Campo y potencial eléctrico de una distribución continua de carga

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.

El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es

dE= 1 4π ε 0 dq r 2

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X.

d E y =dEcosθ

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x y el elemento de carga dq situado en –x producen campos cuyos módulos son iguales y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

x=R·tanθdx= R cos 2 θ dθr= R cosθ E= d E y = 1 4π ε 0 λdx r 2 cosθ = π/2 π/2 1 4π ε 0 λ Rdθ cos 2 θ ( R cosθ ) 2 cosθ = λ 4π ε 0 R π/2 π/2 cosθdθ= λ 2π ε 0 R

El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha.

Campo eléctrico producido por un anillo cargado

En esta sección se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R, uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande.

Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie.

El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud.

Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría

La carga q dista r del punto P, luego el potencial es

V= 1 4π ε 0 q a 2 + z 2

Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría

El campo producido por el elemento de carga dq en el punto P vale

1 4π ε 0 dq r 2

Por simetría, las componentes de dicho campo perpendiculares al eje de simetría correspondientes a dos elementos de carga diametralmente opuestos se anulan.

El campo total es paralelo al eje Z de simetría y vale

E= 1 4π ε 0 dq r 2 cosα = 1 4π ε 0 q a 2 + z 2 z a 2 + z 2 = 1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2

El campo también se puede obtener a partir del potencial

E= dV dz = 1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2

Disco uniformemente cargado

Consideremos un disco de radio R, uniformemente cargado con una densidad de carga σ C/m2

El potencial producido en P por el anillo cargado de radio a y anchura da, , que contiene una carga dq=σ·2πa·da, es

dV= 1 4π ε 0 dq a 2 + z 2 = σ 2 ε 0 a·da a 2 + z 2

El potencial del disco cargado es

V= σ 2 ε 0 0 R a·da a 2 + z 2 = σ 2 ε 0 ( R 2 + z 2 | z | )

Es el mismo por encima z>0 y por debajo z<0 del disco

Campo eléctrico

El campo dE producido por un anillo de radio a y de anchura daes

dE= 1 4π ε 0 z·dq ( a 2 + z 2 ) 3/2 = 1 4π ε 0 z·σ·2πa·da ( a 2 + z 2 ) 3/2

El campo total producido por el disco cargado es la suma de los campos producidos por todos los anillos que forman el disco.

E= 0 R 1 4π ε 0 z·σ·2πa·da ( a 2 + z 2 ) 3/2 = πz·σ 4π ε 0 0 R 2a·da ( a 2 + z 2 ) 3/2 = σ 2 ε 0 ( 1 z R 2 + z 2 )

Para un plano indefinido cargado R→∞

E= σ 2 ε 0

El mismo resultado se obtiene aplicando la ley de Gauss.

Movimiento de una carga a lo largo del eje de un anillo cargado

Sea un anillo de radio a cargado con carga positiva +q. Situamos una partícula de masa m y carga -Q en la posición z0 y la soltamos. Vamos a determinar el movimiento de la carga

La fuerza sobre la carga -Q es el producto del campo Ez por dicha carga. La segunda ley de Newton se escribe

m d 2 z d t 2 =Q( 1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2 ) d 2 z d t 2 + 1 4π ε 0 Qq m a 3 ( z ( 1+ ( z/a ) 2 ) 3/2 )=0

Cuando la posición inicial z0 de la carga -Q es próxima al origen y el radio a del anillo es grande, se cumple que z<<a o z/a<<1, la ecuación se puede aproximar a

d 2 z d t 2 + 1 4π ε 0 Qq m a 3 z=0

Se trata de la ecuación de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular

ω= 1 4π ε 0 Qq m a 3

La posición de la carga -Q, en función del tiempo t es z=z0cos(ωt), sabiendo que parte del reposo desde la pisción inicial z0

En el caso general, resolvemos la ecuación diferencial empleando el procedimiento numérico ode45 de MATLAB, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=z0 y (dz/dt)0=0 (parte del reposo). Representamos la posición z en función del tiempo t para dos valores iniciales de z0, 0.5·a y 0.1·a. Vemos que el primero describe una oscilación cuyo periodo es mayor que 2π/ω. Para realizar este cálculo, se ha tomado un valor de ω=2π o periodo P=2π/ω=1 s, el radio del anillo a=1

w=2*pi; %frecuencia nagular
a=1; %radio del anillo
hold on
for z0=[0.1,0.5]*a
    fg=@(t,x) [x(2);-w^2*x(1)/(1+(x(1)/a)^2)^(3/2)];
    [t,x]=ode45(fg,[0,3*2*pi/w],[z0,0]);
    plot(t,x(:,1))
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('z');
title('Anillo cargado')