Dirección del campo eléctrico

La dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie como vamos a demostrar, a continuación.

Como el campo eléctrico es conservativo se deberá cumplir que la circulación del campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ es cero en un camino cerrado.

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}=0}$

Consideremos el camino cerrado ABCD y supongamos que los puntos A y D, están muy próximos entre sí en el interior y en el exterior del conductor, respectivamente. Supongamos que B y C están también muy próximos entre sí. El tramo AB es paralelo a la superficie.

Supongamos que la dirección del campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ en las proximidades de la superficie del conductor forma un ángulo θ con dicha superficie, tal como se muestra en la figura.

${\displaystyle \begin{array}{l}{{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}=\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+\underset{B}{\overset{C}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+\underset{C}{\overset{D}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+\underset{D}{\overset{A}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}=\hfill \\ \underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}E\cdot dl\cdot \cos \theta +0+0+0=0\hfill \end{array}}$

La circulación del campo eléctrico es la suma de cuatro contribuciones, en el tramo CD es nula, por ser el campo en el interior de un conductor cero. Las contribuciones en los lados AD y BC son aproximadamente cero por ser sus longitudes muy pequeñas |AD|=|BC|≈0. La contribución en el lado AB deberá ser por tanto cero para que la suma total sea cero. Esto solamente es posible, si el campo $\overrightarrow{E}$ es perpendicular a la superficie del conductor, es decir, forma 90º con el camino AB.

Por tanto, la consecuencia de que el campo eléctrico sea conservativo, es que la dirección del campo eléctrico en las proximidades de un conductor es perpendicular a la superficie del conductor.

Módulo del campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor

La ley de Gauss nos permite calcular el módulo del campo eléctrico en la superficie de un conductor cuando conocemos la distribución de carga en el mismo.

El teorema de Gauss afirma, que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ε₀.

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=\frac{q}{{\epsilon }_0}}$

1. Determinar la dirección del campo eléctrico.

Como hemos demostrado, la dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie.

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada un cilindro, cuya generatriz es perpendicular a la superficie del conductor. El flujo del campo eléctrico producido por la distribución de carga de σ C/m² en la superficie del conductor consta de tres términos.

• Flujo a través de la superficie lateral. Dado que el campo $\overrightarrow{E}$ es perpendicular al vector $\overrightarrow{dS}$ .

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}={{\displaystyle \int }}^{\text{}}E·dS\cos 90º=0}$

• El flujo del campo eléctrico en la base inferior. Dado que $\overrightarrow{E}=0$ en el interior del conductor, el flujo a través de esta superficie es cero.

• El flujo a través de la base superior. El campo y el vector superficie son paralelos.

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}={{\displaystyle \int }}^{\text{}}E·dS\cos 0º=E{{\displaystyle \int }}^{\text{}}dS=E·S}$

• El flujo total a través de la superficie cilíndrica es

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=ES}$

Siendo S el área de la base del cilindro.

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La superficie cilíndrica corta la superficie del conductor delimitando un área S, que contiene una carga q=σS

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

${\displaystyle E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}}$

Campo eléctrico producido por un conductor esférico

Supongamos un conductor esférico de radio R, cargado con carga Q o con una densidad superficiel de carga es σ=Q/(4πR²).

El campo en el interior del condutor es nulo, E=0

Tomamos una superficie esférica concéntrica de radio R igual al de la superficie conductora, el flujo del campo eléctrico es

${\displaystyle {\displaystyle \underset{S}{\int }\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}}={\displaystyle \underset{S}{\int }E·dS·\cos 0=E}{\displaystyle \underset{S}{\int }dS=E·4\pi R^2}}$

Aplicamos la ley de Gauss

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S}{\int }\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}\\ E=\frac{Q}{4\pi R^2{\epsilon }_0}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\end{array}}$

El campo eléctrico pasa de valer E=0 en el interior del conductor a E=σ/ε₀ en las proximidades de su superficie.

A una distancia r del centro de la esfera, aplicando la ley de Gauss

${\displaystyle E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}$

Representamos el módulo del campo eléctrico E en función de la distancia r al centro de la esfera

El potencial a una distancia r del centro de la esfera es el área sombreada

${\displaystyle V={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$

La esfera de radio R está a una potencial

${\displaystyle V(R)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}}$

Campo eléctrico en la superficie de la esfera

En este apartado, vamos a calcular de otra forma el valor del campo eléctrico producido por el conductor esférico de radio R en un punto de su superficie

En la página titulada Campo y potencial eléctrico de una distribución continua de carga calculamos el campo producido por un anillo de radio a cargado con una carga q en un punto de su eje situado a una distancia z del centro del anillo

${\displaystyle E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{z}{{(a^2+z^2)}^{3/2}}q}$

Dividimos la superficie esférica conductora en anillos de radio a=Rsinθ y de anchura R·dθ, cargados con una carga $dq=\sigma \left(2\pi R\sin \theta \right)(Rd\theta )$

Calculamos el campo eléctrico producido en un punto P de su eje situado a una distancia z=R-Rcosθ

${\displaystyle \begin{array}{l}dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{R-R\cos \theta }{{\left\{{\left(R\sin \theta \right)}^2+{\left(R-R\cos \theta \right)}^2\right\}}^{3/2}}\sigma \left(2\pi R\sin \theta \right)(Rd\theta )=\\ dE=\frac{\sigma }{2^{5/2}{\epsilon }_0}\frac{\sin \theta }{\sqrt{1-\cos \theta }}d\theta \end{array}}$

