En la figura, se muestra el puente líquido entre dos superficies planas, separadas una distancia h, en el plano XZ

Se supone que el puente es muy largo, en la direccion perpendicular a la pantalla, de modo, que podemos reducirlo a un problema en dos dimensiones en los que se trata de determinar el perfil de la superficie líquida es decir, la función z=z(x)

Los datos del problema son los ángulos de contacto θ_b y θ_t del puente líquido con el plano inferior y superior, respectivamente. Los ángulos π-θ_b y θ_t son los que forma la tangente al perfil con la horizontal en los puntos de contacto (x_b,0) y (x_t, h)

La ecuación Young-Laplace es

${\displaystyle \Delta p=\frac{\gamma }{r_1},r_1=\frac{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^{2}z}{d{x}^2}\right|}}$

Δp es la diferencia de presión entre el interior del líquido en la posición (x, z) y el exterior (presión atmosférica). La presión es algo mayor en el lado de la superficie del líquido que contiene el centro C de curvatura

${\displaystyle \Delta p=p_{atm}-p=p_{atm}-(p_b-\rho gz)=p_{atm}-p_b+\rho gz}$

Donde p_b es la presión en el interior del líquido en la placa inferior, para z=0, que es desconocida

Dividimos la función z(x) que describe el perfil del puente líquido, en dos intervalos, de x_m a x_b y de x_m a x_t. En el cuello del puente líquido, x_m es la mínima distancia al eje Z, z_m es su altura y θ=π/2, la pendiente dz/dx→∞

• de x_m a x_b, la pendiente dz/dx es negativa y crece, la derivada segunda es positiva

• de x_m a x_t, la pendiente dz/dx es positiva y decrece, la derivada segunda es negativa

Primera integral

• Para el primer intervalo, de x_m a x_b, derivada segunda positiva

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{atm}-p_b+\rho gz=\gamma \frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\\ \left(p_{atm}-p_b+\rho gz\right)\frac{dz}{dx}=\gamma \frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{dz}{dx}\\ \left(p_{atm}-p_b+\rho gz\right)dz=\gamma \frac{\frac{dz}{dx}\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}dx\\ {\displaystyle \int \left(p_{atm}-p_b\right)dz+\rho g{\displaystyle \int z·dz}}=\gamma \frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{2udu}{{\left(1+u^2\right)}^{\frac{3}{2}}}},u=\frac{dz}{dx},du=\frac{d^{2}z}{d{x}^2}dx\\ \left(p_{atm}-p_b\right)z+\frac{1}{2}\rho g{z}^2=-\gamma \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}+c\end{array}}$

Se determina la constante c sabiendo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\frac{dz}{dx}|}_{z=0}=\tan \left(\pi -{\theta }_b\right)=-\tan {\theta }_b\\ 0=-\gamma \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2{\theta }_b}}+c\\ c=\gamma \cos {\theta }_b\\ \frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2=-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}+\cos {\theta }_b,z\le z_m\end{array}}$

• Para el segundo intervalo, de x_m a x_t, derivada segunda negativa

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{atm}-p_b+\rho gz=\gamma \frac{-\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\\ \left(p_{atm}-p_b+\rho gz\right)\frac{dz}{dx}=-\gamma \frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{dz}{dx}\\ \left(p_{atm}-p_b+\rho gz\right)dz=-\gamma \frac{\frac{dz}{dx}\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}dx\\ {\displaystyle \int \left(p_{atm}-p_b\right)dz+\rho g{\displaystyle \int z·dz}}=-\gamma \frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{2udu}{{\left(1+u^2\right)}^{\frac{3}{2}}}},u=\frac{dz}{dx},du=\frac{d^{2}z}{d{x}^2}dx\\ \left(p_{atm}-p_b\right)z+\frac{1}{2}\rho g{z}^2=\gamma \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}+c\end{array}}$

