Equilibrio

Cuando ponemos n cargas en un circunferencia de radio R. En la configuración de equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un poligono regular de n lados tal como vamos a comprobar en los siguientes ejemplos.

Sistema de n=2 cargas

La posición angular de la primera carga es θ₁ y de la segunda carga θ₂

La energía eléctrostática del sistema de dos cargas es

${\displaystyle U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right|}}$

Expresamos la energía U en términos de θ₁ y θ₂

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_1}=R\cos {\theta }_1\widehat{i}+R\sin {\theta }_1\widehat{j}\\ \overrightarrow{r_2}=R\cos {\theta }_2\widehat{i}+R\sin {\theta }_2\widehat{j}\\ \overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}=R\left\{\left(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1\right)\widehat{i}+\left(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1\right)\widehat{j}\right\}\\ \left|\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right|=R\sqrt{2-2\cos \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)}=2R\sin \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)\\ U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}\end{array}}$

En el equilibrio, la energía U deberá ser mínima

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial {\theta }_1}=\mathrm{0,}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_2}=\mathrm{0,}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}=0\end{array}}$

La solución es θ₂-θ₁=π. Como cabría esperar en el equilibrio, las cargas están situadas en los extremos de un diámetro de la circunferencia.

Sistema de n=3 cargas

La posición angular de la primera carga es θ₁, de la segunda carga θ₂ y de la tercera θ₃

La energía eléctrostática del sistema de tres cargas es

${\displaystyle \begin{array}{l}U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_1}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_2}\right|}=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}\end{array}}$

En el equilibrio, la energía U deberá ser mínima

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial {\theta }_1}=\mathrm{0,}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_2}=\mathrm{0,}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_3}=\mathrm{0,}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}=0\end{array}}$

La solución a este sistema es, θ₂-θ₁=θ, θ₃-θ₁=2θ, θ₃-θ₂=θ. Las tres ecuaciones se reducen a una única ecuación.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}+\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=0\\ \frac{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}+\frac{{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}{4{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right){\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}=0\\ \cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\frac{{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}{4{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}=0\end{array}}$

Llamando x=cos(θ/2), obtenemos la ecuación cúbica

${\displaystyle \begin{array}{l}x+\frac{x^2-\left(1-x^2\right)}{4x^2}=0\\ 4x^3+2x^2-1=0\end{array}}$

>> roots([4,2,0,-1])
ans =
  -0.5000 + 0.5000i
  -0.5000 - 0.5000i
   0.5000 + 0.0000i

La raíz real cúbica de esta ecuación es x=1/2, cos(θ/2)=1/2, θ=120°. Las cargas se sitúan en el vértice de un triángulo equilátero

Sistema de n=4 cargas

La posición angular de la primera carga es θ₁, de la segunda carga θ₂, de la tercera θ₃ y de la cuarta θ₄

La energía eléctrostática del sistema de cuatro cargas es

${\displaystyle \begin{array}{l}U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_4}-\overrightarrow{r_1}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_4}-\overrightarrow{r_2}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_4}-\overrightarrow{r_3}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_1}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_2}\right|}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{\left|\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right|}=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_1}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_2}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R\sin \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}\end{array}}$

En el equilibrio la energía U deberá ser mínima

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial {\theta }_1}=\mathrm{0,}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_2}=\mathrm{0,}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_2}{2}\right)}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_3}=\mathrm{0,}-\frac{-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_3-{\theta }_1}{2}\right)}=0\\ \frac{\partial U}{\partial {\theta }_4}=\mathrm{0,}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_2}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_2}{2}\right)}-\frac{\frac{1}{2}\cos \left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_1}{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_4-{\theta }_1}{2}\right)}=0\end{array}}$

La solución a este sistema es, θ₂-θ₁=θ, θ₃-θ₂=θ, θ₄-θ₃=θ, θ₄-θ₂=2θ, θ₄-θ₁=3θ, θ₃-θ₁=2θ, θ₄-θ₂=2θ. Las cuatro ecuaciones se reducen a dos ecuaciones.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\cos \left(\frac{3\theta }{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{3\theta }{2}\right)}+\frac{\cos \left(\theta \right)}{{\sin }^2\left(\theta \right)}+\frac{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}=0\\ \frac{\cos \left(\theta \right)}{{\sin }^2\left(\theta \right)}=\mathrm{0,}\theta =\frac{\pi }{2}\end{array}}$

En el equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un cuadrado

Sistema de n cargas

En general, en el equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un polígono regular.

