El potencial en P producido por la carga dq situada en el punto (x,y) de la placa es

${\displaystyle dV=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sigma dx·dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}$

Donde σ es la densidad de carga constante en C/m²

El potencial en el punto P producido por la placa rectangular es

${\displaystyle V(z)=\frac{\sigma }{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\frac{dx·dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}}}$

Cálculo del potencial V(z)

Integramos primero respecto de y, calculamos la integral

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}}$

que es una función de x.

Esta integral es inmediata del tipo,

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)}$

En nuestro caso, x es y y a²=x²+z²

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{y^2+\left(x^2+z^2\right)}}}={\ln \left(y+\sqrt{y^2+x^2+z^2}\right)|}_{-b}^b=\ln \left(\frac{\sqrt{b^2+x^2+z^2}+b}{\sqrt{b^2+x^2+z^2}-b}\right)}$

Ahora queda resolver la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}V(z)=\frac{\sigma }{4\pi {\epsilon }_0}{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\ln \left(\frac{\sqrt{b^2+x^2+z^2}+b}{\sqrt{b^2+x^2+z^2}-b}\right)dx}=\\ \frac{\sigma }{4\pi {\epsilon }_0}\left\{{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\ln \left(\sqrt{b^2+x^2+z^2}+b\right)dx-{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\ln \left(\sqrt{b^2+x^2+z^2}-b\right)dx}}\right\}\end{array}}$

Hay que seguir los pasos

• Integramos por partes cada una de las dos integrales

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \ln \left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)dx\{\begin{array}{l}u=\ln \left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right),du=\frac{x·dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)}\\ dv=dx,v=x\end{array}}\\ =x\ln \left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)-{\displaystyle \int \frac{x^2·dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)}}\end{array}}$

Del mismo modo, se calcula la segunda integral

${\displaystyle {\displaystyle \int \ln \left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}-b\right)dx=x\ln \left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}-b\right)-{\displaystyle \int \frac{x^2·dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}-b\right)}}}}$

Los límites de la integral son -a y a. El potencial es

${\displaystyle V(z)=\frac{\sigma }{4\pi {\epsilon }_0}\left\{2a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)-{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2·dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)}+{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2·dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}-b\right)}}}\right\}}$

• Descomponemos las fracciones integrando en suma de dos fracciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}+b\right)}=\frac{x^2}{x^2+z^2}-b\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}\\ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}\left(\sqrt{x^2+b^2+z^2}-b\right)}=\frac{x^2}{x^2+z^2}+b\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}\end{array}}$

El potencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}V(z)=\frac{\sigma }{4\pi {\epsilon }_0}\left\{2a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)-{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{x^2+z^2}dx+b}{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{x^2+z^2}dx+b}{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}\right\}=\\ =\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)+b{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}\right\}\end{array}}$

• Descomponemos la fracción integrando en suma de dos fracciones

${\displaystyle \frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}}-\frac{z^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}$

• La integral de la primera fracción es inmediata

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+b^2+z^2}\right)}$

• La integral de la segunda fracción es más laboriosa

${\displaystyle z^2{\displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}}$

Hacemos el cambio de variable,

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\sqrt{b^2+z^2}\tan t\\ dx=\sqrt{b^2+z^2}\frac{dt}{{\cos }^{2}t}\end{array}}$

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

${\displaystyle 1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}}$

Llegamos a la expresión

${\displaystyle z^2{\displaystyle \int \frac{\cos t·dt}{z^2+b^2{\sin }^{2}t}}}$

Hacemos un nuevo cambio de variable, u=sint, du=cost·dt

${\displaystyle z^2{\displaystyle \int \frac{du}{z^2+b^2{u}^2}}=\frac{z^2}{b^2}{\displaystyle \int \frac{du}{u^2+\frac{z^2}{b^2}}}}$

que es de nuevo, una integral inmediata, del tipo

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)}$

El resultado es

${\displaystyle z^2{\displaystyle \int \frac{du}{z^2+b^2{u}^2}}=\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{bu}{z}\right)}$

Deshacemos los cambios

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}^2{\displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}=\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}u\right)=\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}\sin t\right)=\\ \frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}\sin \left(\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{b^2+z^2}}\right)\right)\right)\end{array}}$

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}\\ \arctan x=\theta ,\tan \theta =x\\ \sin \left(\arctan x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\end{array}}$

Obtenemos el resultado

${\displaystyle z^2{\displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}=\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}}\right)}$

La integral buscada es la diferencia de dos términos

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}dx}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+b^2+z^2}\right)-\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}}\right)}$

Los límites de integración son -a y a

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}dx}={\ln \left(x+\sqrt{x^2+b^2+z^2}\right)-\frac{z}{b}\arctan \left(\frac{b}{z}\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2+z^2}}\right)|}_{-a}^a=\\ \ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+a}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-a}\right)-\frac{2z}{b}\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)\end{array}}$

El resultado final para el potencial V(z) es

${\displaystyle \begin{array}{l}V(z)=\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)+b{\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{x^2}{\left(x^2+z^2\right)\sqrt{x^2+b^2+z^2}}}\right\}=\\ \frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)+b\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+a}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-a}\right)-2z\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)\right\}\end{array}}$

Representamos el potencial V(z) en unidades σ/(2πε₀), que será simétrico respecto del plano XY que contiene la placa cargada

a=5; %dimensiones de la placa cargada, 2ax2b
b=10;
V=@(z) a*log((sqrt(a^2+b^2+z.^2)+b)./(sqrt(a^2+b^2+z.^2)-b))
+b*log((sqrt(a^2+b^2+z.^2)+a)./(sqrt(a^2+b^2+z.^2)-a))-
2*z.*atan(a*b./(z.*sqrt(a^2+b^2+z.^2)));
fplot(V,[-2,2])
xlabel('z')
ylabel('V(z)')
grid on
title('Potencial V(z)')