Se determina la constante c sabiendo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\frac{dz}{dx}|}_{z=h}=\tan {\theta }_t\\ \frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }h+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{h}^2=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2{\theta }_t}}+c\\ c=\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }h+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{h}^2-\cos {\theta }_t\\ \frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}+\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }h+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{h}^2-\cos {\theta }_t\\ -\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}-\cos {\theta }_t,z\ge z_m\end{array}}$

Continuidad de la función z=z(x)

Para z=z_m, θ=π/2, dz/dx→∞, tenemos un sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }{z}_m+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}_m^2=\cos {\theta }_b\\ -\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z_m\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z_m^2\right)=-\cos {\theta }_t\end{array}}$

Despejamos las incógnitas (p_atm-p_b)/γ y z_m. Las expresamos en forma adimensional, en términos del número de Bond, Bo=ρgh²/γ

${\displaystyle \frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }=\frac{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}{h}-\frac{1}{2}\frac{\text{Bo}}{h}}$

De la primera ecuación, despejamos z_m

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z_m^2}{h^2}+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{\text{Bo}}{2}\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b=0\\ \frac{z_m}{h}=\frac{\frac{\text{Bo}}{2}-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{Bo}}{2}-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\right)}^2+2\text{Bo}\cos {\theta }_b}}{\text{Bo}}\end{array}}$

Representamos la altura z_m/h en función del número de Bond, Bo para

• Angulo θ_t=π/6 (30°)
• Angulo θ_b=π/6 (30°)

${\displaystyle \frac{z_m}{h}=\frac{\frac{\text{Bo}}{2}-2\cos {\theta }_t\pm \sqrt{{\left(\frac{\text{Bo}}{2}-2\cos {\theta }_t\right)}^2+2\text{Bo}\cos {\theta }_t}}{\text{Bo}}=\frac{\frac{\text{Bo}}{2}-2\cos {\theta }_t\pm \sqrt{4{\cos }^2{\theta }_t+\frac{{\text{Bo}}^2}{4}}}{\text{Bo}}}$

th=pi/6; %ángulo
zm=@(x) (x/2-2*cos(th)+sqrt(4*cos(th)^2+x.^2/2))./x;
fplot(zm, [0.001,6])
grid on
xlabel('Bo')
ylabel('z_m/h')
title('altura del cuello')

La altura z_m aumenta con el número Bo. Cuando Bo→0, entonces z_m/h →1/2

La raíz con signo + es la solución apropiada de la ecuación de segundo grado

Segunda integral

Despejamos dz/dx e integramos

• Para el primer intervalo, de x_m a x_b, la pendiente dz/dx es negativa.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dz}{dx}=-\frac{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_b-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2\right)}^2}}{\cos {\theta }_b-\frac{p_b-p_{atm}}{\gamma }z+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{-\cos {\theta }_b+\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2}{\sqrt{1-{\left(-\cos {\theta }_b+\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z+\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{z}^2\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x_b}{\overset{x}{\int }}dx},z\le z_m\end{array}}$

• Para el segundo intervalo, de x_m a x_t, la pendiente dz/dx es positiva.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dz}{dx}=\frac{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z^2\right)\right)}^2}}{\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z^2\right)}\\ {\displaystyle \underset{z}{\overset{h}{\int }}\frac{\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z^2\right)}{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)-\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }\left(h^2-z^2\right)\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x}{\overset{x_t}{\int }}dx},z\ge z_m\end{array}}$

Primero, calculamos las soluciones analíticas en ausencia de gravedad g=0, y después las soluciones numéricas en el caso general

En ausencia de gravedad, g=0, Bo=0

En ausencia de gravedad g=0, número de Bond, Bo=0, la continuidad de la función z=z(x) en z_m

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }=\frac{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}{h}\\ z_m=h\frac{\cos {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\end{array}}$

