Dos partículas deslizan sin rozamiento a lo largo de un anillo en posición vertical
Un anillo de masa M y radio R permanece en posición vertical. Dos partículas iguales de masa m pueden deslizar sin rozamiento a lo largo del anillo, partiendo desde la posición inicial θ0 en reposo.
Supondremos que el anillo cuelga de una balanza. Vamos a calcular la fuerza T que mide en función de la posición angular θ de las partículas
Conservación de la energía
Cuando las partículas están en la posición θ, su velocidad es v.
Aplicamos el principio de conservación de la energía a cada una de las partículas, tomando el nivel cero de energía potencial en la parte inferior del anillo, θ=π
Dinámica del movimiento circular
Las fuerzas sobre cada una de las partículas son
- El peso, mg
- La fuerza N que ejerce el anillo sobre la partícula
Aplicando la dinámica del movimiento circular
La reacción N se hace cero para el ángulo θ
Si la posición inicial θ0=0, entonces, cosθ=2/3
Véase la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica para un caso similar
Fuerza sobre el anillo

La fuerza T que ejerce el soporte que sujeta el anillo en posición vertical es
La fuerza T se anula para dos ángulos
Para que existan raíces reales, el discriminante tiene que ser positivo
Además, la resultante T presenta un mínimo para el ángulo θm
Ejemplo 1
Representamos la fuerza T en función del ángulo θ con los siguientes datos
- Radio del anillo, R=1 m
- Masa de las partículas, m=1 kg
- Masa del anillo, M=0.3 kg
- Posición inicial de las partículas, θ0= 5°
R=1; %radio anillo th_0=5*pi/180; %angulo inicial m=1; %masa partícula M=0.3; %masa anillo T=@(x) 2*m*9.8*(3*cos(x)-2*cos(th_0)).*cos(x)+M*9.8; hold on fplot(T,[th_0, pi]) if M/m<2*cos(th_0)^2/3 th_1=acos(cos(th_0)/3+sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m))); th_2=acos(cos(th_0)/3-sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m))); line([th_1, th_1],[0,-20], 'lineStyle','--') line([th_2, th_2],[0,-20], 'lineStyle','--') end th_m=acos(cos(th_0)/3); plot(th_m,T(th_m),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') hold off grid on set(gca,'XTick',0:pi/6:pi) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'}) xlabel('\theta') ylabel('Fuerza (N)') title('Fuerza sobre el anillo')
El discriminante de la ecuación de segundo grado en cosθ es positivo, hay dos ángulos θ1=54.7° y θ2=85.0° para los cuales la fuerza T se anula
>> [th_1,th_2]*180/pi ans = 54.7210 85.0336
Un punto de color rojo, señala el mínimo de la resultante T
Si cambiamos la masa M=2 kg del anillo, la fuerza T no se anula
Actividades
Se introduce
- La masa M del anillo en el control titulado Masa anillo
- El radio del anillo se ha fijado en R=1 m
- La masa de las partículas se ha fijado en, m=1 kg
- La posición inicial de las partículas, se ha fijado en θ0= 5°
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos las fuerzas sobre el anillo
- El peso Mg de anillo
- Las fuerzas N que ejercen las dos partículas sobre el anillo
En la parte superior izquierda, se proporcionan los datos de la posición de las partículas θ y de la fuerza resultante T
Solución numérica
Se resuelve, mediante el procedimiento
Las condiciones iniciales son, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0, parte del resposo
Solución analítica
La energía de la partícula en la posición inicial es
La energía de la partícula en la posición θ, es
A partir del principio de conservación de la energía, obtenemos la relación implícita entre la posición angular θ y el tiempo t
hemos utilizado la relación trigonométrica,
Integrando
Efectuamos el cambio de variable
El resultado es, véase la página titulada Integrales elípticas
El tiempo que tarda la partícula en desplazarse desde la posición inicial θ=θ0 a la final θ=π es
Comparamos las dos soluciones
function anillo_10 R=1; %radio th_0=5*pi/180; %angulo inicial k=cos(th_0/2); tt=sqrt(1/9.8)*ellipke(k^2); %tiempo total disp(tt) xx=linspace(th_0,pi,100); t=zeros(1,length(xx)); i=1; for x=xx t(i)=sqrt(R/9.8)*(ellipke(k^2)-ellipticF(asin(cos(x/2)/cos(th_0/2)),k^2)); i=i+1; end hold on plot(t,xx) %numérica f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R]; opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x)); [t,x]=ode45(f,[0,50],[th_0,0],opts); plot(t,x(:,1)) disp(t(end)) %tiempo total hold off grid on set(gca,'YTick',0:pi/6:pi) set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'}) legend('analítica','numérica','location','best') xlabel('t') ylabel('\theta') title('Posición') function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x) value=x(1)-pi; isterminal=1; direction=1; end end
Ambas soluciones casi coinciden. Los tiempos de viaje calculados son
1.4439 1.4438
Las partículas tardan un tiempo tf=1.44 s en alcanzar la posición más baja, θ=π (180°), partiendo de la posición θ0=5°, en reposo.
Referencias
J Martínez-Torregrosa, P Sarriugarte, S Rosa-Cintas, J Guisasola. A circular motion problem to encourage deep understanding and use of scientific practices. Phys. Educ. 60 (2025) 045032