Sea un objeto de masa m parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρ_f. La superficie del fluido se deforma estableciéndose una línea de contacto entre el cuerpo y el líquido a una profundidad h por debajo de la superficie libre sin deformar. La recta tangente a la superficie del fluido en los puntos de contacto hace un ángulo α con la vertical

Hay dos fuerzas que se oponen al peso del objeto:

• La componente vertical de la fuerza que ejerce la presión hidrostática p sobre la superficie mojada del cuerpo.
• La componente vertical de la fuerza que ejerce la tensión superficial a lo largo de la línea de contacto líquido-aire. La fuerza es el producto de la tensión superficial γ por la longitud de la línea de contacto líquido-cuerpo

De acuerdo con Keller

1. La componente vertical de la fuerza debida a la presión es equivalente al peso del líquido desplazado por la porción del cuerpo sumergido y la porción de altura h delimitada por un contorno rojo por encima de la línea de contacto. El volumen desplazado corresponde al sombreado de color rosa de la figura

2. La componente vertical de la fuerza debido a la tensión superficial es igual al volumen sombreado de color amarillo (menisco).

La tensión superficial contribuye a la flotación de un cuerpo siempre que su longitud característica R sea mucho menor que la longitud capilar l_c definida

${\displaystyle l_c=\sqrt{\frac{\gamma }{{\rho }_{f}g}}}$

donde γ es la tensión superficial, ρ_f es la densidad del líquido y g=9.8 m/s² la aceleración de la gravedad.

Alternativamente, la tensión superfical juega un papel relevante, siempre que el número adimensional de Bond, Bo sea pequeño

${\displaystyle \text{Bo}=\frac{{\rho }_{f}g{R}^2}{\gamma }={\left(\frac{R}{l_c}\right)}^2}$

Equilibrio de una porción de fluido

Consideremos la porción de fluido ACDA de espesor Δx que rodea al cuerpo parcialmente sumergido de altura h.

Las fuerzas sobre dicha porción de fluido son

• El peso del fluido, m_fg

• La fuerza que ejerce la tensión superficial en el punto de contacto C, γΔx que hace un ángulo α con la vertical. Esta fuerza es igual y de sentido contrario a la que ejerce el fluido sobre el cuerpo

• La fuerza que ejerce la tensión superficial del resto del fluido sobre dicha porción en en el punto A, γΔx. Supondremos que A estará suficientemente alejado del cuerpo, para que la superficie libre del fluido en A sea casi horizontal

• La fuerza vertical que ejerce la presión hidrostática p_DC en la cara inferior DC (no interesa)

• La fuerza horizontal que ejerce la presión hidrostática p_AB en la cara AD de área h·Δx. Como vemos a la derecha de la figura, esta presión se incrementa linealmente con la profundidad, un ejemplo que hemos estudiado en la página titulada Ecuación fundamental de la estática de fluidos en el apartado 'Fuerza sobre el muro de un embalse'. La fuerza es

${\displaystyle {\rho }_{f}g\frac{h^2}{2}\Delta x}$

La resultante de las fuerzas debidas a la presión está aplicada a la profundidad 2h/3

Equilibrio en la dirección horizontal

${\displaystyle \begin{array}{l}\gamma \sin \alpha ·\Delta x+{\rho }_{f}g\frac{h^2}{2}\Delta x-\gamma \Delta x=0\\ h=\sqrt{\frac{2\gamma \left(1-\sin \alpha \right)}{{\rho }_{f}g}}=l_c\sqrt{2\left(1-\sin \alpha \right)}\end{array}}$

De esta manera relacionamos dos magnitudes importantes h y el ángulo α

Angulo de contacto

El ángulo de contacto θ_c entre una superficie sólida plana y la superficie del líquido se muestra a la izquierda en la figura. Es el ángulo entre dicho plano y la recta tangente a la superficie del líquido en el punto de contacto

A la derecha de la figura, se traza la tangente a la superficie del sólido parcialmente sumergido en el punto de contacto (sólido-líquido). Se traza la tangente a la superficie del líquido en dicho punto (hace un ángulo α con la vertical). El ángulo de contacto θ_c entre las dos rectas se muestra en la figura

La relación entre águlos θ_c, α y φ es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_c-\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\phi =\pi \\ {\theta }_c+\alpha +\phi =\frac{3\pi }{2}\end{array}}$

Ejemplos sencillos

Un clindro de madera de pequeñas dimensiones flota en agua

• Densidad de la madera, ρ_s=510 kg/m³
• Densidad del agua a 20 °C, ρ_f=998 kg/m³
• Tensión superficial del agua, γ=0.0728 N/m
• Radio del cilindro, R 9 mm
• Altura del cilindro, L=10 mm

