Equilibrio de cargas iguales situadas en una circunferencia

Equilibrio

Cuando ponemos n cargas en un circunferencia de radio R. En la configuración de equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un poligono regular de n lados tal como vamos a comprobar en los siguientes ejemplos.

Sistema de n=2 cargas

La posición angular de la primera carga es θ1 y de la segunda carga θ2

La energía eléctrostática del sistema de dos cargas es

U= 1 4π ε 0 q 2 | r 2 r 1 |

Expresamos la energía U en términos de θ1 y θ2

r 1 =Rcos θ 1 i ^ +Rsin θ 1 j ^ r 2 =Rcos θ 2 i ^ +Rsin θ 2 j ^ r 2 r 1 =R{ ( cos θ 2 cos θ 1 ) i ^ +( sin θ 2 sin θ 1 ) j ^ } | r 2 r 1 |=R 22cos( θ 2 θ 1 ) =2Rsin( θ 2 θ 1 2 ) U= 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 2 θ 1 2 )

En el equilibrio, la energía U deberá ser mínima

U θ 1 =0, 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) =0 U θ 2 =0, 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) =0

La solución es θ2-θ1=π. Como cabría esperar en el equilibrio, las cargas están situadas en los extremos de un diámetro de la circunferencia.

Sistema de n=3 cargas

La posición angular de la primera carga es θ1, de la segunda carga θ2 y de la tercera θ3

La energía eléctrostática del sistema de tres cargas es

U= 1 4π ε 0 q 2 | r 2 r 1 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 3 r 1 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 3 r 2 | = 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 2 θ 1 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 3 θ 1 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 3 θ 2 2 )

En el equilibrio, la energía U deberá ser mínima

U θ 1 =0, 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 1 2 ) =0 U θ 2 =0, 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 2 2 ) =0 U θ 3 =0, 1 2 cos( θ 3 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 1 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 2 2 ) =0

La solución a este sistema es, θ2-θ1=θ, θ3-θ1=2θ, θ3-θ2=θ. Las tres ecuaciones se reducen a una única ecuación.

cos( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) + cosθ sin 2 θ =0 cos( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) + cos 2 ( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) 4 sin 2 ( θ 2 ) cos 2 ( θ 2 ) =0 cos( θ 2 )+ cos 2 ( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) 4 cos 2 ( θ 2 ) =0

Llamando x=cos(θ/2), obtenemos la ecuación cúbica

x+ x 2 ( 1 x 2 ) 4 x 2 =0 4 x 3 +2 x 2 1=0

>> roots([4,2,0,-1])
ans =
  -0.5000 + 0.5000i
  -0.5000 - 0.5000i
   0.5000 + 0.0000i

La raíz real cúbica de esta ecuación es x=1/2, cos(θ/2)=1/2, θ=120°. Las cargas se sitúan en el vértice de un triángulo equilátero

Sistema de n=4 cargas

La posición angular de la primera carga es θ1, de la segunda carga θ2, de la tercera θ3 y de la cuarta θ4

La energía eléctrostática del sistema de cuatro cargas es

U= 1 4π ε 0 q 2 | r 4 r 1 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 4 r 2 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 4 r 3 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 3 r 1 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 3 r 2 | + 1 4π ε 0 q 2 | r 2 r 1 | = 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 4 θ 1 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 4 θ 2 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 4 θ 3 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 3 θ 1 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 3 θ 2 2 ) + 1 4π ε 0 q 2 2Rsin( θ 2 θ 1 2 )

