Presión electrostática

Campo eléctrico producido por todas las cargas del conductor

En las páginas anteriores hemos estudiado los conductores:

E interior =0 E exterior = σ ε 0 k ^

Campo eléctrico producido por las cargas contenidas en un elemento dA

En la figura, se muestra una porción de la superficie de un conductor cargado con σ C/m2, en dicha superficie tomamos un elemento de área dA alrededor de un punto P. Aplicando la ley de Gauss vamos a calcular el campo producido por la carga dq=σ·dA que contiene este elemento diferencial de área.

Consideremos la superficie cerrada en forma de paralepípedo de la figura de la derecha. La dirección del campo eléctrico es perpendicular a la superficie que contiene la carga dA. Por la superficie lateral del paralepípedo no hay flujo, ya que el vector campo eléctrico y el vector superficie son perpendiculares. El flujo del campo eléctrico a través de una de las bases es E·dA=E·dA·cos0=E·dA.

El flujo total del campo eléctrico producido por la carga dq=σ·dA a través de la superficie del paralepípedo es 2E·dA. Aplicando la ley de Gauss

E · dS = q ε 0 2E·dA= σ·dA ε 0 E= σ 2 ε 0

El elemento de carga dq=σ·dA produce la mitad del campo total en el punto P, en las proximidades de la superficie del conductor, en el interior y en el exterior, tal como se muestra en la figura

E interior = σ 2 ε 0 k ^ E exterior = σ 2 ε 0 k ^

Campo eléctrico producido por las restantes cargas del conductor

Vamos a calcular el campo producido por las restantes cargas del conductor, sabiendo el campo producido por todas las cargas del conductor

Si el elemento de carga dq=σ·dA produce la mitad del campo total en el exterior, el resto de las cargas del conductor producirán en la posición que ocupa dicho elemento dA la otra mitad σ/ε0.

E interior = σ 2 ε 0 k ^ E exterior = σ 2 ε 0 k ^

El campo eléctrico producido por las restantes cargas del conductor en el punto P de la superficie del conductor tiene un único valor σ/(2ε0)

La fuerza dF que ejerce este campo sobre la carga dq contenida en el elemento de área dA vendrá dada por el producto

dF= σ 2 ε 0 σ·dA

La fuerza por unidad de área, denominada presión electrostática es

dF dA = σ 2 2 ε 0

Campo producido por una esfera conductora

Consideremos una esfera conductora de radio R, con una carga q uniformemente distribuida en su superficie con densidad σ=q/(4πR2). Calculamos el campo producido por esta distribución de carga en el punto P

Por simetría el campo eléctrico tiene dirección radial y en el punto P, su dirección será a lo largo del eje Z de la esfera

Calculamos el campo eléctrico producido por la porción de carga dq contenida en la banda de radio Rsinθ y anchura R·dθ señalada en color rojo y a continuación, su proyección sobre el eje Z.

El área de esta banda es 2πRsinθ(R·dθ). El modulo del campo que produce en P es

dE= 1 4π ε 0 2πσ R 2 sinθ·dθ ( RRcos ) 2 + ( Rsinθ ) 2

Su proyección sobre el eje Z es, dEz=dE·sinφ

Establecemos la relación entre los ángulo θ y φ

tanφ= RRcosθ Rsinθ =tan θ 2 φ= θ 2

La proyección del campo dE a lo largo del eje Z es

d E z = σ 4 ε 0 cos θ 2 dθ

El campo producido por la carga de la esfera conductora en el punto P es la suma de todas las componentes Z

E P = σ 4 ε 0 0 π cos θ 2 dθ = σ 2 ε 0 0 π ( cos θ 2 )d θ 2 = σ 2 ε 0

Que es el resultado que obtuvimos anteriormente, para un conductor de forma cualesquiera

Fuerza de atracción entre las placas de un condensador

Consideremos un condensador plano-paralelo, formado por dos placas de área S y separadas d, cargadas con cargas iguales y opuestas σS. Las placas se atraen con una fuerza Fe, para mantenerlas separadas, tendremos que aplicar dos fuerzas iguales y opuestas Fm a cada una de las placas tal como se muestra en la figura.

La energía del condensador cargado es

U= 1 2 q 2 C =( σ 2 2 ε 0 )( Sd )

Supongamos que las placas están aisladas, de forma que la carga no cambia, mantenemos fija la placa izquierda en el origen y desplazamos la otra placa una distancia dx, realizando un trabajo Fm·dx. El campo eléctrico no cambia (es constante entre las placas del condensador), el volumen del condensador cambia S·dx y también la energía dU.

dU=( σ 2 2 ε 0 )( Sdx )= F m dx F m = σ 2 2 ε 0 S

De nuevo encontramos la expresión de la fuerza por unidad de área

Referencias

Paul Lorrain, Dale R. Corson. Campos y ondas electromagnéticos. Selecciones Científicas. 1972. págs. 83-86