6}\frac{M}{m}}\end{array}}$

Para que existan raíces reales, el discriminante tiene que ser positivo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{\cos }^2{\theta }_0}{9}>\frac{1}{6}\frac{M}{m}\\ \frac{M}{m}<\frac{2}{3}{\cos }^2{\theta }_0\end{array}}$

Además, la resultante T presenta un mínimo para el ángulo θ_m

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dT}{d\theta }=0\\ -6\cos \theta \sin \theta +2\cos {\theta }_0\sin \theta =0\\ \cos {\theta }_m=\frac{1}{3}\cos {\theta }_0\end{array}}$

Ejemplo 1

Representamos la fuerza T en función del ángulo θ con los siguientes datos

• Radio del anillo, R=1 m
• Masa de las partículas, m=1 kg
• Masa del anillo, M=0.3 kg
• Posición inicial de las partículas, θ₀= 5°

R=1; %radio anillo
th_0=5*pi/180; %angulo inicial
m=1; %masa partícula
M=0.3; %masa anillo
T=@(x) 2*m*9.8*(3*cos(x)-2*cos(th_0)).*cos(x)+M*9.8;
hold on
fplot(T,[th_0, pi])
if M/m<2*cos(th_0)^2/3
    th_1=acos(cos(th_0)/3+sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m)));
    th_2=acos(cos(th_0)/3-sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m)));
    line([th_1, th_1],[0,-20], 'lineStyle','--')
    line([th_2, th_2],[0,-20], 'lineStyle','--')
end
th_m=acos(cos(th_0)/3);
plot(th_m,T(th_m),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'})
xlabel('\theta')
ylabel('Fuerza (N)')
title('Fuerza sobre el anillo')

El discriminante de la ecuación de segundo grado en cosθ es positivo, hay dos ángulos θ₁=54.7° y θ₂=85.0° para los cuales la fuerza T se anula

>> [th_1,th_2]*180/pi
ans =   54.7210   85.0336

Un punto de color rojo, señala el mínimo de la resultante T

Si cambiamos la masa M=2 kg del anillo, la fuerza T no se anula

Actividades

Se introduce

• La masa M del anillo en el control titulado Masa anillo
• El radio del anillo se ha fijado en R=1 m
• La masa de las partículas se ha fijado en, m=1 kg
• La posición inicial de las partículas, se ha fijado en θ₀= 5°

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos las fuerzas sobre el anillo

• El peso Mg de anillo
• Las fuerzas N que ejercen las dos partículas sobre el anillo

En la parte superior izquierda, se proporcionan los datos de la posición de las partículas θ y de la fuerza resultante T

Movimiento de la partícula a lo largo del anillo

Analizamos el movimiento de la partícula a lo largo de la dirección tangencial, desde la posición inicial θ₀ a la final θ=π.

La fuerza que actúa sobre la partícula es la componente mgsinθ del peso. La ecuación del movimiento es

${\displaystyle mR\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=mg\sin \theta }$

Solución numérica

Se resuelve, mediante el procedimiento ode45 de MATLAB, la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial, para determinar la posición angular de las partícula θ en función del tiempo t

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{g}{R}\sin \theta }$

Las condiciones iniciales son, en el instante t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0, parte del resposo

Solución analítica

La energía de la partícula en la posición inicial es

${\displaystyle E=mg\left(R+R\cos {\theta }_0\right)}$

La energía de la partícula en la posición θ, es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{\left(R\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+mg\left(R+R\cos \theta \right)}$

A partir del principio de conservación de la energía, obtenemos la relación implícita entre la posición angular θ y el tiempo t

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=\sqrt{\frac{2g}{R}\left(\cos {\theta }_0-\cos \theta \right)}=\sqrt{\frac{4g}{R}}\left({\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\right)}$

hemos utilizado la relación trigonométrica, $1+\cos \theta =2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}}=\sqrt{\frac{4g}{R}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ t=\sqrt{\frac{R}{4g}}{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}}\end{array}}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=\sin \phi ·\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\\ -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta =\cos \phi ·\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)d\phi \end{array}}$

El resultado es, véase la página titulada Integrales elípticas

${\displaystyle \begin{array}{l}t=-\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}}=-\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\phi ·{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}}\\ =\sqrt{\frac{R}{g}}\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}}}\right\}\\ t=\sqrt{\frac{R}{g}}\left\{K(k)-F\left(\phi ,k\right)\right\},\{\begin{array}{l}k=\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\\ \phi =\arcsin \left(\frac{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}\right)\end{array}\end{array}}$

El tiempo que tarda la partícula en desplazarse desde la posición inicial θ=θ₀ a la final θ=π es

${\displaystyle t_f=\sqrt{\frac{R}{g}}K(k)}$

Comparamos las dos soluciones

function anillo_10
    R=1; %radio
    th_0=5*pi/180; %angulo inicial
    k=cos(th_0/2);
    tt=sqrt(1/9.8)*ellipke(k^2); %tiempo total
    disp(tt)
    xx=linspace(th_0,pi,100);
    t=zeros(1,length(xx));
    i=1;
    for x=xx
        t(i)=sqrt(R/9.8)*(ellipke(k^2)-ellipticF(asin(cos(x/2)/cos(th_0/2)),k^2));
        i=i+1;
    end
    hold on
    plot(t,xx)
    
    %numérica
    f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R]; 
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x));
    [t,x]=ode45(f,[0,50],[th_0,0],opts);
    plot(t,x(:,1))
    disp(t(end)) %tiempo total
    hold off
    grid on
    set(gca,'YTick',0:pi/6:pi)
    set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'})
    legend('analítica','numérica','location','best')
    xlabel('t')
    ylabel('\theta')
    title('Posición')

    function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x)
        value=x(1)-pi; 
        isterminal=1;
        direction=1; 
    end
end

Ambas soluciones casi coinciden. Los tiempos de viaje calculados son

    1.4439
    1.4438

Las partículas tardan un tiempo t_f=1.44 s en alcanzar la posición más baja, θ=π (180°), partiendo de la posición θ₀=5°, en reposo.

Referencias

J Martínez-Torregrosa, P Sarriugarte, S Rosa-Cintas, J Guisasola. A circular motion problem to encourage deep understanding and use of scientific practices. Phys. Educ. 60 (2025) 045032