El electroscopio

El electroscopio consta de dos láminas delgadas de oro o aluminio A que están fijas en el extremo de una varilla metálica B que pasa a través de un soporte C de ebonita, ámbar o azufre. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo cargado, las hojas adquieren carga del mismo signo y se repelen siendo su divergencia una medida de la cantidad de carga que han recibido. La fuerza de repulsión electrostática se equilibra con el peso de las hojas.

Si se aplica una diferencia de potencial entre la bola C y la caja del mismo, las hojas también se separan. Se puede calibrar el electroscopio trazando la curva que nos da la diferencia de potencial en función del ángulo de divergencia.

Un modelo simplificado de electroscopio consiste en dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q y del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud d, tal como se indica la figura. A partir de la medida del ángulo θ que forma una bolita con la vertical, se calcula su carga q.

Sobre una bolita actúan tres fuerzas

En el equilibrio

Tsinθ =F
T
cosθ =mg

longitud=0.5;  %longitud del péndulo en metros
m=50; %gramos
k=9.0/(4*longitud*longitud*m*9.8); 
q=1.76;  %micro coulombios
%raíz real de la ecuación cúbica x^3+a*x^2+b*x+c=0
a=0;
b=q^4*k^2;
c=-b;
Q=(a^2-3*b)/9;
R=(2*a^3-9*a*b+27*c)/54;
A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R^2-Q^3),3);
B=Q/A;
x=(A+B)-a/3;
%ángulo en grados
angulo=asin(sqrt(x))*180/pi
angulo =   22.0255

En la figura, se muestra el comportamiento de un electroscopio, para cada carga q en μC tenemos un ángulo de desviación θ en grados, del hilo respecto de la vertical. Si se mide el ángulo θ en el eje vertical obtenemos la carga q en el eje horizontal.

Representamos la función

q= sin 3 θ kcosθ

Cambiamos los ejes de modo que en el eje horizontal ponemos la carga q y en el eje vertical su correspondiente ángulo θ de desviación en grados

longitud=0.5;  %longitud del péndulo en metros
m=50; %gramos
k=9.0/(4*longitud*longitud*m*9.8);
ang=0:pi/360:4*pi/9; %ángulos
x=sqrt(sin(ang).^3./(k*cos(ang))); %cargas 
plot(x,ang*180/pi)
grid on
xlabel('carga (\muC)')
ylabel('ángulo \theta')
title('Electroscopio')

Actividades

El programa interactivo genera aleatoriamente una carga q medida en μC, cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo.

A partir de la medida de su ángulo de desviación θ, en la escala graduada angular, se deberá calcular la carga q de la bolita resolviendo las dos ecuaciones de equilibrio.

Se introduce

Ejemplo:

Sea la masa m=50 g=0.05 kg, la longitud del hilo d=50 cm=0.5 m. Se ha medido el ángulo que hace los hilos con la vertical θ=22º, determinar la carga q de las bolitas.

La separación entre las cargas es x=2·0.5·sin(22º)=0.375 m

La fuerza F de repulsión entre las cargas vale

F=9 10 9 q 2 0.375 2

De las ecuaciones de equilibrio

Tsin22º=F
T
cos22º=0.05·9.8

eliminamos T y despejamos la carga q, se obtiene 1.76·10-6 C ó 1.76 μC.

Repulsión de dos partículas cargadas

Consideremos ahora, que las bolitas, suspendidas cada una de un hilo de longitud L tienen distinta carga q1 y q2, ambas del mismo signo y distinta masa m1 y m2.

Las bolitas se repelen y forman ángulos θ1 y θ2 con la vertical, tal como se indica en la figura.

En la situación de equilibrio, las dos bolitas y el punto O de suspensión forman un triángulo isósceles, cuyo vértice forma un ángulo θ1+θ2 y la línea que une las bolitas forma con cada hilo un ángulo θ3. Como los ángulo interiores de un triángulo suman 180 grados

θ 3 = π 2 θ 1 + θ 2 2

La separación de equilibrio entre las bolitas es 2Lcosθ3

Las fuerzas sobre la bolita izquierda de masa m1 y carga q1 son:

Las fuerzas sobre la bolita derecha de masa m2 y carga q2 son:

No estamos interesados en las tensiones T1 y T2 de los hilos, por lo que proyectamos los pesos y las fuerzas de repulsión a lo largo de las direcciones perpendiculares a cada uno de los hilos, tal como se aprecia en la figura.

La condición de equilibrio en dicha dirección para la bolita izquierda, se escribe

m1gcos(90-θ1)=F·cos(90-θ3)

y de modo análogo, para la bolita derecha

m2gcos(90-θ2)=F·cos(90-θ3)

El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, θ1 y θ2, se escribe

{ m 1 gsin θ 1 = 1 4π ε 0 q 1 q 2 4 L 2 sin 2 ( ( θ 1 + θ 2 ) /2 ) cos θ 1 + θ 2 2 m 2 gsin θ 2 = 1 4π ε 0 q 1 q 2 4 L 2 sin 2 ( ( θ 1 + θ 2 ) /2 ) cos θ 1 + θ 2 2

Definimos los parámetros adimensionales m=m1/m2 y

k= 1 4π ε 0 q 1 q 2 4 L 2 m 1 g

El sistema de dos ecuaciones se reduce a otro más simple

{ sin θ 1 =kcos θ 1 + θ 2 2 sin 2 θ 1 + θ 2 2 sin θ 2 =msin θ 1

m=1.3;
k=0.275;
x0=[pi/6,pi/3];
g=@(x) [sin(x(1))-k*cos((x(2)+x(1))/2)/(sin((x(2)+x(1))/2)^2),
sin(x(2))-m*sin(x(1))];
[x,fval]=fsolve(g,x0);
x*180/pi
ans =   32.8858   44.8987