Las integrales son del tipo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{ax-b}{\sqrt{1-{\left(ax-b\right)}^2}}}dx,\{\begin{array}{l}u=ax-b\\ du=a·dx\end{array}\\ -\frac{1}{2a}{\displaystyle \int \frac{-2u}{\sqrt{1-u^2}}}du=-\frac{1}{a}\sqrt{1-u^2}\\ {\displaystyle \int \frac{ax-b}{\sqrt{1-{\left(ax-b\right)}^2}}}dx=-\frac{\sqrt{1-{\left(ax-b\right)}^2}}{a}\end{array}}$

• Para el primer intervalo, de x_m a x_b

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z-\cos {\theta }_b}{\sqrt{1-{\left(\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z-\cos {\theta }_b\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x_b}{\overset{x}{\int }}dx}\\ -\frac{\gamma }{p_{atm}-p_b}\left(\sqrt{1-{\left(\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }z-\cos {\theta }_b\right)}^2}-\sin {\theta }_b\right)=x-x_b\\ \frac{h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_b-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right\}=x-x_b,z\le z_m\end{array}}$

• Para el segundo intervalo, de x_m a x_t

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{z}{\overset{h}{\int }}\frac{\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)}{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x}{\overset{x_t}{\int }}dx}\\ -\frac{\gamma }{p_{atm}-p_b}\left(\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\frac{p_{atm}-p_b}{\gamma }\left(h-z\right)\right)}^2}\right)=x_t-x\\ \frac{h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right\}=x-x_t,z\ge z_m\end{array}}$

Continuidad en z=z_m

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{\sin {\theta }_b-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_b}{h}\\ \frac{\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_t}{h}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}-\frac{1-\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_b}{h}\\ -\frac{1-\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_t}{h}\end{array}\end{array}}$

Comprobamos que x_t y x_b son mayores que x_m, tal como se aprecia en la primera figura

Area

El área sombreada en la figura es la suma de dos áreas

${\displaystyle A=A_1+A_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}2x·dz}+{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}2x·dz}}$

• El área inferior A₁ vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_1=2{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}\left(h\frac{\sin {\theta }_b-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}+x_b\right)dz}=\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_b{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}dz}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}dz}\right\}+2x_b{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}dz}\end{array}}$

Tenemos una integral del tipo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \sqrt{1-{\left(ax-b\right)}^2}dx},\{\begin{array}{l}u=ax-b\\ du=a·dx\end{array}\\ \frac{1}{a}{\displaystyle \int \sqrt{1-u^2}du},\{\begin{array}{l}u=\sin t\\ du=\cos t·dt\end{array}\\ \frac{1}{a}{\displaystyle \int {\cos }^{2}t·dt}=\frac{1}{2a}{\displaystyle \int \left(1+\cos \left(2t\right)\right)dt=}\frac{1}{2a}\left(t+\frac{1}{2}\sin \left(2t\right)\right)\\ \frac{1}{2a}\left(\arcsin u+u\sqrt{1-u^2}\right)=\frac{1}{2a}\left(\arcsin \left(ax-b\right)+\left(ax-b\right)\sqrt{1-{\left(ax-b\right)}^2}\right)\end{array}}$

La integrale vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_1=\frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}{\left\{\sin {\theta }_b·z-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)+\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right)\right\}+2x_{b}z|}_0^{z_m}=\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_b·z_m-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)+\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right)\right\}+2x_b{z}_m-\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(-\cos {\theta }_b\right)-\cos {\theta }_b\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_b}\right)\right\}=\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\sin {\theta }_b·z_m+2x_b{z}_m-\frac{h^2}{{\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}^2}\left(\frac{\pi }{2}-{\theta }_b+\cos {\theta }_b·\sin {\theta }_b\right)\end{array}}$

El resultado final es

${\displaystyle A_1=h^2\left\{2\frac{x_b}{h}\frac{z_m}{h}+\frac{2\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\frac{z_m}{h}-\frac{\frac{\pi }{2}-{\theta }_b+\cos {\theta }_b·\sin {\theta }_b}{{\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}^2}\right\}}$

