En la figura, se muestran las dos esferas conductoras del mismo radio R, inicialmente descargadas, unidas mediante un hilo conductor. El campo eléctrico uniforme E es paralelo al eje X. El centro de la primera esfera está fijada en el origen y el centro de la segunda se desplaza a una distancia x₀.

El radio de las esferas es pequeño para que el efecto de las cargas inducidas en sus superficies sea despreciable.

Carga de cada esfera

La diferencia de potencial entre las dos esferas es E·x₀. Pero como están conectadas por un hilo conductor deberán estar al mismo potencial, pasará carga de la primera a la segunda esfera hasta que sus potenciales se igualen. La primera esfera se carga con una carga -q y la segunda con una carga +q.

La diferencia de potencial entre dos esferas de radio R cargadas con cargas +q y –q es

${\displaystyle V\text{'}-V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{-q}{R}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{R}}$

Esta diferencia de potencial debe ser igual a E·x₀

${\displaystyle E·x_0=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2q}{R}q=2\pi {\epsilon }_{0}RE{x}_0}$

Movimiento de la segunda esfera

La primera esfera está fija en el origen, la segunda esfera se coloca en la posición inicial x₀ y se suelta. Observamos que esta esfera se mueve bajo la acción de dos fuerzas, la que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas.

Cuando la segunda esfera está a una distancia x, la fuerza de atracción entre dos cargas puntuales +q y -q vale

${\displaystyle F_a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{x^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{{(2\pi {\epsilon }_{0}REx)}^2}{x^2}=\pi {\epsilon }_0{R}^2{E}^2}$

que es constante

La fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la segunda esfera cargada con carga +q vale

${\displaystyle F_c=qE=2\pi {\epsilon }_{0}R{E}^{2}x}$

La ecuación del movimiento de la segunda esfera de masa m es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=2\pi {\epsilon }_{0}R{E}^{2}x-\pi {\epsilon }_0{R}^2{E}^2\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-ax=-b\end{array}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\exp \left(-\sqrt{a}t\right)+B\exp \left(\sqrt{a}t\right)+\frac{b}{a}\frac{b}{a}=\frac{R}{2}a=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}R{E}^2}{m}\\ \frac{dx}{dt}=\sqrt{a}\left(-A\exp \left(-\sqrt{a}t\right)+B\exp \left(\sqrt{a}t\right)\right)\end{array}}$

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, la posición de la segunda esfera es x₀ y su velocidad dx/dt=0.

${\displaystyle A=B=\frac{1}{2}\left(x_0-\frac{b}{a}\right)}$

La posición x y velocidad v de la segunda esfera vale

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\left(x_0-\frac{b}{a}\right)\cosh \left(\sqrt{a}t\right)+\frac{b}{a}\\ v=\frac{dx}{dt}=\left(x_0-\frac{b}{a}\right)\sqrt{a}\sinh \left(\sqrt{a}t\right)\end{array}}$

A partir de la relación entre el trabajo de las fuerzas que actúan sobre una partícula y la variación de energía cinética, despejamos la velocidad.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2={\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}(F_c-F_a)·dx=}{\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}(2\pi {\epsilon }_{0}R{E}^{2}x-\pi {\epsilon }_0{R}^2{E}^2)·dx=}\\ \pi {\epsilon }_{0}R{E}^2(x^2-x_0^2)-\pi {\epsilon }_0{R}^2{E}^2(x-x_0)=\pi {\epsilon }_{0}R{E}^2(x-x_0)\left(x+x_0-R\right)\\ v=\sqrt{a(x-x_0)\left(x+x_0-R\right)}\end{array}}$

Sustituyendo x por su expresión en función del tiempo t, comprobamos después de hacer algunas operaciones, que se obtiene v en función de t.

Ejemplo:

• Intensidad del campo eléctrico, E=0.9
• Radio de las esferas, R=0.2
• Posición inicial, x₀=5.0
• Se ha elegido los valores de la masa m y radio R tal que el parámetro a vale a=E²

El tiempo que tarda en llegar a la posición x=15.0 es t=1.97. La velocidad en dicha posición es v=12.67.

${\displaystyle x=x_0\cosh \left(\sqrt{a}t\right)v=\frac{dx}{dt}=x_0\sqrt{a}\sinh \left(\sqrt{a}t\right)}$

x0=5; %posición inicial de la segunda esfera
R=0.2; %radio de las esferas
a=0.9^2; %cuadrado del campo eléctrico
x=@(t) (x0-R/2)*cosh(sqrt(a)*t)+R/2;
fplot(x,[0,3])
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Posición')

Aproximaciones

Suponiendo que R es pequeño, el parámetro b es pequeño y por tanto, se puede despreciar la fuerza de atracción entre las esferas frente a la fuerza que ejerce el campo eléctrico externo E.

Actividades

Se introduce

• El valor del campo E, en el control titulado Campo eléctrico.

• La posición inicial x₀ de la segunda esfera, en el control titulado Posición.

• El radio de la esfera se ha fijado en R=0.2

• El parámetro a se ha fijado de modo que a=E²

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La esfera situada en la posición inicial x₀, se mueve bajo la acción de la fuerza que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas.

A medida que la segunda esfera se aleja del origen, la carga de cada esfera aumenta. Cuanto mayor sea la carga mayor es la intensidad del color azul (negativa) o rojo (positiva)

Los datos del tiempo t y la velocidad v aparecen en la parte inferior izquierda, la posición x aparece al lado de la esfera que se mueve.

Referencias

A field trip. Physics challenge for teachers and students March 2006. The Physics Teacher Vol 44