hold on
n=5; %número de cargas
fplot(@(t) cos(t),@(t) sin(t), [0,2*pi]) %circunferencia
for i=0:n-1
   plot(cos(i*2*pi/n),sin(i*2*pi/n),'o','markersize',4,'markeredgecolor',
'r','markerfacecolor','r') 
   line([cos(i*2*pi/n),cos((i+1)*2*pi/n)],[sin(i*2*pi/n),sin((i+1)*2*pi/n)], 
'lineStyle','--')
end
hold off
axis square
axis off

Resultante nula de las fuerzas sobre cada una de las partículas

Supongamos que tenemos n cargas iguales q situadas en los vértices de un polígono regular de n lados. Las partículas cargadas ejercen entre ellas fuerzas de repulsión. La resultante en la posición de equilibrio, tiene dirección radial. Si colocamos una carga Q de signo contrario en el centro del polígono ejercerá una fuerza de atracción sobre las partículas cargadas. En esta apartado, se calcula el valor de Q para que la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas sea nula.

Vamos a estudiar varios ejemplos

Sistema de n=2 cargas

A la izquierda, en la situación de equilibrio, tenemos dos cargas iguales q en los extremos de un diámetro. Las cargas se repelen con una fuerza

${\displaystyle F_q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{{\left(2R\right)}^2}}$

Colocamos una carga Q de signo contrario en el centro de la circunferencia, que ejerce fuerzas de atraccción sobre cada una de las dos cargas q

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

La resultante de las fuerzas sobre cada una de las partículas es nula, cuando ambas fuerzas son iguales F_q=F_Q

El resultado es Q=q/4.

Sistema de n=3 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo formado por el centro y las cargas 2 y 3 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de tres lados es, a=2Rsin(π/3).

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 1 y 3 sobre la carga 1

${\displaystyle F_{\mathrm{2,3}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)}}$

El ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{F_1}$ y $\overrightarrow{F_3}$ es π/3. La resultante tiene por módulo 2F₂cos(π/6), su dirección radial

• La resultante, F_p, es

${\displaystyle F_q=2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q=\frac{q}{2}\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}}$

Sistema de n=4 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo rectángulo formado por el centro y las cargas 1 y 2 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de cuatro lados es, $a=\sqrt{2}R$ .

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 2, y 4 sobre la carga 1 tienen por módulo

${\displaystyle F_{\mathrm{2,4}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2}}$

El ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{F_2}$ y $\overrightarrow{F_4}$ es π/2. La resultante tiene por módulo 2F₂cos(π/4), su dirección radial

• Las fuerza repulsiva que ejerce la carga 3 sobre la carga 1 es

${\displaystyle F_3=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}}$

• La resultante, F_p, es la suma de dos contribuciones

${\displaystyle F_q=2F_2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+F_3=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{R^2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}\right)}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q_4=q\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)}+\frac{1}{2}\right)}$

Sistema de n=5 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo formado por el centro y las cargas 3 y 4 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de cinco lados es a=2Rsin(π/5).

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 2 y 5 sobre la carga 1

${\displaystyle F_{\mathrm{2,5}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_2}$ y $\overrightarrow{F_5}$ forman un ángulo de 3π/5. El módulo de la resultante de estas dos fuerzas es, 2F₂cos(3π/10), su dirección radial

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{10}\right)}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 3 y 4 sobre la carga 1

En el triángulo formado por las cargas 1, 2 y 3, la distancia entre las cargas 3 y 1 es d=2asin(3π/10)=4Rsin(π/5)sin(3π/10). El módulo de la fuerza vale

${\displaystyle F_{\mathrm{3,4}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right){\sin }^2\left(\frac{3\pi }{10}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_3}$ y $\overrightarrow{F_4}$ forman un ángulo de φ, tal que sinφ=(a/2)/d

${\displaystyle \sin \phi =\frac{1}{4\sin \left(\frac{3\pi }{10}\right)},\phi =\frac{\pi }{10}}$

>> asind(1/(4*sin(3*pi/10)))
ans =    18

El módulo de la resultante de estas dos fuerzas es, 2F₃cos(φ), su dirección radial

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right){\sin }^2\left(\frac{3\pi }{10}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{10}\right)}$

• La resultante, F_p, es la suma de dos contribuciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_p=2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{10}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right){\sin }^2\left(\frac{3\pi }{10}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{10}\right)=\\ 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right)}\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{5}\right){\cos }^2\left(\frac{\pi }{5}\right)}\sin \left(2\frac{\pi }{5}\right)=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)}=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)}+\frac{1}{\sin \left(2\frac{\pi }{5}\right)}\right)\end{array}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q=\frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)}+\frac{1}{\sin \left(2\frac{\pi }{5}\right)}\right)}$

Sistema de n=6 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo formado por el centro y las cargas 2 y 3 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de seis lados es a=2Rsin(π/6)=R.