• El área superior A₂ vale

${\displaystyle A_2=2{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}\left(h\frac{\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}+x_t\right)dz}}$

Integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=\frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}{\left\{\sin {\theta }_t·z-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)+\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t-\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right)\right\}+2x_{t}z|}_{z_m}^h=\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_t·h-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{h}{h}-\cos {\theta }_b\right)+\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{h}{h}-\cos {\theta }_b\right)\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{h}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right)\right\}+2x_{t}h\\ -\frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_t·z_m-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)+\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z_m}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}\right)\right\}-2x_t{z}_m=\\ \frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left\{\sin {\theta }_t·h-\frac{h}{2\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}\left(\arcsin \left(\cos {\theta }_t\right)+\cos {\theta }_t\sin {\theta }_t\right)\right\}+2x_{t}h-\frac{2h}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\sin {\theta }_t·z_m-2x_t{z}_m\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle A_2=h^2\left\{2\frac{x_t}{h}\left(1-\frac{z_m}{h}\right)+\frac{2\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left(1-\frac{z_m}{h}\right)-\frac{\frac{\pi }{2}-{\theta }_t+\cos {\theta }_t\sin {\theta }_t}{{\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}^2}\right\}}$

El área total es

${\displaystyle A=h^2\left\{\begin{array}{l}2\left(\frac{x_b}{h}-\frac{x_t}{h}\right)\frac{z_m}{h}+2\frac{x_t}{h}-\frac{\cos {\theta }_b·\sin {\theta }_b+\cos {\theta }_t·\sin {\theta }_t+\pi -{\theta }_t-{\theta }_b}{{\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}^2}+\\ \frac{2\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\frac{z_m}{h}+\frac{2\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left(1-\frac{z_m}{h}\right)\end{array}\right\}}$

Trazado del perfil, z=z(x)

Los datos son:

• La separación h entre las placas horizontales
• Los ángulos θ_b y θ_t
• El área A, lo que equivale al volumen de líquido

Las incógnitas son

• La altura z_m
• La distacia mínima al eje x_m
• Los puntos de contacto x_b y x_t

Para ello, se resuelve el sistema de ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_m=h\frac{\cos {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\\ \begin{array}{l}-\frac{1-\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_t}{h}\\ -\frac{1-\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_b}{h}\end{array}\}\frac{x_b}{h}-\frac{x_t}{h}=\frac{\sin {\theta }_t-\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\\ A=h^2\left\{\begin{array}{l}2\left(\frac{x_b}{h}-\frac{x_t}{h}\right)\frac{z_m}{h}+2\frac{x_t}{h}-\frac{\cos {\theta }_b·\sin {\theta }_b+\cos {\theta }_t·\sin {\theta }_t+\pi -{\theta }_t-{\theta }_b}{{\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)}^2}+\\ \frac{2\sin {\theta }_b}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\frac{z_m}{h}+\frac{2\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}\left(1-\frac{z_m}{h}\right)\end{array}\right\}\end{array}}$

Introducimos la segunda ecuación en fórmula del área, despejamos x_t. Conocido x_t, despejamos x_m y luego, x_b

Se representa el perfil, descrito por dos funciones implícitas, definidas en los intervalos 0 a z_m y de z_m a h

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{x}{h}=\frac{\sin {\theta }_b-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}+\frac{x_b}{h},z\le z_m\\ \frac{x}{h}=\frac{\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\left(\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b\right)\frac{z}{h}-\cos {\theta }_b\right)}^2}}{\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b}+\frac{x_t}{h},z\ge z_m\end{array}}$

Representamos el puente líquido en dos dimensiones para

• Angulo, θ_t=π/3 (60°)
• Angulo, θ_b=π/6 (30°)
• Area, A=1
• Separación entre las placas, h=1

