Dos partículas deslizan sin rozamiento a lo largo de un anillo en posición vertical

Un anillo de masa M y radio R permanece en posición vertical. Dos partículas iguales de masa m pueden deslizar sin rozamiento a lo largo del anillo, partiendo desde la posición inicial θ0 en reposo.

Supondremos que el anillo cuelga de una balanza. Vamos a calcular la fuerza T que mide en función de la posición angular θ de las partículas

Conservación de la energía

Cuando las partículas están en la posición θ, su velocidad es v.

Aplicamos el principio de conservación de la energía a cada una de las partículas, tomando el nivel cero de energía potencial en la parte inferior del anillo, θ

1 2 m v 2 +mg( R+Rcosθ )=mg( R+Rcos θ 0 ) v 2 =2gR( cos θ 0 cosθ )

Dinámica del movimiento circular

Las fuerzas sobre cada una de las partículas son

Aplicando la dinámica del movimiento circular

mgcosθN=m v 2 R N=mgcosθ2mg( cos θ 0 cosθ )=mg( 3cosθ2cos θ 0 )

La reacción N se hace cero para el ángulo θ

cosθ= 2 3 cos θ 0

Si la posición inicial θ0=0, entonces, cosθ=2/3

Véase la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica para un caso similar

Fuerza sobre el anillo

La fuerza T que ejerce el soporte que sujeta el anillo en posición vertical es

T=2Ncosθ+Mg T=2mg( 3cosθ2cos θ 0 )cosθ+Mg

La fuerza T se anula para dos ángulos

0=2mg( 3cosθ2cos θ 0 )cosθ+Mg cos 2 θ 2 3 cos θ 0 cosθ+ 1 6 M m =0 cos θ 1 = 1 3 cos θ 0 + cos 2 θ 0 9 1 6 M m cos θ 2 = 1 3 cos θ 0 cos 2 θ 0 9 1 6 M m

Para que existan raíces reales, el discriminante tiene que ser positivo

cos 2 θ 0 9 > 1 6 M m M m < 2 3 cos 2 θ 0

Además, la resultante T presenta un mínimo para el ángulo θm

dT dθ =0 6cosθsinθ+2cos θ 0 sinθ=0 cos θ m = 1 3 cos θ 0

Ejemplo 1

Representamos la fuerza T en función del ángulo θ con los siguientes datos

R=1; %radio anillo
th_0=5*pi/180; %angulo inicial
m=1; %masa partícula
M=0.3; %masa anillo
T=@(x) 2*m*9.8*(3*cos(x)-2*cos(th_0)).*cos(x)+M*9.8;
hold on
fplot(T,[th_0, pi])
if M/m<2*cos(th_0)^2/3
    th_1=acos(cos(th_0)/3+sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m)));
    th_2=acos(cos(th_0)/3-sqrt(cos(th_0)^2/9-M/(6*m)));
    line([th_1, th_1],[0,-20], 'lineStyle','--')
    line([th_2, th_2],[0,-20], 'lineStyle','--')
end
th_m=acos(cos(th_0)/3);
plot(th_m,T(th_m),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'})
xlabel('\theta')
ylabel('Fuerza (N)')
title('Fuerza sobre el anillo')

El discriminante de la ecuación de segundo grado en cosθ es positivo, hay dos ángulos θ1=54.7° y θ2=85.0° para los cuales la fuerza T se anula

>> [th_1,th_2]*180/pi
ans =   54.7210   85.0336

Un punto de color rojo, señala el mínimo de la resultante T

Si cambiamos la masa M=2 kg del anillo, la fuerza T no se anula

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos las fuerzas sobre el anillo

En la parte superior izquierda, se proporcionan los datos de la posición de las partículas θ y de la fuerza resultante T

Solución numérica

Se resuelve, mediante el procedimiento ode45 de MATLAB, la ecuación del movimiento de las partículas en la dirección tangencial, para determinar la posición angular de las partículas θ en función del tiempo t

mR d 2 θ d t 2 =mgsinθ d 2 θ d t 2 = g R sinθ

Las condiciones iniciales son, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0, parte del resposo

Solución analítica

La energía de la partícula en la posición inicial es

E=mg( R+Rcos θ 0 )

La energía de la partícula en la posición θ, es

E= 1 2 m ( R dθ dt ) 2 +mg( R+Rcosθ )

A partir del principio de conservación de la energía, obtenemos la relación implícita entre la posición angular θ y el tiempo t

dθ dt = 2g R ( cos θ 0 cosθ ) = 4g R ( cos 2 ( θ 0 2 ) cos 2 ( θ 2 ) )

hemos utilizado la relación trigonométrica, 1+cosθ=2 cos 2 ( θ 0 2 )

Integrando

θ 0 θ dθ cos 2 ( θ 0 2 ) cos 2 ( θ 2 ) = 4g R 0 t dt t= R 4g θ 0 θ dθ cos 2 ( θ 0 2 ) cos 2 ( θ 2 )

Efectuamos el cambio de variable

cos( θ 2 )=sinφ·cos( θ 0 2 ) 1 2 sin( θ 2 )dθ=cosφ·cos( θ 0 2 )dφ

El resultado es, véase la página titulada Integrales elípticas

t= R g π/2 φ dφ sin( θ 2 ) = R g π/2 φ dφ 1 sin 2 φ· cos 2 ( θ 0 2 ) = R g { 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ 0 φ dφ 1 k 2 sin 2 φ } t= R g { K(k)F( φ,k ) },{ k=cos( θ 0 2 ) φ=arcsin( cos( θ 2 ) cos( θ 0 2 ) )

El tiempo que tarda la partícula en desplazarse desde la posición inicial θ=θ0 a la final θ=π es

t f = R g K(k)

Comparamos las dos soluciones

function anillo_10
    R=1; %radio
    th_0=5*pi/180; %angulo inicial
    k=cos(th_0/2);
    tt=sqrt(1/9.8)*ellipke(k^2); %tiempo total
    disp(tt)
    xx=linspace(th_0,pi,100);
    t=zeros(1,length(xx));
    i=1;
    for x=xx
        t(i)=sqrt(R/9.8)*(ellipke(k^2)-ellipticF(asin(cos(x/2)/cos(th_0/2)),k^2));
        i=i+1;
    end
    hold on
    plot(t,xx)
    
    %numérica
    f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R]; 
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x));
    [t,x]=ode45(f,[0,50],[th_0,0],opts);
    plot(t,x(:,1))
    disp(t(end)) %tiempo total
    hold off
    grid on
    set(gca,'YTick',0:pi/6:pi)
    set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/6','\pi'})
    legend('analítica','numérica','location','best')
    xlabel('t')
    ylabel('\theta')
    title('Posición')

    function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x)
        value=x(1)-pi; 
        isterminal=1;
        direction=1; 
    end
end

Ambas soluciones casi coinciden. Los tiempos de viaje calculados son

    1.4439
    1.4438

Las partículas tardan un tiempo tf=1.44 s en alcanzar la posición más baja, θ=π (180°), partiendo de la posición θ0=5°, en reposo.

Referencias

J Martínez-Torregrosa, P Sarriugarte, S Rosa-Cintas, J Guisasola. A circular motion problem to encourage deep understanding and use of scientific practices. Phys. Educ. 60 (2025) 045032