Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

Un proyectil de masa m que se dispara desde el origen con velocidad v0, haciendo un ángulo θ0 con la horizontal

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

m d v x dt =mb v x m d v y dt =mgmb v y

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son

dx dt = v 0x exp( bt ) dy dt =( g b + v 0y )exp( bt ) g b

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

x= v 0x b ( 1exp( bt ) ) y= 1 b ( g b + v 0y )( 1exp( bt ) ) g b t

Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro θ. Las velocidades iniciales son

v0x=v0·cosθ
v0y=v0·sinθ

Alcance del proyectil y tiempo de vuelo

El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcance del proyectil.

En la primera ecuación, ponemos x=R y despejamos el tiempo de vuelo t,

t= 1 b ln( 1 Rb v 0x )

sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

( g b + v 0y ) R v 0x + g b 2 ln( 1 Rb v 0x )=0

Esta es una ecuación transcendente en R, que se resolverá por procedimientos numéricos

b=0.05; %parámetro
v0=60;  %velocidad incial
R=zeros(1,70);
i=0;
for angulo=(10:80)*pi/180
    i=i+1;
    v0x=v0*cos(angulo);
    v0y=v0*sin(angulo);
    f=@(x) (9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*log(1.0-x*b/v0x)/b^2;
    R0=v0^2*sin(2*angulo)/9.8; %alcance sin rozamiento
    R(i)=fzero(f,R0);  %alcance 
end
plot(10:80,R)
grid on
ylabel('Alcance (m)')
xlabel('\theta')
title('Tiro parabólico con rozamiento')

El alcance máximo ya no se produce para el ángulo θ=45°

Representamos las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 y con ángulos de tiro θ de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45°

b=0.01; %parámetro
v0=60;  %velocidad incial

hold on
for angulo=(10:5:45)*pi/180
    v0x=v0*cos(angulo);
    v0y=v0*sin(angulo);

    f=@(x) (9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*log(1.0-x*b/v0x)/b^2;
    R0=v0^2*sin(2*angulo)/9.8; %sin rozamiento
    R=fzero(f,R0);  %alcance 
    T=-log(1-b*R/v0x)/b; %tiempo de vuelo
    fplot(@(t) v0*cos(angulo)*(1-exp(-b*t))/b, @(t) (g/b^2+v0*sin(angulo)/b)
*(1-exp(-b*t))-g*t/b,[0,T]);
end
grid on
hold off
xlabel('x(m)')
ylabel('y(m)')
title('Tiro parabólico con rozamiento')

Aproximaciones

Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b en la ecuación trascendente

ln( 1 bR v 0x )ln(1)+ 1 1! R/ v 0x 1bR/ v 0x | b=0 b+ 1 2! R 2 / v 0x 2 ( 1bR/ v 0x ) 2 | b=0 b 2 + 1 3! 2 R 3 / v 0x 3 ( 1bR/ v 0x ) 3 | b=0 b 3 = R v 0x b 1 2 R 2 v 0x 2 b 2 1 3 R 3 v 0x 3 b 3

Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R

2b 3 v 0 cosθ R 2 +R R 0 =0 R 0 = 2 v 0x v 0y g = v 0 2 sin(2θ) g

Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.

Ejemplo: Sea v0=60 m/s, θ=45º y b=0.01

v0=60; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
b=0.01; %rozamiento proporcional a la velocidad
angulo=pi/4; %45º
v0x=v0*cos(angulo);
v0y=v0*sin(angulo);
f=@(x) (9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*log(1.0-x*b/v0x)/b^2;
R0=v0^2*sin(2*angulo)/9.8; %sin rozamiento
R=fzero(f,R0);  %alcance con rozamiento 
%aproximación
Ra=(-1+sqrt(1+8*R0*b/(3*v0x)))/(4*b/(3*v0x));
fprintf('ideal %3.2f, exacto %3.2f, aproximado %3.2f\n',R0,R,Ra)
ideal 367.35, exacto 347.16, aproximado 348.29

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance aproximado se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.29 m

Tiempo de vuelo y alcance. Solución analítica

El tiempo de vuelo es el tiempo que tarda el proyectil desde que es disparado hasta que llega al suelo y=0.