Cuando z→0, el potencial V(z) es lineal, lo que indica que en las proximidades de la placa rectangular cargada el campo es aproximadamente constante. Para comprobarlo, se puede utilizar la herramienta Tools/Zoom in alrededor del máximo, z=0

Campo eléctrico en un punto del eje Z

Dado el potencial V(z) calculamos el campo eléctrico E(z) producido por la placa rectangular cargada en un punto del eje Z

${\displaystyle E(z)=-\frac{dV}{dz}}$

Derivamos respecto de z y cambiamos de signo

${\displaystyle \begin{array}{l}E(z)=-\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{a\frac{\frac{z}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}-a\frac{\frac{z}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}+b\frac{\frac{z}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+a}-b\frac{\frac{z}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-a}-2\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)-2z\frac{ab\frac{-\sqrt{a^2+b^2+z^2}-\frac{z^2}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}}{z^2\left(a^2+b^2+z^2\right)}}{1+{\left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)}^2}\right\}=\\ -\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\left\{\frac{z}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\left(\frac{-2ab}{a^2+z^2}+\frac{-2ab}{b^2+z^2}\right)-2\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)+2\frac{abz}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\frac{a^2+b^2+2z^2}{\left(a^2+z^2\right)\left(b^2+z^2\right)}\right\}=\\ \frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\left\{\frac{abz}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\left(\frac{1}{a^2+z^2}+\frac{1}{b^2+z^2}\right)+\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)-\frac{abz}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\frac{a^2+b^2+2z^2}{\left(a^2+z^2\right)\left(b^2+z^2\right)}\right\}\end{array}}$

El resultado final es

${\displaystyle E(z)=\frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)}$

Por simetría los campos eléctricos para z>0 y para z<0 son iguales y de sentido contrario. Representamos E(z) en unidades σ/(πε₀) para z>0

a=5;  %dimensiones de la placa cargada, 2ax2b
b=10;
E=@(z) atan(a*b./(z.*sqrt(a^2+b^2+z.^2)));
fplot(E,[0,20])
xlabel('z')
ylabel('E(z)')
grid on
title('Campo E(z)')

Cuando z→0 el argumento del arco tangente es grande y por tanto, tiende hacia π/2. El campo E(z) tiende a

${\displaystyle E\left(z\to 0\right)=\frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\frac{\pi }{2}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}}$

que es el campo producido por un plano indefinido cargado, que se ha calculado aplicando la ley de Gauss.

Casos particulares

• Placa cuadrada

Para una placa cuadrada de lado b=a, el potencial V(z) en un punto z del eje Z es

${\displaystyle V(z)=\frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{2a^2+z^2}+a}{\sqrt{2a^2+z^2}-a}\right)-z\arctan \left(\frac{a^2}{z\sqrt{2a^2+z^2}}\right)\right\}}$

El campo eléctrico E(z) en un punto z del eje Z

${\displaystyle E(z)=\frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\arctan \left(\frac{a^2}{z\sqrt{2a^2+z^2}}\right)}$

Cuando z<<a es mucho menor que a

${\displaystyle \begin{array}{l}V(z)\approx \frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)-z\arctan \left(\frac{a}{z\sqrt{2}}\right)\right\}\approx \frac{\sigma }{\pi {\epsilon }_0}\left\{2a\ln \left(\sqrt{2}+1\right)-z\frac{\pi }{2}\right\}\\ E(z)=-\frac{dV}{dz}\approx \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\end{array}}$

• Varilla cargada:, cuando a→0 y b≠0

Sabiendo que la densidad de carga σ=q/(2a·2b), área de la placa rectangular y q es la carga de la placa. Escribimos el potencial V(z) de la siguiente forma

${\displaystyle V(z)=\frac{q}{2a·2b}\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\left\{a\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+b}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-b}\right)+b\ln \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2+z^2}+a}{\sqrt{a^2+b^2+z^2}-a}\right)-2z\arctan \left(\frac{ab}{z\sqrt{a^2+b^2+z^2}}\right)\right\}}$

Para una varilla cargada de longitud 2b, a→0

${\displaystyle V\left(a\to 0\right)=\frac{q}{2b}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{\sqrt{b^2+z^2}+b}{\sqrt{b^2+z^2}-b}\right)=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\ln \left(\frac{\sqrt{b^2+z^2}+b}{\sqrt{b^2+z^2}-b}\right)}$

Donde λ es la densidad lineal de carga en C/m

El campo eléctrico

${\displaystyle E(z)=-\frac{dV}{dz}=-\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\left\{\frac{\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}}{\sqrt{b^2+z^2}+b}-\frac{\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}}{\sqrt{b^2+z^2}-b}\right\}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{b}{z\sqrt{b^2+z^2}}}$

Resultados que ya hemos obtenido por cálculo directo

Cuando la varilla se hace muy larga, b→∞, expresamos el campo de la forma

${\displaystyle \begin{array}{l}E(z)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{z\sqrt{1+\frac{z^2}{b^2}}}\\ E\left(b\to \infty \right)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{z}\end{array}}$

Resultado que hemos obtenido por cálculo directo

Referencias

Daniel Almeida Fagundes. Electrostatic potential of a rectangular uniformly charged plate: exact solution and limiting cases.. Eur. J. Phys. 43 (2022) 015203