Una partícula desliza sobre una pista circular que gira

Consideremos un aro de radio R que puede girar alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Un punto material de masa m se mueve a lo largo de la circunferencia sin rozamiento. Su posición está dada por el ángulo θ tal como se señala en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula, cuando estamos situados en el Sistema de Referencia en rotación son:

Descomponemos las fuerzas en la dirección vertical y horizontal. En la situación de equilibrio, se cumplirá que

N·cosθ =mg
N
·sinθ =Fc

Posiciones de equilibrio

Si descomponemos las fuerzas en la dirección tangencial y normal a la circunferencia, tendremos que en la situación de equilibrio

mg·sinθ =Fc·cosθ  

La partícula está en equilibrio en la dirección normal. Si no está en equilibrio en la dirección tangencial, la fuerza neta en esta dirección es

F= -mg·sinθ +Fc·cosθ= -mg·sinθ +mω2·R·sinθ ·cosθ

Esta fuerza depende solamente de la posición θ  y es conservativa. La energía potencial correspondiente a la fuerza F(θ) es

0 θ F(θ)R·dθ = E p (0) E P (θ)

Tomando como nivel cero de energía potencial Ep(0)=0 para θ=0, integramos y haciendo algunas operaciones, se obtiene

E p (θ)=mgR(1cosθ) 1 2 m ω 2 R 2 sin 2 θ

Sin rozamiento

Cuando situamos la partícula en la posición inicial θ0 con velocidad inicial nula, la partícula tenderá a desplazarse hacia la posición de equilibrio. Suponiendo que  no hay rozamiento, la partícula rebasará dicha posición, se detendrá y retornará a la posición de equilibrio y así, sucesivamente. La partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio θe.

La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

mR d 2 θ d t 2 = F c cosθmgsinθ mR d 2 θ d t 2 =m ω 2 Rsinθcosθmgsinθ d 2 θ d t 2 =( ω 2 cosθ g R )sinθ

Ecuaciones de Lagrange

Calculamos la energía cinética. El movimiento de la partícula es la composición de dos movimientos: a lo largo de la pista circular con velocidad R·dθ/dt y de rotación alrededor del eje vertical con velocidad angular constante ω y radio Rsinθ.

Calculamos la energía potencial de la partícula V(θ), la lagrangiana L=T-V y la ecuación del movimiento

T= 1 2 m R 2 ( ( dθ dt ) 2 + ω 2 sin 2 θ ) V=mgR( 1cosθ ) L=TV= 1 2 m R 2 ( ( dθ dt ) 2 + ω 2 sin 2 θ )mgR( 1cosθ ) L=TV= 1 2 m R 2 ( θ ˙ 2 + ω 2 sin 2 θ )mgR( 1cosθ ) d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 R d 2 θ d t 2 R ω 2 sinθcosθ+gsinθ=0

Obtenemos la misma ecuación del movimiento. Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.

Describimos cualitativamente el movimiento de la partícula si trazamos su curva de energía potencial.

La partícula parte del reposo en la posición θ0. Su energía total E es

E= E p ( θ 0 )=mgR(1cos θ 0 ) 1 2 m ω 2 R 2 sin 2 θ 0

Con rozamiento

Supongamos que el coeficiente de rozamiento entre la partícula y la superficie circular sobre la que desliza es μ. La partícula permanecerá en reposo si Fr/N<μ

La reacción N de la superficie circular es

N= mgcosθ+Fcsinθ

Actividades

Se introduce

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Observamos el movimiento de la partícula en equlibrio o deslizando a lo largo de la pista circular, tal como lo vería un observador no inercial que girase con la pista circular. Se marca la posición angular de equilibrio estable θe.

En la parte derecha, se representa la curva de energía potencial Ep(θ) en color azul, la energía total E (un segmento de color negro). La partícula oscila alrededor de las posiciones de equilibrio θe entre las posiciones de retorno, una es la posición inicial θ0 y la otra la raíz de la ecuación Ep(θ)=Ep(θ0).