Utilizamos las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\\ \sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\end{array}}$

Simplificamos y calculamos el campo eléctrico en P producido por todos los anillos en los que se ha dividido la superficie esférica

${\displaystyle \begin{array}{l}dE=\frac{\sigma }{2^2{\epsilon }_0}\cos \frac{\theta }{2}d\theta \\ E=\frac{\sigma }{2^2{\epsilon }_0}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos \frac{\theta }{2}d\theta =}\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos u·du}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\end{array}}$

El campo en un punto de la superficie esférica conductora es la mitad que en sus proximidades, E=σ/ε₀ y es nulo, E=0 en los puntos del interior de conductor

Espesor de la capa que contiene el exceso de carga en la superficie de un conductor

Hemos demostrado que un conductor que adquiere una carga eléctrica, el exceso de carga residirá en la superficie como consecuencia de las repulsiones entre las cargas individuales. La carga se distribuirá en una capa muy delgada en la superficie del conductor. La cuestión que se plantea ahora es si la capa tiene un espesor finito o bien es infinitesimal.

Campo eléctrico producido por una capa esférica uniformemente cargada

Supongamos que el conductor es esférico, de radio b, y que el exceso de carga reside en una delgada capa comprendida entre a y b uniformemente distribuida en el volumen de dicha capa, tal como se muestra en la figura (el exceso de carga positiva se representa en color rojo).

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ε₀.

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=\frac{q}{{\epsilon }_0}}$

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.

El campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ es paralelo al vector superficie $\overrightarrow{dS}$ y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que,

${\displaystyle \underset{S}{{\displaystyle \int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}=\underset{S}{{\displaystyle \int }}E·dS\cos 0º=E\underset{S}{{\displaystyle \int }}dS=E·4\pi r^2}$

El flujo total es, E·4π r²

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

• Región a<r<b



Como la carga Q está en el volumen de la capa esférica de radios a y b, y de volumen (en color rojo)

${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi \left(b^3-a^3\right)}$

En la capa esférica comprendida entre a y r  hay una carga (en color rosa)

${\displaystyle q=\frac{Q}{b^3-a^3}\left(r^3-a^3\right)}$

4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

${\displaystyle E·4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}\frac{r^3-a^3}{b^3-a^3}}$

La aplicación del teorema de Gauss para las regiones r<a y r>b resulta más simple.



• Región r<a

La superficie esférica de radio r<a no contiene carga por lo que el campo E=0.

• Región r>b

La superficie esférica de radio r>b contiene una carga Q, por lo que el campo vale

${\displaystyle E·4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}}$

Potencial a una distancia a<r<b

En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de r.

El potencial a la distancia r señalada en la figura es la medida del área sombreada, suma de dos áreas.

${\displaystyle \begin{array}{l}V(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{b}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^2}\frac{r^3-a^3}{b^3-a^3}dr+}{\displaystyle \underset{b}{\overset{\infty }{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^2}dr}\\ V(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0(b^3-a^3)}\left(\left(\frac{b^2}{2}+\frac{a^3}{b}\right)-\left(\frac{r^2}{2}+\frac{a^3}{r}\right)\right)+\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}b}\end{array}}$

Energía de la distribución de carga

La energía de la distribución de carga es

${\displaystyle U=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}V(r)·dq}}$

Donde dq es la carga existente en la capa comprendida entre las superficies esféricas de radios r y r+dr, y V(r) es el potencial en la posición que ocupa dicha carga. El volumen de dicha capa es 4πr²·dr

${\displaystyle dq=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (b^3-a^3)}4\pi r^{2}dr}$

Después de un proceso de integración y simplificación algo laborioso, se llega al siguiente resultado

${\displaystyle U=\frac{3Q^2}{40\pi {\epsilon }_0}\frac{(2b^3+4a{b}^2+6a^{2}b+3a^3)}{{(b^2+ab+a^2)}^2}}$

Cuando a tiende a b de modo que la capa que contiene la distribución uniforme de carga se hace infinitesimal, la densidad de carga tiende infinito, pero la energía U tiende al valor

${\displaystyle U=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}b}}$

Esta es precisamente la energía de un conductor esférico de radio b cargado con una carga Q, tal como se ha deducido en la página anterior

Hemos demostrado que el exceso de carga en un conductor ocupa una capa de espesor nulo. Como la densidad de carga no puede ser infinita, se ha de tener en cuenta la estructura atómica del metal.

El campo más elevado que se puede alcanzar en las proximidades de una superficie conductora es del orden de 10⁹ V/m. La densidad de carga necesaria para producir este campo es de un átomo ionizado (en color rojo en la figura) por cada n átomos superficiales. Calculamos el valor de n suponiendo que el radio de un átomo es del orden de R≈10^-10 m.

El campo en las proximidades de la superficie de un conductor vale E=σ/ε₀. Si E=10⁹ V/m

${\displaystyle \sigma =\frac{1}{36\pi }=\frac{1.6·{10}^{-19}}{n\pi R^2}\frac{\text{C}}{{\text{m}}^{\text{2}}}}$

Si R=10^-10 m entonces n=576. Uno de cada 576 átomos superficiales está ionizado

Referencias

Gough W. How thick is the charge layer on a metallic surface?. Phys. Educ. 21, 1986, pp. 81-82.

F. M. S. Lima. A proper integral for the electric field at the surface of a conducting sphere. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 42, e20200182 (2020) www.scielo.br/rbef