A=1; %área
th_t=pi/3; %ángulos
th_b=pi/6;
zm=cos(th_b)/(cos(th_t)+cos(th_b));
temp=A+(cos(th_b)*sin(th_b)+cos(th_t)*sin(th_t)+pi-th_t-th_b)/
(cos(th_t)+cos(th_b))^2-2*zm*(sin(th_t)-sin(th_b))/(cos(th_t)+cos(th_b))
-2*sin(th_b)*zm/(cos(th_t)+cos(th_b))-2*sin(th_t)*(1-zm)/(cos(th_t)+cos(th_b));
xt=temp/2;
xm=xt-(1-sin(th_t))/(cos(th_t)+cos(th_b));
xb=xm+(1-sin(th_b))/(cos(th_t)+cos(th_b));
hold on
z1=linspace(0,zm,50);
x=@(z) xb+(sin(th_b)-sqrt(1-((cos(th_t)+cos(th_b))*z-cos(th_b)).^2))
/(cos(th_t)+cos(th_b));
xx_1=x(z1);
z2=linspace(zm,1,50);
x=@(z) xt+(sin(th_t)-sqrt(1-((cos(th_t)+cos(th_b))*z-cos(th_b)).^2))/
(cos(th_t)+cos(th_b));
xx_2=x(z2);
fill([xx_1, xx_2, -fliplr(xx_2), -fliplr(xx_1),-xb],[z1,z2,fliplr(z2),
fliplr(z1),0],'c')
plot(xx_1,z1,'b')
plot(xx_2,z2,'b')
line([-xt,xt],[1,1],'lineWidth',1.5,'color','k')
line([-xb,xb],[0,0],'lineWidth',1.5,'color','k')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('z')
title('Puente líquido')

Los puntos de contacto con la placa distan x_t=0.5190, x_b=0.7869, y la distancia mínima al eje Z, x_m=0.4209 a la altura z_m=0.6340

>> xt,xb,xm,zm
xt =    0.5190
xb =    0.7869
xm =    0.4209
zm =    0.6340

En ausencia de gravedad, g=0. Simetría

Cuando los ángulos θ_t=θ_b de contacto son iguales, por simetría x_b=x_t y las áreas A₁=A₂

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_m=h\frac{\cos {\theta }_t}{2\cos {\theta }_t}=\frac{h}{2}\\ -\frac{1-\sin {\theta }_t}{2\cos {\theta }_t}=\frac{x_m}{h}-\frac{x_t}{h}\\ A=h^2\left\{2\frac{x_t}{h}-\frac{2\cos {\theta }_t\sin {\theta }_t+\pi -2{\theta }_t}{4{\cos }^2{\theta }_t}+\frac{\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t}\right\}\end{array}}$

Se representa el perfil, descrito por la función implícita, definida en el intervalo 0 a h

${\displaystyle \frac{x}{h}=\frac{\sin {\theta }_t-\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_t{\left(2\frac{z}{h}-1\right)}^2}}{2\cos {\theta }_t}+\frac{x_t}{h}}$

Representamos el puente líquido en dos dimensiones para

• Angulo θ_t=π/6 (30°)
• Area A=1
• Sepraración entre las placas h=1

A=1; %área
th=pi/6; %ángulo de contacto
xt=(A-tan(th)+(2*cos(th)*sin(th)+pi-2*th)/(4*cos(th)^2))/2;
xm=xt-(1-sin(th))/(2*cos(th));
x=@(z) (sin(th)-sqrt(1-cos(th)^2*(2*z-1).^2))/(2*cos(th))+xt;
hold on
z=linspace(0,1,50);
xx=x(z);
hold on
fill([xx,  -xt, -fliplr(xx),  xt],[z,1,  fliplr(z),0],'c')
plot(xx,z,'b')
plot(-xx,z,'b')
line([-xt,xt],[1,1],'lineWidth',1.5,'color','k')
line([-xt,xt],[0,0],'lineWidth',1.5,'color','k')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('z')
title('Puente líquido')

Los puntos de contacto distan x_t=x_b=0.7047, y la distancia mínima al eje Z, x_m=0.4161