y= 1 b ( g b + v 0y )( 1exp(bt) ) g b t g b + v 0 sinθgt=( g b + v 0 sinθ )exp(bt) e bt = g g b + v 0 sinθ t+1

Se trata de un caso particular de la ecuación ab·x+c=d·x+f, cuya solución se expresa en términos de la función W de Lambert

x= 1 blna W( b d ( lna ) a cbf/d ) f d

Haciendo la sustitución

xt ae bb c0 d g g b + v 0 sinθ f1

El tiempo t de vuelo es exactamente

t= 1 b ( u+W( u e u ) ) u=1 b v 0 g sinθ

Dado el tiempo de vuelo t, calculamos el alcance x del proyectil que denominamos R

R= v 0 cosθ b ( 1exp( uW( u e u ) ) )

Teniendo en cuenta que z=W(z)exp(W(z)), con z=ueu, el alcance R es

R= v 0 cosθ b ( 1 W( u e u ) u )

En el apartado anterior, calculamos, utilizando procedimientos numéricos, el valor aproximado del alcance R, obteniendo una gráfica similar del alcance del proyectil R en función del ángulo de tiro θ, fijada la velocidad de disparo v0 y la constante de proporcionalidad b de la fuerza de rozamiento. Ahora, realizamos un cálculo exacto utilizando la función W de Lambert

b=0.05; %parámetro
v0=60;  %velocidad incial
R=zeros(1,70);
i=0;
for angulo=(10:80)*pi/180
    i=i+1;
    u=-1-b*v0*sin(angulo)/9.8;
    R(i)=(v0*cos(angulo)/b)*(1-lambertw(0,u*exp(u))/u); %alcance 
end
plot(10:80,R)
grid on
ylabel('Alcance (m)')
xlabel('\theta')
title('Tiro parabólico con rozamiento')

>> [M,I]=max(R)
M =  285.0226
I =    32 %índice
>> ang=10:80;
>> ang(I)
ans =    41

El alcance máximo Rm=285.0 m se produce para el ángulo de tiro óptimo θm=41°

Ejemplo: Sea v0=60 m/s, θ=45º y b=0.01

v0=60; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
b=0.01; %rozamiento proporcional a la velocidad
angulo=pi/4; %45º
u=-1-b*v0*sin(angulo)/g;
R=(v0*cos(angulo)/b)*(1-lambertw(0,u*exp(u))/u); %alcance 
disp(R)
347.1646

El mismo valor que obtuvimos empleando procedimientos numéricos

Angulo de tiro óptimo

El ángulo de tiro óptimo es el que produce un alcance máximo. Cuando no hay rozamiento, el ángulo es 45°. Cuando hay rozamiento, como vemos en la gráfica anterior, es menor que 45°. En este apartado vamos a obtener el ángulo de tiro óptimo θm que produce el alcance máximo Rm

Partimos de la ecuación transcendente, a partir de la cual, calculamos el alcance R dado el ángulo de tiro θ

( g b + v 0 sinθ ) R v 0 cosθ + g b 2 ln( 1 Rb v 0 cosθ )=0

Expresamos de forma alternativa

ln( 1 Rb v 0 cosθ )= b 2 g ( g b + v 0 sinθ ) R v 0 cosθ R= v 0 cosθ b { 1exp( ( b v 0 cosθ + b 2 g tanθ )R ) }

El alcance máximo Rm, se obtiene cuando dR/dθ=0

0= v 0 sin θ m b { 1exp( ( b v 0 cos θ m + b 2 g tan θ m ) R m ) }+ v 0 cos θ m b { bsin θ m v 0 cos 2 θ m + b 2 g 1 cos 2 θ m }exp( ( b v 0 cos θ m + b 2 g tan θ m ) R m ) v 0 sin θ m b { b R m v 0 cos θ m }+ v 0 cos θ m b { bsin θ m v 0 cos 2 θ m + b 2 g 1 cos 2 θ m }( 1 b R m v 0 cos θ m )=0

Simplificando

R m = v 0 2 cos θ m gsin θ m +b v 0

Introducimos el alcance Rm, en la ecuación transcendente que relaciona el alcance R y el ángulo de tiro θ