1. Utilizando solamente el principio de Arquímedes y despreciando el efecto de la tensión superficial



El peso es igual al empuje

${\displaystyle \begin{array}{l}{\rho }_s\pi R^{2}L={\rho }_f\pi R^{2}h\\ h=\frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}L\\ h=\frac{510}{998}10=5.1\text{mm}\end{array}}$

2. Incluimos los efectos de la tensión superficial, sabiendo que el ángulo de contacto es θ_c

La fuerza que ejerce la tensión superficial es T=γ·2πR. En el equilibrio



${\displaystyle \begin{array}{l}mg+T\cos {\theta }_c=E\\ {\rho }_s\pi R^{2}Lg+2\pi R\gamma \cos {\theta }_c={\rho }_f\pi R^{2}hg\\ h=\frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}L+\frac{2\gamma \cos {\theta }_c}{{\rho }_{f}Rg}\end{array}}$

 

• El ángulo de contacto es θ_c=0°

${\displaystyle h=\frac{510}{998}0.01+\frac{2·0.0728\cos 0}{998·0.009·9.8}=\text{ 0}\text{.0068}\text{m}=6.8\text{mm}}$

La longitud capilar

${\displaystyle l_c=\sqrt{\frac{0.0728}{998·9.8}}=0.0027\text{m}=2.7\text{mm}}$

Que es de la mismo orden de magnitud que el radio R=9 mm, por lo que la tensión superficial juega un papel relevante. Comprobamos que el número de Bond es pequeño

${\displaystyle \text{Bo}={\left(\frac{R}{l_c}\right)}^2={\left(\frac{9}{2.7}\right)}^2=11}$

• Se recubre la madera con una capa de pintura repelente al agua, el ángulo de contacto cambia a θ_c=165°



${\displaystyle \begin{array}{l}mg-T\cos \left(180-{\theta }_c\right)=E\\ {\rho }_s\pi R^{2}Lg+2\pi R\gamma \cos {\theta }_c={\rho }_f\pi R^{2}hg\\ h=\frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}L+\frac{2\gamma \cos {\theta }_c}{{\rho }_{f}Rg}\\ h=\frac{510}{998}0.01+\frac{2·0.0728\cos 165}{998·0.009·9.8}\\ h=\text{ 0}\text{.0035}\text{m}=3.5\text{mm}\end{array}}$

Flotación de un largo cilindro

El área sombreada de color gris vale

${\displaystyle \underset{y_0}{\overset{r}{{\displaystyle \int }}}2xdy=2\underset{y_0}{\overset{r}{{\displaystyle \int }}}\sqrt{r^2-y^2}dy}$

Haciendo el cambio de variable

${\displaystyle y=r\sin \theta ,dy=r\cos \theta ·d\theta }$

Se obtiene

${\displaystyle 2r^2\underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}{\cos }^2\theta ·d\theta =2r^2\underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{{\displaystyle \int }}}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta =r^2\left({\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}|}_{{\theta }_0}^{\pi /2}\right)=\frac{r^2}{2}\left(\pi -2{\theta }_0-\sin 2{\theta }_0\right)}$

Fuerzas sobre el cilindro

Consideremos un cilindro de radio r y densidad ρ_s de longitud infinita flotando en la superficie de un fluido de densidad ρ_f. La geometría plana nos facilita los cálculos

El área S₁ sombreada de color rosa en la figura es

${\displaystyle \begin{array}{l}{S}_1=\frac{r^2}{2}\left(\pi -2\left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)-\sin \left(2\left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)\right)\right)+2r\sin \phi ·h\\ S_1=r^2\phi -r^2\sin \phi \cos \phi +2rh\sin \phi \end{array}}$

La fuerza de empuje es proporcional a S₁

${\displaystyle F_B={\rho }_{f}g{S}_1={\rho }_{f}g\left(r^2\phi -r^2\sin \phi ·\cos \phi +2hr\sin \phi \right)}$

La componente vertical de la fuerza que ejerce la tensión superficial es proporcional a

${\displaystyle F_S=2\gamma \cos \alpha }$

El peso del cilindro se equilibra con la fuerza de empuje F_B y la componente vertical de la fuerza que ejerce la tensión superficial F_S

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_B+F_S={\rho }_s\pi r^{2}g\\ {\rho }_{f}g{r}^2\left(\phi -\sin \phi ·\cos \phi +2\frac{h}{r}\sin \phi \right)+2\gamma \cos \alpha ={\rho }_s\pi r^{2}g\end{array}}$