>> xt,xm
xt =    0.7047
xm =    0.4161

Representamos los perfiles para distintos ángulos de contacto (15°, 30°, 45°,60°, 75°), manteniendo el área fija en A=1

A=1; %área
z=linspace(0,1,50);
hold on
for th=pi/12:pi/12:5*pi/12 %ángulo de contacto
    xt=(A-tan(th)+(2*cos(th)*sin(th)+pi-2*th)/(4*cos(th)^2))/2;
    xm=xt-(1-sin(th))/(2*cos(th));
    x=@(z) (sin(th)-sqrt(1-cos(th)^2*(2*z-1).^2))/(2*cos(th))+xt;
    plot(x(z),z)
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('z')
title('Puente líquido')

Los perfiles se cortan en dos puntos simétricos, respecto de la recta z/h=1/2

Reducimos el área A. Comprobamos que para que exista puente líquido, para un ángulo θ_t de contacto dado, el área (volumen de líquido) tiene que ser mayor que un valor mínimo que se obtiene para x_m=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x_t}{h}=\frac{1-\sin {\theta }_t}{2\cos {\theta }_t}\\ A=h^2\left\{2\frac{1-\sin {\theta }_t}{2\cos {\theta }_t}-\frac{2\cos {\theta }_t\sin {\theta }_t+\pi -2{\theta }_t}{4{\cos }^2{\theta }_t}+\frac{\sin {\theta }_t}{\cos {\theta }_t}\right\}=h^2\left\{\frac{1}{\cos {\theta }_t}-\frac{2\cos {\theta }_t\sin {\theta }_t+\pi -2{\theta }_t}{4{\cos }^2{\theta }_t}\right\}\end{array}}$

Para θ_t=π/6 (30°), A_mín=0.1679

>> 1/cos(th)+(2*th-2*cos(th)*sin(th)-pi)/(4*cos(th)^2)
ans =    0.1679

Cambiamos en el script el valor de la variable A=0.1679;

>> xm
xm =   3.1485e-06

Caso general, aceleración de la gravedad g≠0, Bo>0

• Para el primer intervalo, de x_m a x_b

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}}{\sqrt{1-{\left(-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x_b}{\overset{x}{\int }}dx},z\le z_m}$

• Para el segundo intervalo, de x_m a x_t

${\displaystyle {\displaystyle \underset{z}{\overset{h}{\int }}\frac{\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)}{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)\right)}^2}}dz}={\displaystyle \underset{x}{\overset{x_t}{\int }}dx},z\ge z_m}$

Continuidad en z=z_m

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}\frac{-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}}{\sqrt{1-{\left(-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}\right)}^2}}dz}=x_m-x_b\\ {\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}\frac{\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)}{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)\right)}^2}}dz}=x_t-x_m\end{array}}$

Area

El área es la suma de dos áreas

${\displaystyle A=A_1+A_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}2x·dz}+{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}2x·dz}}$

• El área inferior A₁ vale

Integramos por partes

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}u=x,du=\frac{dx}{dz}dz\\ dv=dz,v=z\end{array}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}x·dz}={z·x(z)|}_0^{z_m}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}z\frac{dx}{dz}dz=z_m{x}_m-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}z\frac{dx}{dz}dz}=}\\ z_m{x}_m-{\displaystyle \underset{0}{\overset{z_m}{\int }}z\frac{-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}}{\sqrt{1-{\left(-\cos {\theta }_b+\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\frac{z}{h}+\frac{1}{2}\text{Bo}\frac{z^2}{h^2}\right)}^2}}dz}\end{array}}$

El área A₁ es

${\displaystyle A_1=2z_m{x}_m-{2I{I}_1(z)|}_0^{z_m}}$

• El área superior A₂ vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}x·dz}={z·x(z)|}_{z_m}^h-{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}z\frac{dx}{dz}dz=h·x_t-z_m·x_m-{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}z\frac{dx}{dz}dz}}=\\ h·x_t-z_m·x_m-{\displaystyle \underset{z_m}{\overset{h}{\int }}z\frac{\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)}{\sqrt{1-{\left(\cos {\theta }_t-\left(\cos {\theta }_t+\cos {\theta }_b-\frac{1}{2}\text{Bo}\right)\left(1-\frac{z}{h}\right)-\frac{1}{2}\text{Bo}\left(1-\frac{z^2}{h^2}\right)\right)}^2}}dz}\end{array}}$

