Atracción entre dos cargas puntuales

Equilibrio

Las cargas de distinto signo se atraen, acercándose a una distancia x. Los hilos forman un ángulo θ con la vertical.

Las fuerzas sobre cada una de las partículas son:

En el equilibrio

Tsinθ= 1 4π ε 0 q 2 x 2 Tcosθ=mg

Dividiendo las dos ecuaciones eliminamos la tensión T del hilo

tanθ= 1 4π ε 0 mg q 2 x 2

El ángulo θ está relacionado con la separación x entre las partículas, véase la primera figura

sinθ= x 0 x 2d

Calculamos la separación de equilibrio x, hallando la raíz de la ecuación

x 0 x 4 d 2 ( x 0 x) 2 = 1 4π ε 0 mg q 2 x 2

Estabilidad

Energía potencial del sistema formado por las dos cargas es la suma de la energía potencial gravitatoria, las cargas se elevan d-d·cosθ, y la energía potencial electrostática, que es negativa por ser la fuerza atractiva.

E p =2mg(ddcosθ) 1 4π ε 0 q 2 x E p =4mgd sin 2 ( θ 2 ) 1 4π ε 0 q 2 x

La posición de equilibrio es estable si la energía potencial es mínima en dicha posición, y es inestable si la energía potencial es máxima.

El signo de la derivada segunda de la energía potencial Ep(x) determina si la posición de equilibrio es estable (si es mayor que cero) o inestable (si es menor que cero).

Aproximaciones

Cuando d>>x0, el ángulo θ es muy pequeño, hacemos las siguientes aproximaciones que simplifican notablemente los cálculos, tanθ≈sinθ≈θ

La ecuación que calcula la separación de equilibrio x se convierte en

x 0 x 2d 1 4π ε 0 mg q 2 x 2

Tenemos que calcular las raíces de una ecuación cúbica

x 3 x 0 x 2 + d q 2 2π ε 0 mg =0

La energía potencial se aproxima a

E p (x)=mg ( x 0 x) 2 4d 1 4π ε 0 q 2 x

A medida que se aumenta la carga q de las partículas, el máximo y el mínimo se acercan, para un cierto valor de la carga qc coinciden en el punto de inflexión

d 2 E p (x) d x 2 = mg 2d 1 2π ε 0 q c 2 x 3 =0          

Despejamos x y lo introducimos en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio

x 3 = q c 2 d π ε 0 mg q c 2 d π ε 0 mg x 0 ( q c 2 d π ε 0 mg ) 2/3 + q c 2 d 2π ε 0 mg =0 q c = 2 x 0 3 2π x 0 ε 0 mg 3d

Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan x=0.

Ejemplo:

Las raíces de la ecuación cúbica

x 3 x 0 x 2 + d q 2 2π ε 0 mg =0

x3-0.2x2+3.276·10-4 =0

cuyas raíces son

x1=-0.0362, x2=0.195, x3=0.0447 m

La primera no es físicamente posible, la segunda corresponde a un mínimo de la energía potencial (posición de equilibrio estable) y la tercera, corresponde a un máximo (posición de equilibrio inestable).

La carga crítica qc y la separación de equilibrio de las cargas es

q c = 2 x 0 3 2π x 0 ε 0 mg 3d =25.4· 10 9 C x= q c 2 d π ε 0 mg 3 =13.3cm

Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan, su separación x=0.

En realidad, las partículas tienen un tamaño y no pueden ocupar la misma posición.

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En la parte derecha, se representa la energía potencial en Ep en función de la separación x entre las partículas. Se señala el máximo y el mínimo, si existen.

Histéresis en un sistema electromecánico

El comportamiento del sistema físico que aquí se estudia está descrito por la separación x entre los centros de las cargas. El parámetro que cambia es la carga q de cada una de las esferas. En ciertos casos, cuando se alcanzan valores críticos de la carga q, el comportamiento del sistema experimenta un salto. Por otra parte, el comportamiento del sistema no es el mismo cuando se incrementa la carga que cuando se disminuye.