Los ángulos de equilibrio que forman los hilos con la vertical para los valores de los parámetros adimensionales m=1.3 y k=0.275, son: θ1=32.9° y θ2=44.9°

Estabilidad de la solución

Vamos a comprobar que los ángulos de equilibrio calculados, corresponden a una situación de equilibrio estable, es decir, la energía potencial presenta un mínimo

La energía de este sistema de dos partículas interactuantes es igual a la suma de la energía potencial correspondiente al peso de cada bolita y la energía de interacción eléctrica

Establecemos el origen de la energía potencial gravitatoria en la posición en que se encuentran las bolitas descargadas, L por debajo del vértice O. Cuando una bolita se desplaza θ1 se eleva L(1-cosθ1) y su energía potencial se incrementa en m1gL(1-cosθ1). La energía potencial de la segunda bolita cuando se desplaza θ2, es m2gL(1-cosθ2)

El nivel cero de la energía potencial correspondiente a la interacción eléctrica está en el infinito.

Cuando las cargas están separadas una distancia 2Lcosθ3, la energía potencial total es

U( θ 1 , θ 2 )= m 1 gL( 1cos θ 1 )+ m 2 gL( 1cos θ 2 )+ 1 4π ε 0 q 1 q 2 2Lcos θ 3 u( θ 1 , θ 2 )=m( 1cos θ 1 )+( 1cos θ 2 )+2mk sin 1 ( θ 1 + θ 2 2 )

Con sinθ2=m·sinθ1

m=1.3;
k=0.275;
x0=[pi/6,pi/3];
g=@(x) [sin(x(1))-k*cos((x(2)+x(1))/2)/(sin((x(2)+x(1))/2)^2),
sin(x(2))-m*sin(x(1))];
[x,fval]=fsolve(g,x0);
 
%representa la energía potencial en un intervalo de 10ยบ alrededor del
%mínimo
fi_1=x(1)-pi/18:0.1*pi/180:x(1)+pi/18;
fi_2=asin(m*sin(fi_1));
u=m*(1-cos(fi_1))+(1-cos(fi_2))+2*m*k./sin((fi_1+fi_2)/2);
plot(fi_1*180/pi,u)
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('u(\theta)')
title('Energía potencial')

La energía potencial reducida u(θ1) presenta un mínimo en θ1=32.9° por tanto, se trata de una posición de equilibrio estable

Fijando m=2, trazamos la gráfica θ1 y θ2 según vamos incrementando el parámetro k de 0 a 2, es decir la fuerza de repulsión F o las cargas de las partículas.

m=2;
x0=[pi/6,pi/3];
ang=zeros(2,201);
i=0;
for k=0:0.01:2;
    g=@(x) [sin(x(1))-k*cos((x(2)+x(1))/2)/(sin((x(2)+x(1))/2)^2),
sin(x(2))-m*sin(x(1))];
    [x,fval]=fsolve(g,x0);
    i=i+1;
    ang(1,i)=x(1)*180/pi;
    ang(2,i)=x(2)*180/pi;
end
plot(0:0.01:2,ang(1,:),'r',0:0.01:2,ang(2,:),'b');
grid on
xlabel('f')
ylabel('\theta_1, \theta_2')
title('Angulos de equilibrio')

Como vemos en la gráfica, para m>1 a medida que k crece el ángulo θ2 alcanza los 90°, entonces de la segunda ecuación θ1=asin(1/m). Introducimos este valor en la primera ecuación y despejamos k

{ θ 2 = π 2 sin θ 1 = 1 m sin 2 θ 1 + θ 2 2 sin θ 1 =kcos θ 1 + θ 2 2

Desarrollando, el seno y coseno de la suma de dos ángulos y elevando al cuadrado, despejamos k

k= m+1 m 2m(m1)

Para m=2, el segundo hilo se desvía θ2=90° y el primero, θ1=30° para k=3/4. Al aumentar k, θ1 decrece a cero y θ2 crece hasta el valor de 180° cuando se alcanza un valor máximo de k=2.

Las bolitas tiene la misma masa y carga

Consideremos de nuevo, el caso en el que las bolitas tienen la misma carga q1=q2=q, ambas del mismo signo y la misma masa m1=m2=m.

Entonces, θ1=θ2=θ, θ3=π/2-θ. La condición de equilibrio, se escribe

mgsinθ= 1 4π ε 0 q 2 4 L 2 sin 2 θ cosθ

En términos del parámetro adimensional k

sin 3 θ=k·cosθk= 1 4π ε 0 q 2 4 L 2 mg x 3 + k 2 x k 2 =0x= sin 2 θ

Obtenemos una ecuación cúbica en x=sin2θ

Calculamos y rerpesentamos los ángulos de equilibrio θ a medida que incrementamos el parámetro k, la carga q de las partículas. El ángulo θ tiende hacia 90°

k=0:0.1:10;
%raíz real de la ecuación cúbica x^3+a*x^2+b*x+c=0
a=0;
b=k.^2;
c=-b;
Q=(a^2-3*b)/9;
R=(2*a^3-9*a*b+27*c)/54;
A=-sign(R).*nthroot(abs(R)+sqrt(R.^2-Q.^3),3);
B=Q./A;
ang=asin(sqrt(A+B-a/3));
plot(k,ang*180/pi);
grid on
xlabel('k')
ylabel('\theta')
title('Angulo de equilibrio')

Referencias

Carl E Mungan. Electrostatic repulsion of charged pith balls hanging from strings. Eur. J. Phys. 32 (2011) 207-212.

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017