Tomamos como origen la posición de la carga Q fija

• Cuando no hay cargas la posición del extremo del muelle sin deformar respecto del origen O es x₀.

• Cuando las cargas son del mismo signo, se repelen y la carga q se aleja de la carga fija Q. x>x₀.

• Cuando las cargas son del distinto signo, se atraen y la carga q se acerca a la carga fija Q. x<x₀.

Posiciones de equilibrio

La posición de equilibrio de la carga q es aquella en la que la fuerza de atracción o repulsión entre las cargas se compensa con la fuerza que ejerce el muelle.

En las dos figuras anteriores, se muestra el sentido de la fuerza de interacción entre cargas F_e y de la fuerza que ejerce el muelle F_m cuando las cargas son del mismo signo y cuando son de sentido contrario. Para un valor dado de la carga q, la posición de equilibrio x se determina a partir de la igualdad

F_e=F_m

${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q·Q}{x^2}=k(x-x_0)}$

x₀ es la longitud del muelle sin deformar y x es la longitud del muelle deformado.

${\displaystyle q=\frac{4\pi {\epsilon }_{0}k}{Q}{x}^2(x-x_0)}$

Elegimos la carga Q y la constante k del muelle de modo que $\frac{4\pi {\epsilon }_{0}k}{Q}=1$ . O bien, elegimos un sistema de unidades en el que q se mide en unidades de $\frac{4\pi {\epsilon }_{0}k}{Q}$ .

q=x²(x-x₀)

Dada la carga q, resolvemos la ecuación cúbica para determinar la posición de equilibrio x.

Raíces de la ecuación cúbica

En la figura, se representa la función

y=x²(x-x₀)

en el intervalo (0.0, 1.1) tomando x₀=1.0.

Como vemos la función presenta un mínimo que se calcula derivando y con respecto de x e igualando a cero.

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x^2-2x{x}_0=0x_m=\frac{2}{3}{x}_0{y}_m=-\frac{4}{27}{x}_0^3}$

Dado el valor de la carga q, se pueden presentar los siguientes casos:

• No hay raíces reales



Cuando la carga q es inferior a q_m=y_m, tal como vemos en la figura, la solución de la ecuación cúbica no presenta raíces reales.

Cuando q<q_m la fuerza de atracción eléctrica domina a la fuerza que ejerce el muelle sobre la carga q

${\displaystyle \frac{F_e}{F_m}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}k}\frac{q}{x^2(x-x_0)}}$

Para cualquier valor de x<1, q es más grande en valor absoluto que el valor absoluto de y=x²(x-x₀). Las cargas Q y q se atraen hasta que coinciden en x=0.

• Dos raíces reales



Cuando el valor de q está entre (q_m, 0) la recta y=q corta en dos puntos a la representación de la función cúbica.

• Una sola raíz



Cuando q>0 la recta y=q corta en un solo punto la representación gráfica

Estabilidad de las soluciones

La energía potencial del sistema es la suma de la energía potencial correspondiente a la interacción de las dos cargas eléctricas y a la energía potencial almacenada en el muelle elástico cuando está deformado.

${\displaystyle E_p(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q·q}{x}+\frac{1}{2}k{(x-x_0)}^2}$

Hemos elegido la carga Q y la constante k del muelle de modo que $\frac{4\pi {\epsilon }_{0}k}{Q}=1$ .

${\displaystyle e_p(x)=\frac{q}{x}+\frac{1}{2}{(x-x_0)}^2}$

Las posiciones de equilibrio se calculan igualando a cero la derivada primera

${\displaystyle \frac{d{e}_p(x)}{dx}=\frac{-q}{x^2}+(x-x_0)=0x^3-x_0{x}^2-q=0}$

que es la ecuación que hemos estudiado en el apartado anterior

El signo de la derivada segunda de la energía potencial e_p(x) determina si la posición de equilibrio es estable (si es mayor que cero)  o inestable (si es menor que cero).

${\displaystyle \frac{d^2{e}_p(x)}{d{x}^2}=\frac{2q}{x^3}+1}$

1. Cuando 0>q>q_m hay dos posiciones de equilibrio, a la posición x₁ corresponde un máximo de la energía potencial, y a la posición x₂ corresponde un mínimo. Por lo que x₂ es la posición de equilibrio estable.



2. Cuando q disminuye el máximo y el mínimo se van acercando uno al otro hasta que coinciden en el valor de $x_m=\frac{2x_0}{3}$ cuando $q=q_m=\frac{-4x_0^3}{27}$ , a dicho punto se le denomina de inflexión. Para esta posición, la derivada segunda de la energía potencial es cero.

La posición x_m que corresponde a q_m se denomina equilibrio neutro.



3. Cuando q>0, solamente hay una posición de equilibrio, que es estable, ya que corresponde a un mínimo de la energía potencial.

Actividades

Se introduce

• La carga q, en el control titulado Carga

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la curva de energía potencial e_p(x) y se señalan su máximo y su mínimo si los hubiere. La carga q unida al muelle se sitúa en la posición de equilibrio estable, siempre que q>q_m, y en el origen si q<q_m.

Referencias

Partensky M, Partensky P.D. Can a spring beat the charge?. The Physics Teacher, 42 November 2004, pp. 472-47