En este apartado, se describe una situación más realista que se produce cuando las cargas no son puntuales sino que tienen un tamaño finito. Para evitar los problemas derivados de la polarización de la carga de una esfera metálica en el campo de la otra, o de la descarga de las esferas en el momento en que entran en contacto. Supondremos que  las cargas puntuales están el centro de dos esferas aislantes rígidas de radio r.

La diferencia por tanto, entre las cargas puntales y las esferas de radio r estriba en que la separación mínima entre cargas puntuales es cero, mientras que la separación mínima entre esferas rígidas de radio r es 2r.

En la figura inferior, se muestra:

Vamos a incrementar la carga de las esferas desde q=0 y a observar la separación x entre las mismas. El comportamiento del sistema sigue el camino ABCDEA, con dos cambios bruscos BC y DE. Como vemos, el camino de ida AB cuando la carga se incrementa de 0 a qc no coincide con el de vuelta BCDEA cuando la carga disminuye de qc a 0. A continuación, se explica las distintas etapas:

Etapa AB

Cuando la carga q se incrementa de 0 a qc la separación va disminuyendo desde x0 a xc dados por las expresiones.

q c = 2 x 0 3 2π x 0 ε 0 mg 3d x c = q c 2 d π ε 0 mg 3

El comportamiento del sistema viene descrito por la curva de color azul AB de la figura, que corresponde a las posiciones de equilibrio estable.

Etapa BC

Cuando la carga q supera el valor crítico qc se produce un cambio brusco BC, la separación entre las cargas puntuales sería cero, pero si son esferas rígidas de radio r la separación será x=2r.

Etapa CD

Si se disminuye la carga q, la separación de las esferas seguirá siendo x=2r ya que la energía potencial de esta configuración es la mínima posible, tal como se muestra en la figura

o es inferior al máximo adyacente, tal como se muestra más abajo. Como vemos, hay un máximo interpuesto que impide que la esfera alcance una posición de menor energía, en el mínimo de la parte derecha de la curva.

El comportamiento del sistema está descrito por la recta DE

El punto D corresponde a la carga ql para la cual la energía potencial alcanza un valor máximo cuando la separación entre cargas es x=2r. Ponemos x=2r en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio y despejamos q

x 3 x 0 x 2 + d q 2 2π ε 0 mg =0 q l =r 4π ε 0 mg d (2 x 0 4r)

Etapa DE

Si q<ql se produce otro cambio brusco DE, la separación aumenta al valor correspondiente a la posición de equilibrio estable de ql.

Como una de las raíces de la ecuación cúbica es 2r buscamos las otras dos raíces a y b

(x2r)(xa)(xb)= x 3 x 0 x 2 + d q l 2 2π ε 0 mg x 3 (a+b+2r) x 2 +(ab+2ra+2rb)x2rab= x 3 x 0 x 2 +2 r 2 (2 x 0 4r) a+b= x 0 2r ab=2r( x 0 2r)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b

b2-(x0-2r)b-2r(x0-2r)=0

La raíz positiva la llamamos xl

x l = x 0 2r+ ( x 0 2r)( x 0 +6r) 2

Etapa EA

Una vez que el sistema alcanza el punto E, retorna al punto de partida A a través de la porción de curva azul EA que corresponde a posiciones de equilibrio estable.

Ejemplo:

El primer cambio brusco ocurre en el punto B, que corresponde a la carga crítica qc y a la separación crítica xc calculada en el apartado Aproximaciones

qc=25.4·10-9 C, xc=13.3 cm

El segundo cambio brusco ocurre desde el punto D al punto E

El punto D corresponde a una separación 2r=0.04 m, y la carga ql de las esferas es

q l =r 4π ε 0 mg d (2 x 0 4r) =11.8· 10 9 C

El punto E corresponde a la posición de equilibrio estable de las esferas cargadas con una carga ql

x l = x 0 2r+ ( x 0 2r)( x 0 +6r) 2 =19.3cm

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Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, cuando la carga de aumenta y cuando disminuye. Los dos cambios bruscos de comportamiento que ocurren cuando q=qc en el camino de ida y cuando x=2r en el camino de vuelta.

Activamos la casilla titulada Potencial

Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, en relación a la curva de energía potencial para cada carga q. El sistema adopta la configuración de energía potencial mínima, compatible con que la separación mínima posible es 2r.

Referencias

Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91