El área A₂ es

${\displaystyle A_2=2h·x_t-2z_m{x}_m-{2I{I}_2(z)|}_{z_m}^h}$

El área total es

${\displaystyle A=A_1+A_2=2h·x_t-{2I{I}_1(z)|}_0^{z_m}-{2I{I}_2(z)|}_{z_m}^h}$

Trazado del perfil, z=z(x)

Los datos son:

• La separación h entre las placas horizontales
• Los ángulos θ_b y θ_t
• El área A, lo que equivale al volumen de líquido

Las incógnitas son

• La altura z_m
• Los puntos de contacto x_b y x_t
• La distacia mínima al eje x_m

La altura z_m del cuello ya la hemos calculado

${\displaystyle \frac{z_m}{h}=\frac{\frac{\text{Bo}}{2}-\cos {\theta }_t-\cos {\theta }_b+\sqrt{{\left(\frac{\text{Bo}}{2}-\cos {\theta }_t-\cos {\theta }_b\right)}^2+2\text{Bo}\cos {\theta }_b}}{\text{Bo}}}$

Conocida el área A se calcula x_t

${\displaystyle \frac{x_t}{h}=\frac{1}{h^2}\left\{\frac{A}{2}+{I{I}_1(z)|}_0^{z_m}+{I{I}_2(z)|}_{z_m}^h\right\}}$

De la continuidad en z_m, calculamos x_m y x_b

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_m-x_b={I_1(z)|}_0^{z_m}\\ x_t-x_m={I_2(z)|}_{z_m}^h\end{array}}$

Representamos el puente líquido en dos dimensiones para

• Angulo θ_t=π/3 (60°)
• Angulo θ_b=π/6 (30°)
• Area A=1
• Separación entre las placas h=1
• Número de Bond, Bo=0.0001

Con un número de Bond tan pequeño, intentamos reproducir, aplicando procedimientos numéricos, los mismos resultados obtenidos de forma analítica, con g=0

Para resolver una integral, utilizamos el procedimiento integral de MATLAB, véase la página titulada Integración numérica

A=1; %area
th_t=pi/3; %ángulos
th_b=pi/6;
Bo=2; %numero de Bond
zm=(Bo/2-cos(th_t)-cos(th_b)+sqrt((Bo/2-cos(th_t)-cos(th_b))^2+
2*Bo*cos(th_b)))/Bo;
f=@(z) (-cos(th_b)+(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*z+Bo*z.^2/2)./sqrt(1-(-cos(th_b)
+(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*z+Bo*z.^2/2).^2);
I1=integral(f,0,zm);
g=@(z) (cos(th_t)-(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*(1-z)-Bo*(1-z.^2)/2)./
sqrt(1-(cos(th_t)-(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*(1-z)-Bo*(1-z.^2)/2).^2);
I2=integral(g,zm,1);
ff=@(z) z.*f(z);
II1=integral(ff,0,zm);
gg=@(z) z.*g(z);
II2=integral(gg,zm,1);
xt=A/2+II1+II2;
xm=xt-I2;
xb=xm-I1;
k=1;
z1=linspace(0,zm,51);
xx_1=zeros(0, length(z1));
for z=z1
    xx_1(k)=xb+integral(f,0,z);
    k=k+1;
end
hold on
z2=linspace(zm,1,51);
xx_2=zeros(0, length(z2));
k=1;
for z=z2
    xx_2(k)=xt-integral(g,z,1);
    k=k+1;
end
fill([xx_1, xx_2, -fliplr(xx_2), -fliplr(xx_1),-xb],[z1,z2,fliplr(z2),
fliplr(z1),0],'c')
plot(xx_1,z1,'b')
plot(xx_2,z2,'b')
line([-xt,xt],[1,1],'lineWidth',1.5,'color','k')
line([-xb,xb],[0,0],'lineWidth',1.5,'color','k')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('z')
title('Puente líquido')