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 2 y 6 sobre la carga 1

${\displaystyle F_{\mathrm{2,6}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{R^2}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_2}$ y $\overrightarrow{F_6}$ forman un ángulo de 2π/3. El módulo de la resultante de estas dos fuerzas es, 2F₂cos(π/3), su dirección radial

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{R^2}\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{R^2}}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 3 y 5 sobre la carga 1

En el triángulo formado por las cargas 1, 5 y 6, la distancia entre las cargas 5 y 1 es d=2asin(π/3)=2Rsin(π/3). El módulo de la fuerza vale

${\displaystyle F_{\mathrm{3,5}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_3}$ y $\overrightarrow{F_5}$ forman un ángulo de 2φ. Sabiendo que las coordenadas de la carga 3 son (Rcos(2π/3), Rsin(2π/3))

${\displaystyle \sin \phi =\frac{R\sin \left(2\frac{\pi }{3}\right)}{d}=\frac{2R\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)}{2R\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right),\phi =\frac{\pi }{6}}$

La resultante en la dirección radial es 2F₃cos(π/6)

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}}$

• Fuerza repulsiva que ejerce la carga 4 sobre la carga 1

${\displaystyle F_4=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}}$

• La resultante, F_p, es la suma de tres contribuciones

${\displaystyle F_p=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{R^2}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen la ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q=\frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}+\frac{1}{\sin \left(2\frac{\pi }{6}\right)}+\frac{1}{2}\right)}$

Sistema de n=7 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo formado por el centro y las cargas 4 y 5 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de siete lados es, a=2Rsin(π/7).

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 2 y 7 sobre la carga 1

${\displaystyle F_{\mathrm{2,7}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_2}$ y $\overrightarrow{F_7}$ forman un ángulo de 5π/7. El módulo de la resultante de estas dos fuerzas es, 2F₂cos(5π/14), su dirección radial

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{5\pi }{14}\right)}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 3 y 6 sobre la carga 1

En el triángulo formado por las cargas 1, 6 y 7, la distancia d₁ entre las cargas 6 y 1 es d₁=2asin(5π/14)=4Rsin(5π/14)sin(π/7). El módulo de la fuerza vale

${\displaystyle F_{\mathrm{3,6}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d_1^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{5\pi }{14}\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_3}$ y $\overrightarrow{F_6}$ forman un ángulo de 2φ₁. Las coordendas de la carga 3 son (Rcos(4π/7), Rsin(4π/7)), por tanto,

${\displaystyle \sin {\phi }_1=\frac{R\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right)}{d_1}=\frac{2R\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)}{4R\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)}=\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right),{\phi }_1=\frac{3\pi }{14}}$

La resultante en la dirección radial es 2F₃cos(3π/14)

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{5\pi }{14}\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{14}\right)}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 4 y 5 sobre la carga 1

Las coordenadas de la carga 4 son (Rcos(6π/7), Rsin(6π/7)) y las coordenadas de 1 son (R,0), la distancia d₂ es

${\displaystyle d_2=\sqrt{{\left(R-R\cos \left(\frac{6\pi }{7}\right)\right)}^2+R^2{\sin }^2\left(\frac{6\pi }{7}\right)}=2R\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)}$

El módulo de la fuerza es

${\displaystyle F_{\mathrm{4,5}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d_2^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{7}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_4}$ y $\overrightarrow{F_5}$ forman un ángulo 2φ₂, donde sinφ₂=(a/2)/d₂

${\displaystyle \sin {\phi }_2=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)}{2\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)},{\phi }_2=\frac{\pi }{14}}$

>> asin(sin(pi/7)/(2*sin(3*pi/7)))
ans =    0.2244
>> pi/14
ans =    0.2244

La resultante en la dirección radial es 2F₄cos(φ)

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{14}\right)}$

• La resultante, F_p, es la suma de tres contribuciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_p=2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{5\pi }{14}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{16R^2{\sin }^2\left(\frac{5\pi }{14}\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{14}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{7}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{14}\right)=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{8R^2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{7}\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{7}\right)}\sin \left(2\frac{\pi }{7}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{7}\right)}\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)}\end{array}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen la ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q=\frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)}+\frac{1}{\sin \left(2\frac{\pi }{7}\right)}+\frac{1}{\sin \left(3\frac{\pi }{7}\right)}\right)}$

Sistema de n=8 cargas

• Longitud del lado a

En el triángulo formado por el centro y las cargas 5 y 6 vemos que la longitud del lado a de un polígono regular de ocho lados es, a=2Rsin(π/8).

