Campo y potencial eléctrico de una distribución continua de carga

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.

El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es

dE= 1 4π ε 0 dq r 2

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X.

d E y =dEcosθ

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x y el elemento de carga dq situado en –x producen campos cuyos módulos son iguales y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

x=R·tanθdx= R cos 2 θ dθr= R cosθ E= d E y = 1 4π ε 0 λdx r 2 cosθ = π/2 π/2 1 4π ε 0 λ Rdθ cos 2 θ ( R cosθ ) 2 cosθ = λ 4π ε 0 R π/2 π/2 cosθdθ= λ 2π ε 0 R

El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha.

Campo eléctrico producido por un anillo cargado

En esta sección se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R, uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande.

Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie.

El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud.

Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría

La carga q dista r del punto P, luego el potencial es

V= 1 4π ε 0 q a 2 + z 2

Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría

El campo producido por el elemento de carga dq en el punto P vale

1 4π ε 0 dq r 2

Por simetría, las componentes de dicho campo perpendiculares al eje de simetría correspondientes a dos elementos de carga diametralmente opuestos se anulan.

El campo total es paralelo al eje Z de simetría y vale

E= 1 4π ε 0 dq r 2 cosα = 1 4π ε 0 q a 2 + z 2 z a 2 + z 2 = 1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2

El campo también se puede obtener a partir del potencial

E= dV dz = 1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2

Disco uniformemente cargado

Consideremos un disco de radio R, uniformemente cargado con una densidad de carga σ C/m2

El campo dE producido por un anillo de radio a y de anchura da, que contiene una carga dq=σ·2πa·da es

dE= 1 4π ε 0 z·dq ( a 2 + z 2 ) 3/2 = 1 4π ε 0 z·σ·2πa·da ( a 2 + z 2 ) 3/2

El campo total producido por el disco cargado es la suma de los campos producidos por todos los anillos que forman el disco.

E= 0 R 1 4π ε 0 z·σ·2πa·da ( a 2 + z 2 ) 3/2 = πz·σ 4π ε 0 0 R 2a·da ( a 2 + z 2 ) 3/2 = σ 2 ε 0 ( 1 z R 2 + z 2 )

Para un plano indefinido cargado R→∞

E= σ 2 ε 0

El mismo resultado se obtiene aplicando la ley de Gauss.

Puntos fuera del eje del anillo

Potencial producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje

Calculamos el potencial en el punto P del plano XZ producido por un elemento diferencial de carga dq=λ·dl, donde λ=q/(2πa) es la densidad lineal de carga en C/m, dl=a·dθ es la longitud de un arco diferencial,

El vector r’= a·cosθi+ a·senθj señala la posición del elemento diferencial de carga

El vector r=xi+zk señala la posición del punto P

El potencial en el punto P vale

V= 1 4π ε 0 λ·dl | rr' |

donde |r-r’| es la distancia entre el elemento diferencial de carga dq y el punto P.

| rr' |= (xacosθ) 2 + a 2 sin 2 θ+ z 2 = x 2 + a 2 + z 2 2axcosθ

La integral se convierte en

λ·a·dθ x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ = 2 4π ε 0 0 π λ·a·dθ x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ = λa 2π ε 0 2ax 0 π dθ bcosθ b= z 2 + x 2 + a 2 2ax

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da la siguiente equivalencia

0 π dθ bcosθ = 2m K(m)K(m)= 0 π/2 dφ 1m sin 2 φ  m= 2 1+b

K(m) es la integral elíptica completa de primera especie

El potencial V en el punto P vale

V= λ 2π ε 0 a 2x 2m K(m)m= 2 1+ z 2 + x 2 + a 2 2ax     

El valor de K(m) se puede consultar en una tabla de integrales elípticas (Puig Adam)

Campo eléctrico producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje

Calculamos el campo eléctrico en el punto P del plano XZ producido por un elemento diferencial de carga dq=λ·dl, donde λ=q/(2πa) es la densidad lineal de carga en C/m, dl=a·dθ es la longitud de un arco diferencial,

El vector r’= a·cosθi+a·sinθj señala la posición del elemento diferencial de carga

El vector r=xi+zk señala la posición del punto P

El campo eléctrico producido por el elemento diferencial de carga dE tiene la dirección y el sentido del vector diferencia r-r’, que une la posición de la carga y el punto P.

dE= 1 4π ε 0 λ·dl | rr' | 2 rr' | rr' | = 1 4π ε 0 λ·dl | rr' | 3 (rr')

Las componentes del campo total son:

E x = λa 4π ε 0 xacosθ ( x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ) 3/2 dθ E y = λa 4π ε 0 asinθ ( x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ) 3/2 dθ E z = λa 4π ε 0 z ( x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ) 3/2 dθ

Por simetría, la componente Y del campo debe anularse, como puede comprobarse fácilmente resolviendo la integral inmediata.

