Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

Un proyectil de masa m que se dispara desde el origen con velocidad v0, haciendo un ángulo θ0 con la horizontal

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

m d v x dt =mb v x m d v y dt =mgmb v y

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son

dx dt = v 0x exp( bt ) dy dt =( g b + v 0y )exp( bt ) g b

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

x= v 0x b ( 1exp( bt ) ) y= 1 b ( g b + v 0y )( 1exp( bt ) ) g b t

Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro θ0 . Las velocidades iniciales son

v0x=v0·cosθ0
v0y=v0·sinθ0

Alcance del proyectil, altura máxima y tiempo de vuelo

El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcance del proyectil.

En la primera ecuación, ponemos x=R y despejamos el tiempo de vuelo t,

t= 1 b ln( 1 Rb v 0x )

sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

( g b + v 0y ) R v 0x + g b 2 ln( 1 Rb v 0x )=0 (1)

En la página titulada La función W de Lambert, se expresa el alcance R en términos de la función W de Lambert

La ecuación (1) es una ecuación trascendente en R, que se resolverá por procedimientos numéricos

b=0.05; %parámetro
v0=60;  %velocidad incial
R=zeros(1,70);
i=0;
for angulo=(10:80)*pi/180;
    i=i+1;
    v0x=v0*cos(angulo);
    v0y=v0*sin(angulo);
    f=@(x) (9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*log(1.0-x*b/v0x)/b^2;
    R0=v0^2*sin(2*angulo)/9.8; %alcance sin rozamiento
    R(i)=fzero(f,R0);  %alcance 
end
plot(10:80,R)
grid on
ylabel('Alcance (m)')
xlabel('\theta')
title('Tiro parabólico con rozamiento')

El alcance máximo ya no se produce para el ángulo θ=45°

La altura máxima, como vy=dy/dt=0, despejamos el tiempo t y se introduce en la expresión de y

t= 1 b ln( 1+ b v 0y g )y= v 0y b g b 2 ln( 1+ b v 0y g )

Dibujamos la trayectoria de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 y con ángulos de tiro θ de 10,15,20,25,30,35,40,y 45°

b=0.01; %parámetro
v0=60;  %velocidad incial

hold on
for angulo=(10:5:45)*pi/180;
    v0x=v0*cos(angulo);
    v0y=v0*sin(angulo);

    f=@(x) (9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*log(1.0-x*b/v0x)/b^2;
    R0=v0^2*sin(2*angulo)/9.8;
    R=fzero(f,R0);  %alcance 
    T=-log(1-b*R/v0x)/b; %tiempo de vuelo
    t=linspace(0,T,50);
    x=v0x*(1-exp(-b*t))/b;
    y=(9.8/b+v0y)*(1-exp(-b*t))/b-9.8*t/b;
    plot(x,y) %trayectoria
end
hold off
xlabel('x(m)')
ylabel('y(m)')
title('Tiro parabólico con rozamiento')

Aproximaciones

Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b en la ecuación trascendente (1)

ln( 1 bR v 0x )ln(1)+ 1 1! R/ v 0x 1bR/ v 0x | b=0 b+ 1 2! R 2 / v 0x 2 ( 1bR/ v 0x ) 2 | b=0 b 2 + 1 3! 2 R 3 / v 0x 3 ( 1bR/ v 0x ) 3 | b=0 b 3 = R v 0x b 1 2 R 2 v 0x 2 b 2 1 3 R 3 v 0x 3 b 3

Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R

2b 3 v 0 cosθ R 2 +R R 0 =0 R 0 = 2 v 0x v 0y g

Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.

Ejemplo: Sea v0=60 m/s. y θ=45º

Cuando no se considera rozamiento el alcance es

R 0 = v 0 2 sin(2θ) g = 60 2 sin90 9.8 =367.3m

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo)

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha, se muestra el alcance R de cada uno de los proyectiles que se ha calculado resolviendo la ecuación trascendente en R. Observamos que el máximo alcance no se obtiene siempre para el ángulo de disparo de 45º.