Definiendo magnitudes adimensionales

${\displaystyle \begin{array}{l}R=\frac{r}{l_c},H=\frac{h}{l_c},l_c=\sqrt{\frac{\gamma }{{\rho }_{f}g}}\\ \pi \frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}=\phi -\sin \phi ·\cos \phi +2\frac{H}{R}\sin \phi +\frac{2}{R^2}\cos \alpha \\ \{\begin{array}{l}{\theta }_c+\alpha +\phi =\frac{3\pi }{2}\\ H=\sqrt{2\left(1-\sin \alpha \right)}\end{array}\end{array}}$

La densidad relativa ρ_s/ρ_f es una función del ángulo α

Sea R=0.5 y el ángulo de contacto θ_c=2π/3

R=0.5; % radio adimensional
th_c=2*pi/3; %ángulo de contacto
H=@(x) sqrt(2*(1-sin(x)));
phi=@(x) 3*pi/2-th_c-x; %x es el ángulo alfa
f=@(x) (phi(x)-sin(phi(x)).*cos(phi(x))+2*H(x).*sin(phi(x))/R+2*cos(x)/R^2)/pi;
fplot(f,[0,pi/2])
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\alpha')
ylim([0,5])
ylabel('\rho_s/\rho_f')
title('Densidad')

La densidad relativa ρ_s/ρ_f presenta un máximo para un cierto valor del ángulo α. Por encima de este valor máximo, el cilindro no puede mantenerse en equilibrio y por tanto, se hundirá

Perfil

En la figura, se muestra el perfil y=y(x) de la superficie de agua que rodea el cilindro

De la ecuación de Young-Laplace

${\displaystyle -\rho gy=\frac{\gamma }{R_c},R_c=\frac{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}}$

Donde R_c es el radio de curvatura que es negativo para esta función, cuya pendiente disminuye con x. Una función similar es y=-e^-x, la derivada primera, dy/dx=e^-x>0, la derivada segunda, d²y/dx²=-e^-x<0

Tenemos una situación análoga a la estudiada en la página titulada Soluciones simples de la ecuación de Young-Laplace

${\displaystyle l_c^{2}y=\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}}$

Multiplicamos ambos miembros por dy/dx e integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}{l}_c^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{dy}{dx}}{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\\ l_c^{2}y·dy=\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{dy}{dx}}{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}dx\\ {\displaystyle \int l_c^{2}y·dy=}\frac{1}{2}{l}_c^2{y}^2\\ {\displaystyle \int \frac{u}{{\left(1+u^2\right)}^{3/2}}}·du=-\frac{1}{\sqrt{1+u^2}},u(x)=\frac{dy}{dx},du=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}dx\\ \frac{1}{2}{l}_c^2{y}^2=-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}+c\end{array}}$

Las condiciones de contorno son: cuando x→∞, y→0, dy/dx→0. El resultado es c=1

Por otra parte, en la posición

${\displaystyle x=r\sin \phi ,y=h,\frac{dy}{dx}=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha }$

Estableceremos la relación entre h y el ángulo α que ya habíamos obtenido, al principio de la página, a partir del equilibrio horizontal de dicha porción de líquido

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}{l}_c^2{h}^2=1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2}}\\ \frac{1}{2}{l}_c^2{h}^2=1-\sin \alpha \\ h=l_c\sqrt{2\left(1-\sin \alpha \right)}\end{array}}$

En términos de magnitudes adimensionales

${\displaystyle H=\frac{h}{l_c}=\sqrt{2\left(1-\sin \alpha \right)}}$

Expresamos la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{1}{2}{l}_c^2{y}^2=1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}}$

en términos de magnitudes adimensionales X=x/l_c e Y=y/l_c. Despejamos dY/dX e integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}{Y}^2=1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dY}{dX}\right)}^2}}\\ \frac{dY}{dX}=\frac{Y\sqrt{4-Y^2}}{2-Y^2}\\ {\displaystyle \int \frac{2-Y^2}{Y\sqrt{4-Y^2}}dY={\displaystyle \int dX}}+C\end{array}}$

Para la primera integral hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}Y=2\sin t,dY=2\cos t·dt\\ {\displaystyle \int \frac{2-4{\sin }^{2}t}{2\sin t\sqrt{4-4{\sin }^{2}t}}2\cos t·dt=}{\displaystyle \int \frac{dt}{\sin t}}-2{\displaystyle \int \sin t·dt}=\ln \left(\tan \frac{t}{2}\right)+2\cos t\end{array}}$