Como cosθ es una función par, hacemos la sustitución 0 2π 2 0 π

El resultado es

E x = 2λa 4π ε 0 0 π xacosθ ( x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ ) 3/2 dθ = λa 2π ε 0 1 ( 2ax ) 3/2 ( x 0 π dθ ( bcosθ ) 3/2 a 0 π cosθ·dθ ( bcosθ ) 3/2 ) E z = 2λa 4π ε 0 0 π z ( x 2 + z 2 + a 2 2axcosθ ) 3/2 dθ= λa 2π ε 0 1 ( 2ax ) 3/2 z 0 π dθ ( bcosθ ) 3/2

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da las siguientes equivalencias

0 π dθ ( bcosθ ) 3/2 = m 22m 2m E( m ) E( m )= 0 π/2 1m sin 2 φ dφ m= 2 1+b 0 π cosθ·dθ ( bcosθ ) 3/2 = 2m K( m ) 2m 22m 2m E( m ) K( m )= 0 π/2 dφ 1m sin 2 φ  

Las expresiones de las componentes del campo son

E x = q 4 π 2 ε 0 1 ( 2ax ) 3/2 ( x m 22m 2m E( m ) +a 2m K( m )a 2m 22m 2m E( m ) ) E z = q 4 π 2 ε 0 1 ( 2ax ) 3/2 z m 22m 2m E( m )m= 4ax x 2 + z 2 + a 2 +2ax

En la figura, se muestra la dirección del campo eléctrico mediante flechas, en el plano XZ, con x>0  y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio del anillo es a=1.0

Caso particular

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, x →0,

m 4ax z 2 + a 2

Las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Comprobamos, Ex→0, fijarse que los dos últimos términos entre paréntesis se cancelan y Ex en el límite, resulta proporcional a x. En cuanto a la componente Z.

E z q 4 π 2 ε 0 1 (2ax) 3/2 z 4ax z 2 + a 2 2 2 4ax z 2 + a 2 π 2  =  1 4π ε 0 qz ( a 2 + z 2 ) 3/2

Resultado que hemos obtenido previamente.

Cálculo con MATLAB

Dados los valores de la abscisa x/a y de la ordenada z/a, calculamos las componentes Ex y Ez del campo eléctrico producido por el anillo cargado de radio a

En MATLAB las integrales elípticas completas de primera K y segunda especie E se obtienen llamando a la función ellipke

m=4*x/(x^2+z^2+1+2*x);
[K,E]=ellipke(m);

Las componentes del campo Ex y Ez se expresan en términos de (x/a) y (z/a) y de las integrales elípticas completas K y E de la siguiente forma

E x = q 4π a 2 ε 0 1 π ( 2(x/a) ) 3/2 ( ( x a ) m 22m 2m E + 2m K 2m 22m 2m E ) E z = q 4π a 2 ε 0 1 π ( 2(x/a) ) 3/2 ( z a ) m 22m 2m Em= 4(x/a) ( x/a ) 2 + ( z/a ) 2 +1+2(x/a)

El campo en un punto del eje Z se expresa en términos de (z/a)

E z = q 4π a 2 ε 0 (z/a) ( 1+ ( z/a ) 2 ) 3/2

x=0.5;  %abscisa x/a
z=0.5; %ordenada z/a
m=4*x/(x^2+z^2+1+2*x);
if(abs(x)<0.01)  %si el punto P está en el eje
     Ex=0.0
     Ez=z/(z^2+1)^(3/2)
else  
   [K,E]=ellipke(m);
   Ex=(x*m*sqrt(2*m)*E/(2-2*m)+sqrt(2*m)*K-(2-m)*sqrt(2*m)*E/(2-2*m))
/(pi*(2*x)^(3/2))
   Ez=(z*m*sqrt(2*m)*E/(2-2*m))/(pi*(2*x)^(3/2))
end
Ex =   -0.0402
Ez =    0.4745

Los valores de Ex y de Ey hay que multiplicarlos pors a la constante q 4π a 2 ε 0

Referencias

Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions. Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.

Zypman F. R., Electric field of a ring of charge. Am. J. Phys. 74 (4) April 2006, pp. 295-300.

Puig Adam P. Curso teórico de cálculo integral aplicado a la Física y a la Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, págs.71-73.