R= v 0 cosθ b { 1exp( ( b v 0 cosθ + b 2 g tanθ )R ) } v 0 2 cos θ m gsin θ m +b v 0 = v 0 cos θ m b { 1exp( ( b v 0 cos θ m + b 2 g tan θ m ) v 0 2 cos θ m gsin θ m +b v 0 ) } sin θ m sin θ m + b v 0 g =exp( v 0 b g 1+ v 0 b g sin θ m sin θ m + v 0 b g )

Llamamos u=sinθm y c=v0b/g

La ecuación transcendente que nos permite calcular el ángulo de tiro óptimo θm es

u u+c =exp( c 1+cu u+c )

Cuando c=1, la ecuación tiene una solución sencilla

u u+1 = 1 e ,sin θ m = 1 e1

>> asind(1/(exp(1)-1))
ans =   35.5897

El ángulo de tiro óptimo es θm=35.6° para c=1

Cuando c≠1, vamos expresar el ángulo de tiro óptimo θm en función del parámetro c=v0b/g. Teniendo en cuenta la propiedad de la función W de Lambert, W(z)exp(W(z))=z

u u+c exp( c 1+cu u+c )=1 u u+c exp( (u+c)+ c 2 uu u+c )=1 u u+c e·exp( ( c 2 1 ) u u+c )=1 ( c 2 1 ) u u+c exp( ( c 2 1 ) u u+c )= c 2 1 e { z= c 2 1 e W(z)=( c 2 1 ) u u+c

Despejamos u=sinθm

u= cW(z) c 2 1W(z) sin θ m = cW( c 2 1 e ) c 2 1W( c 2 1 e )

Una vez que se ha calculado el ángulo de tiro óptimo θm, se determina el alcance máximo Rm

R m = v 0 2 cos θ m gsin θ m +b v 0

v0=60; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
b=0.05; %rozamiento proporcional a la velocidad

c=v0*b/g;
lw=lambertw(0,(c^2-1)/exp(1));
ang=asin(c*lw/(c^2-1-lw));
Rm=v0^2*cos(ang)/(g*sin(ang)+b*v0);
fprintf('ángulo de tiro óptimo %2.1f, alcance máximo %3.1f\n',ang*180/pi,Rm)
ángulo de tiro óptimo 41.4, alcance máximo 285.0

Máximo de la trayectoria

En la posición del máximo, la componente vertical de la velocidad, vy=dy/dt=0, despejamos el tiempo t y se introduce en la expresión de x e y

exp( bt )= 1 1+ b v 0y g ,t= 1 b ln( 1+ b v 0y g ) { x m = v 0 2 g sinθcosθ 1+ b v 0 g sinθ y m = v 0 b sinθ g b 2 ln( 1+ b v 0 g sinθ )

Representamos las trayectorias de los proyectiles disparados con la misma velocidad v0 para varios ángulos de tiro comprendidos entre 0 y 180°. Marcamos el máximo (xm, ym) de la trayectoria

v0=60; %velocidad inicial
g=9.8; %aceleración de la gravedad
b=0.01; %rozamiento proporcional a la velocidad
hold on
for ang=(15:15:175)*pi/180
    %trayectorias
    u=-1-b*v0*sin(ang)/g;
    T=(-u+lambertw(0,u*exp(u)))/b
    fplot(@(t) v0*cos(ang)*(1-exp(-b*t))/b, @(t) (g/b^2+v0*sin(ang)/b)
*(1-exp(-b*t))-g*t/b,[0,T]);
    %máximos
    xm=v0^2*sin(ang)*cos(ang)/(g+b*v0*sin(ang)); 
    ym=v0*sin(ang)/b-g*log(1+b*v0*sin(ang)/g)/b^2;
    plot(xm,ym,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Máximos de la trayectoria')

La forma explícita de la curva que une los puntos correspondientes al máximo de la trayectoria es muy complicada

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo)

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha, se muestra el alcance R de cada uno de los proyectiles que se ha calculado resolviendo la ecuación trascendente en R. Observamos que el máximo alcance no se obtiene siempre para el ángulo de disparo de 45º.


Referencias

Apartado 'Angulo de tiro óptimo'

Seán M Stewart. On the trajectories of projectiles depicted in early ballistic woodcuts. Eur. J. Phys. 33 (2012) pp. 149-166