La primera integral, está resuelta en la página titulada Integrales. La segunda es inmediata

>> syms x;
>> int(1/sin(x))
ans =log(tan(x/2))

Para expresar los resultados de la primera integral en términos de Y, relacionamos tan(t) y tan(t/2)

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan t=\frac{2\tan \frac{t}{2}}{1-{\tan }^2\frac{t}{2}}\\ \tan t·{\tan }^2\frac{t}{2}+2\tan \frac{t}{2}-\tan t=0\\ \tan \frac{t}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{4+4{\tan }^{2}t}}{2\tan t}=\frac{-1\pm \frac{1}{\cos t}}{\tan t}=\frac{-\cos t\pm 1}{\sin t}=\frac{-\sqrt{1-{\sin }^{2}t}\pm 1}{\sin t}\\ \tan \frac{t}{2}=\frac{-\sqrt{1-\frac{Y^2}{4}}\pm 1}{\frac{Y}{2}}=\frac{-\sqrt{4-Y^2}\pm 2}{Y}\end{array}}$

Como Y es negativo descartamos la solución positiva de la ecuación de segundo grado. El resultado de la integral en Y (primer miembro)

${\displaystyle \ln \left(\frac{-2-\sqrt{4-Y^2}}{Y}\right)+2\sqrt{1-\frac{Y^2}{4}}=\ln \left(\frac{-2-\sqrt{4-Y^2}}{Y}\right)+\sqrt{4-Y^2}}$

La integración de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \ln \left(-\frac{2+\sqrt{4-Y^2}}{Y}\right)+\sqrt{4-Y^2}=X+C}$

La constante C se calcula, sabiendo que para x=r·sinφ entonces y=-h o bien, para X=R·sinφ entonces, Y=-H

${\displaystyle \ln \left(\frac{2+\sqrt{4-Y^2}}{H}\right)+\sqrt{4-H^2}=R\sin \phi +C}$

El resultado final, es una ecuación implícita, con Y<0

${\displaystyle X=\ln \left(-\frac{2+\sqrt{4-Y^2}}{Y}\right)+\sqrt{4-Y^2}-\ln \left(\frac{2+\sqrt{4-H^2}}{H}\right)-\sqrt{4-H^2}+R\sin \phi }$

Los datos de este ejemplo son

• Radio adimensional, R=0.5
• Densidad relativa, D=ρ_s/ρ_f=4
• Angulo de contacto, θ_c=2π/3, (120°)

Representamos el perfil de la superficie del líquido en las proximidades del cilindro

R=0.5; % radio adimensional
th_c=2*pi/3; %ángulo de contacto
D=2; %cociente entre densidades rho_s/rho_f
h=@(x) sqrt(2*(1-sin(x))); %altura
phi=@(x) 3*pi/2-th_c-x; %x es el ángulo alfa
f=@(x) phi(x)-sin(phi(x))*cos(phi(x))+2*h(x)*sin(phi(x))/R+2*cos(x)/R^2-pi*D;
alfa=fzero(f,pi/6);
phi_0=phi(alfa);
H=h(alfa);
c=-log((2+sqrt(4-H^2))/H)-sqrt(4-H^2)+R*sin(phi_0);
y=linspace(-H,-0.01,50);
x=@(y) log(-(2+sqrt(4-y.^2))./y)+sqrt(4-y.^2)+c;
hold on
plot(x(y), y,'b')
plot(-x(y), y,'b')
fp=fplot(@(x) R*sin(x), @(x) -H+R*cos(phi_0)+R*cos(x), [0,2*pi],'k');
fill(fp.XData, fp.YData,[0.7,0.7,0.7])
plot(0,-H+R*cos(phi_0),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(R*sin(phi_0),-H,'bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
quiver(R*sin(phi_0),-H, sin(alfa),cos(alfa),'r')
hold off
grid on
axis equal
xlim([0,4])
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('Perfil')

Una flecha de color rojo, señala la dirección de la fuerza que ejerce la tensión superficial, tangente a la superficie del líquido en los puntos de contacto (Rsinφ, -H) con el cilindro (en color azul). El ángulo α es el que hace la tangente con la vertical.

