Ley de Gauss

Tumba de Carl Friedrich Gauss en Göttingen (Alemania). Busto de Gauss en la Universidad (Alte Aula)


Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ =E·S

El vector superficie S es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero

Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento dS de superficie, E·dS. El flujo a través de la superficie S, es

Φ = S E · d S

La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.

EdS = q ε 0

Vamos a ver algunos ejemplos típicos de aplicación de la ley de Gauss

Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado

Para una línea indefinida cargada, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:

  1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

  2. La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

  3. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

  4. Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

  5. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

  6. La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es q=λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.

  7. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

  8. E2πrL= λL ε 0 E= λ 2π ε 0 r

Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:

  1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

  2. La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial

  3. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

  4. Tomamos como superficie cerrada, una esfera concéntricade radio r.

    El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS. Por simetría el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica de radio r, por lo que,

    S E·dS = S EdScos0º =E S dS =E4π r 2

    El flujo total es, 4πr2

  5. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
  6. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

  7. E4π r 2 = q ε 0

    Se obtiene

     E= Qr 4π ε 0 R 3 r<R)E= Q 4π ε 0 r 2 r>R)

    El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.

Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada

Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)-V(∞). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.

Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0< r<R y r>R

Energía de una distribución de cargas

Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva. O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la otra.

Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas y la generalizamos para una distribución continua de carga.

Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se indica en la figura.

La energía de este sistema U vale

U= E p12 + E p13 + E p23 = 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12 + 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23

Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que ocupa q1. La energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es

q 1 V 1 = q 1 ( 1 4π ε 0 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 r 12 )= 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12

Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la posición que ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras dos es

q 2 V 2 = q 2 ( 1 4π ε 0 q 1 r 12 + 1 4π ε 0 q 3 r 23 )= 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23

Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la posición que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras dos es

q 3 V 3 = q 3 ( 1 4π ε 0 q 1 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 r 23 )= 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23

Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de la energía del sistema de partículas

U= 1 2 ( q 1 V 1 + q 2 V 2 + q 3 V 3 )= 1 2 q i V i

Energía de la esfera cargada

Volviendo de nuevo a la esfera uniformemente cargada, el potencial Vi se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.

La carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr. El volumen de dicha capa esférica es 4πr2dr, y la carga que hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)

3Q r 2 R 3 dr

La energía vale entonces

U = 1 2 0 R V(r)dq = 1 2 0 R Q 4π ε 0 R ( 3 2 1 2 r 2 R 2 ) 3Q r 2 R 3 dr = 3 5 Q 2 4π ε 0 R