Los resultados obtenidos aplicando procedimientos numéricos, son idénticos a los obtenidos de forma analítica con g=0

>> xt,xb,xm,zm
xt =    0.5190
xb =    0.7869
xm =    0.4209
zm =    0.6340

Cambiamos el número de Bond, en el código Bo=2;

>> xt,xb,xm,zm
xt =    0.4135
xb =    0.9409
xm =    0.3531
zm =    0.7654

Aumentamos el número de Bond, Bo. Comprobamos que para que exista puente líquido, para ángulos de contacto dados, el número de Bond, tiene que ser menor que un valor máximo que se obtiene para x_m=0. Probamos para Bo=4.85;

>> xm
xm =        0.0149

Examinamos el efecto del número de Bond, para el caso simétrico que hemos estudiado para g=0

• Angulo θ_t=π/6 (30°)
• Angulo θ_b=π/6 (30°)
• Area A=1
• Separación entre las placas h=1
• Números de Bond, Bo=0.0001, 1, 2, 3, en colores azul, rojo, negro y verde, respectivamente

A=1; %area
th_t=pi/6; %ángulos
th_b=pi/6;
colores=['b','r','k','g'];
hold on
j=1;
for Bo=[0.0001, 1, 2, 3] %numero de Bond
    zm=(Bo/2-cos(th_t)-cos(th_b)+sqrt((Bo/2-cos(th_t)-cos(th_b))^2+
2*Bo*cos(th_b)))/Bo;
    f=@(z) (-cos(th_b)+(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*z+Bo*z.^2/2)./
sqrt(1-(-cos(th_b)+(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*z+Bo*z.^2/2).^2);
    I1=integral(f,0,zm);
    g=@(z) (cos(th_t)-(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*(1-z)-Bo*(1-z.^2)/2)./
sqrt(1-(cos(th_t)-(cos(th_t)+cos(th_b)-Bo/2)*(1-z)-Bo*(1-z.^2)/2).^2);
    I2=integral(g,zm,1);
    ff=@(z) z.*f(z);
    II1=integral(ff,0,zm);
    gg=@(z) z.*g(z);
    II2=integral(gg,zm,1);
    xt=A/2+II1+II2;
    xm=xt-I2;
    xb=xm-I1;
    disp([Bo,xt,xb,xm,zm])
    k=1;
    z1=linspace(0,zm,51);
    xx_1=zeros(0, length(z1));
    for z=z1
        xx_1(k)=xb+integral(f,0,z);
        k=k+1;
    end
    hold on
    z2=linspace(zm,1,51);
    xx_2=zeros(0, length(z2));
    k=1;
    for z=z2
        xx_2(k)=xt-integral(g,z,1);
        k=k+1;
    end 
    plot(xx_1,z1, colores(j))
    plot(xx_2,z2, colores(j))
    j=j+1;
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('z')
title('Puente líquido')

Los perfiles parecen que se cortan en un punto

Se muestran los valores del número de Bond, Bo, x_t, x_b, x_m y z_m para los correspondientes números de Bond. Para Bo=0.0001 (color azul), el resultado es idéntico al obtenido 0.7047, para el caso simétrico

    0.0001    0.7047    0.7047    0.4161    0.5000
    1.0000    0.6471    0.7665    0.4101    0.5707
    2.0000    0.5902    0.8367    0.3922    0.6340
    3.0000    0.5303    0.9225    0.3618    0.6864

Referencias

Paulo I C Teixeira, Miguel A C Teixeira. The shape of two-dimensional liquid bridges. J. Phys.: Condens. Matter 32 (2020) 034002