Los resultados son: α=66°, φ=84°, H=-0.42

>> alfa*180/pi
ans =   65.9442
>> phi_0*180/pi
ans =   84.0558
>> H
H =    0.4168

Mostramos la parte derecha de la figura

Observamos que la deformación de superficie libre del líquido es notable cerca del cilindro y es casi inapreciable, a una distancia de más de ocho radios R

Flotación de una esfera

Volumen de un casquete esférico, comprendido entre z₀ y r

${\displaystyle V=\underset{z_0}{\overset{r}{{\displaystyle \int }}}\pi x^{2}dz=\underset{z_0}{\overset{r}{{\displaystyle \int }}}\pi \left(r^2-z^2\right)dz=\frac{\pi r^3}{3}\left(2-3\frac{z_0}{r}+\frac{z_0^3}{r^3}\right)}$

Fuerzas sobre la esfera

Consideremos una esfera de radio r y densidad ρ_s flotando en la superficie de un fluido de densidad ρ_f.

El volumen V₁ sombreado de color rosa en la figura es la suma de dos volúmenes: un casquete esférico con z₀=rcosφ y un cilindro de radio rsinφ y altura h

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_1=\frac{\pi r^3}{3}\left(2-3\frac{r\cos \phi }{r}+\frac{{\left(r\cos \phi \right)}^3}{r^3}\right)+\pi {\left(r\sin \phi \right)}^{2}h\\ V_1=\frac{\pi r^3}{3}\left(2-3\cos \phi +{\cos }^3\phi +3\frac{h}{r}{\sin }^2\phi \right)\end{array}}$

La fuerza de empuje es proporcional a V₁

${\displaystyle F_B={\rho }_{f}g{V}_1={\rho }_{f}g\frac{\pi r^3}{3}\left(2-3\cos \phi +{\cos }^3\phi +3\frac{h}{r}{\sin }^2\phi \right)}$

La componente vertical de la fuerza que ejerce la tensión superficial es proporcional a

${\displaystyle F_S=\gamma \left(2\pi r\sin \phi \right)\cos \alpha }$

2πr·sinφ es la longitud de la línea de contacto

El peso de la esfera se equilibra con la fuerza de empuje F_B y la componente vertical de la fuerza que ejerce la tensión superficial F_S

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_B+F_S={\rho }_s\pi r^{2}g\\ {\rho }_{f}g\frac{\pi r^3}{3}\left(2-3\cos \phi +{\cos }^3\phi +3\frac{h}{r}{\sin }^2\phi \right)+\gamma \left(2\pi r\sin \phi \right)\cos \alpha ={\rho }_s\frac{4}{3}\pi r^{3}g\end{array}}$

En términos de magnitudes adimensionaless

${\displaystyle \begin{array}{l}R=\frac{r}{l_c},H=\frac{h}{l_c},l_c=\sqrt{\frac{\gamma }{{\rho }_{f}g}}\\ {\rho }_{f}g\frac{R^2}{3}\frac{\gamma }{{\rho }_{f}g}\left(2-3\cos \phi +{\cos }^3\phi +3\frac{H}{R}{\sin }^2\phi \right)+\gamma \left(2\sin \phi \right)\cos \alpha ={\rho }_s\frac{4}{3}{R}^2\frac{\gamma }{{\rho }_{f}g}g\\ \frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}=\frac{1}{4}\left(2-3\cos \phi +{\cos }^3\phi +3\frac{H}{R}{\sin }^2\phi \right)+\frac{3}{2R^2}\sin \phi \cos \alpha \end{array}}$

En este caso, no disponemos una relación entre H y α por lo que hemos de resolver la ecuación diferencial que determina la forma de la superficie del líquido en las proximidades de la esfera

Perfil

En este caso, la superficie de líquido que rodea la esfera es una superficie de revolución generada por la función z(x) al girar alrededor del eje Z, semejante a la de la figura.

Tal como se ha descrito en la página titulada Presión producida por la curvatura de una superficie tiene dos radios de curvatura

De la ecuación de Young-Laplace, similar al cilindro

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\rho }_{f}gz=\gamma \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)\\ r_1=\frac{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^{2}z}{d{x}^2}\right|},r_2=\frac{x\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}{\left|\frac{dz}{dx}\right|}\end{array}}$

Queda pendiente la solución de la ecuación diferencial con las condiciones de contorno especificadas, por procedimientos numéricos, para determinar la función z(x) que al girar alrededor del eje Z genera la superficie de revolución que describe la superficie del líquido en las proximidades de la esfera

Referencias

David Naylor, Scott S.H. Tsai. Archimedes’ principle with surface tension effects in undergraduate fluid mechanics. International Journal of Mechanical Engineering Education, SAGE, DOI: 10.1177/03064190211055431

Dominic Vella, Duck-Gyu Lee, Ho-Young Kim. The Load Supported by Small Floating Objects. Langmuir 2006, 22, 5979-5981