En el equilibrio la energía U deberá ser mínima

U θ 1 =0, 1 2 cos( θ 4 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 1 2 ) 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 1 2 ) =0 U θ 2 =0, 1 2 cos( θ 4 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 4 θ 2 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 2 2 ) 1 2 cos( θ 2 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 2 θ 1 2 ) =0 U θ 3 =0, 1 2 cos( θ 4 θ 3 2 ) sin 2 ( θ 4 θ 3 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 2 2 ) 1 2 cos( θ 3 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 3 θ 1 2 ) =0 U θ 4 =0, 1 2 cos( θ 4 θ 3 2 ) sin 2 ( θ 4 θ 3 2 ) 1 2 cos( θ 4 θ 2 2 ) sin 2 ( θ 4 θ 2 2 ) 1 2 cos( θ 4 θ 1 2 ) sin 2 ( θ 4 θ 1 2 ) =0

La solución a este sistema es, θ2-θ1=θ, θ3-θ2=θ, θ4-θ3=θ, θ4-θ2=2θ, θ4-θ1=3θ, θ3-θ1=2θ, θ4-θ2=2θ. Las cuatro ecuaciones se reducen a dos ecuaciones.

cos( 3θ 2 ) sin 2 ( 3θ 2 ) + cos( θ ) sin 2 ( θ ) + cos( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) =0 cos( θ ) sin 2 ( θ ) =0,θ= π 2

En el equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un cuadrado

Sistema de n cargas

En general, en el equilibrio, las cargas se sitúan en los vértices de un polígono regular.

hold on
n=5; %número de cargas
fplot(@(t) cos(t),@(t) sin(t), [0,2*pi]) %circunferencia
for i=0:n-1
   plot(cos(i*2*pi/n),sin(i*2*pi/n),'o','markersize',4,'markeredgecolor',
'r','markerfacecolor','r') 
   line([cos(i*2*pi/n),cos((i+1)*2*pi/n)],[sin(i*2*pi/n),sin((i+1)*2*pi/n)], 
'lineStyle','--')
end
hold off
axis square
axis off

Resultante nula de las fuerzas sobre cada una de las partículas

Supongamos que tenemos n cargas iguales q situadas en los vértices de un polígono regular de n lados. Las partículas cargadas ejercen entre ellas fuerzas de repulsión. La resultante en la posición de equilibrio, tiene dirección radial. Si colocamos una carga Q de signo contrario en el centro del polígono ejercerá una fuerza de atracción sobre las partículas cargadas. En esta apartado, se calcula el valor de Q para que la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas sea nula.

Vamos a estudiar varios ejemplos

Sistema de n=2 cargas

A la izquierda, en la situación de equilibrio, tenemos dos cargas iguales q en los extremos de un diámetro. Las cargas se repelen con una fuerza

F q = 1 4π ε 0 q 2 ( 2R ) 2

Colocamos una carga Q de signo contrario en el centro de la circunferencia, que ejerce fuerzas de atraccción sobre cada una de las dos cargas q

F Q = 1 4π ε 0 qQ R 2

La resultante de las fuerzas sobre cada una de las partículas es nula, cuando ambas fuerzas son iguales Fq=FQ

El resultado es Q=q/4.

Sistema de n=3 cargas

Sistema de n=4 cargas

Sistema de n=5 cargas

Sistema de n=6 cargas

Sistema de n=7 cargas

Sistema de n=8 cargas

Sistema de n cargas

Representamos la carga en el centro Q/q en función del número n de cargas en la circunferencia de radio R

hold on
N=10;
Q=zeros(1,N-1);
Q(1)=1/4;
for n=3:N
    if rem(n,2)==0
       Q(n-1)=(1/2+sum(1./sin(pi*m/n)))/2;
    else
        m=1:(n-1)/2;
       Q(n-1)=sum(1./sin(pi*m/n))/2;  
    end
end
   plot(2:N,Q,'-o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
   xlabel('n')
   ylabel('Q')
   grid on
   title('Carga en el centro del polígono')

Referencias

Norberto Helil Pasqua , Paulo Daniel Emmel. Cancelamento das Forças de Vínculo em Anel Condutor Carregado com nq Cargas por Meio de uma Carga Q de Sinal Contrário Posicionada no Centro.. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol.23, no.2, Junho, 2001. https://www.scielo.br/j/rbef/i/2001.v23n2/