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 2 y 8 sobre la carga 1

${\displaystyle F_{\mathrm{2,8}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{8}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_2}$ y $\overrightarrow{F_8}$ forman un ángulo de 3π/4. El módulo de la resultante de estas dos fuerzas es, 2F₂cos(3π/8), su dirección radial

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{8}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{8}\right)}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 3 y 7 sobre la carga 1

Las coordenadas de la carga 3 son (Rcos(π/2), Rsin(π/2))=(0,R), las coordenadas de la carga 1 son (R,0), la distancia entre la carga 3 y 1 es $d_1=R\sqrt{2}$ . El módulo de la fuerza vale

${\displaystyle F_{\mathrm{3,7}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d_1^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_3}$ y $\overrightarrow{F_7}$ forman un ángulo de π/2. La resultante en la dirección radial es 2F₃cos(π/4),

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2}\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)}$

• Las fuerzas repulsivas que ejercen las cargas 4 y 6 sobre la carga 1

Las coordenadas de la carga 4 son (Rcos(3π/4), Rsin(3π/4)) y las coordenadas de 1 son (R,0), la distancia d₂ es

${\displaystyle d_2=\sqrt{{\left(R-R\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)\right)}^2+R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}=2R\sin \left(\frac{3\pi }{8}\right)}$

El módulo de la fuerza es

${\displaystyle F_{\mathrm{4,6}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{d_2^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{8}\right)}}$

Los vectores $\overrightarrow{F_4}$ y $\overrightarrow{F_6}$ forman un ángulo 2φ, donde sinφ=(a/2)/d₂

${\displaystyle \sin \phi =\frac{R\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)}{d_2}=\frac{2R\sin \left(\frac{3\pi }{8}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{8}\right)}{2R\sin \left(\frac{3\pi }{8}\right)}=\cos \left(\frac{3\pi }{8}\right),\phi =\frac{\pi }{8}}$

La resultante en la dirección radial es 2F₄cos(φ)

${\displaystyle 2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)}$

• Fuerza repulsiva que ejerce la carga 5 sobre la carga 1

${\displaystyle F_5=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}}$

• La resultante, F_p, es la suma de cuatro contribuciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_p=2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{8}\right)}\cos \left(\frac{3\pi }{8}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2}\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{8}\right)}\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{8}\right)}\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)}\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2{\sin }^2\left(\frac{3\pi }{8}\right)}\sin \left(\frac{3\pi }{8}\right)+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2}=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2R^2\sin \left(\frac{3\pi }{8}\right)}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4R^2\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}\end{array}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la carga Q situada en el centro sobre la carga q considerada es

${\displaystyle F_Q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{R^2}}$

Para que se anulen la ambas fuerzas, el valor de Q será

${\displaystyle Q=\frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)}+\frac{1}{\sin \left(2\frac{\pi }{8}\right)}+\frac{1}{\sin \left(3\frac{\pi }{7}\right)}+\frac{1}{2}\right)}$

Sistema de n cargas

• Para n impar, 3,5,7,9...

${\displaystyle Q_n=\frac{q}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{n}i\right)}}}$

• Para n par, 2, 4, 6, 8,...

${\displaystyle Q_n=\frac{q}{2}\left\{\frac{1}{2}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{\frac{n-2}{2}}\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{n}i\right)}}\right\}}$

Representamos la carga en el centro Q/q en función del número n de cargas en la circunferencia de radio R

hold on
N=10;
Q=zeros(1,N-1);
Q(1)=1/4;
for n=3:N
    if rem(n,2)==0
       Q(n-1)=(1/2+sum(1./sin(pi*m/n)))/2;
    else
        m=1:(n-1)/2;
       Q(n-1)=sum(1./sin(pi*m/n))/2;  
    end
end
   plot(2:N,Q,'-o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
   xlabel('n')
   ylabel('Q')
   grid on
   title('Carga en el centro del polígono')

Referencias

Norberto Helil Pasqua , Paulo Daniel Emmel. Cancelamento das Forças de Vínculo em Anel Condutor Carregado com nq Cargas por Meio de uma Carga Q de Sinal Contrário Posicionada no Centro.. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol.23, no.2, Junho, 2001. https://www.scielo.br/j/rbef/i/2001.v23n2/