Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido viscoso.

Para pequeños números Re<1, la fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R es

F r =6πηRv

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve en régimen laminar en un medio es proporcional a la velocidad.

Para grandes números Re, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente constante Cd0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale

F r =0.2 ρ f π R 2 v 2

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido ρe), y que se mueve en un medio de densidad ρf . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s2

Movimiento en el vacío.

La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado.

v= v 0 gt x= v 0 t 1 2 g t 2

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el peso, el empuje y la fuerza de rozamiento.

La ecuación del movimiento en su movimiento ascendente es

m dv dt = ρ f 4 3 π R 3 g ρ e 4 3 π R 3 g6πηRv

Escribimos esta ecuación de forma más sencilla

dv dt =GαvG=( 1 ρ f ρ e )gα= 9η 2 R 2 ρ e

Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v0.

v=( v 0 + G α )exp( αt ) G α

Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.

x= G α 2 ( 1+ α v 0 G )( 1exp(αt) ) G α t

Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del movimiento ya que la velocidad cambia de signo.

Ejemplo

Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v0=0.01 m/s.

Datos: densidad de la arena  ρe=2670 kg/m3, densidad del agua ρf = 1000 kg/m3,  viscosidad η =0.001 kg/(m·s).

El valor de G=6.14 m/s2 y el de α =4213 s-1.

El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes.

Re= 1000·2·0.02· 10 3 ·0.01 0.001 =0.4

Comparamos el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=0.01 m/s y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua.

Observamos cómo el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante.

rho=1000; %densidad del agua
eta=0.001; %viscosidad
rho_s=2670; %densidad de la arena
r=0.02e-3; %%radio del grano de arena

alpha=9*eta/(2*r^2*rho_s);
G=(1-rho/rho_s)*9.8;

v0=0.01; %velocidad inicial
t=linspace(0,0.002,100);
v=v0-9.8*t; %vacío
vv=(v0+G/alpha)*exp(-alpha*t)-G/alpha; %agua
plot(t,v,t,vv);
legend('vacío','agua')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Movimiento vertical de una esfera')

Creamos un script similar para comparar la posición del grano de arena en el agua y en el vacío, lanzando hacia arriba con la misma velocidad inicial v0

rho=1000; %densidad del agua
eta=0.001; %viscosidad
rho_s=2670; %densidad de la arena
r=0.02e-3; %%radio del grano de arena

alpha=9*eta/(2*r^2*rho_s);
G=(1-rho/rho_s)*9.8;

v0=0.01; %velocidad inicial
t=linspace(0,0.002,100);
x=v0*t-9.8*t.^2/2;  %vacío
xx=(G/alpha^2)*(1+alpha*v0/G)*(1-exp(-alpha*t))-G*t/alpha; %agua
plot(t,x,t,xx);
legend('vacío','agua')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Movimiento vertical de una esfera')

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad

Como la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo. Por tanto, tenemos que plantear las ecuaciones del movimiento en dos etapas, cuando el cuerpo asciende y cuando el cuerpo desciende.

Ejemplo:

Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y su radio de R=15 cm. Sabiendo que la densidad del aire es ρf =1.293 kg/m3 y su viscosidad es η=17.1 10-6 kg/(m·s).

El valor de G=7.53 m/s2 y el de γ =0.176 s/m. El número de Reynolds es en el momento del lanzamiento de la pelota vale

Re= 1.293·2·0.15·5 17.1· 10 6 =113421

El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de Reynolds esté dentro del intervalo 1000<Re<200000.

Comparamos el movimiento de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=5 m/s , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo de la pelota en el aire .

rho=1.293; %densidad del aire
eta=17.1e-6; %viscosidad
masa=78.3e-3; %masa de la pelota
r=15e-2; %radio de la pelota
rho_s=masa/(4*pi*r^3/3); %densidad de la pelota

G=(1-rho/rho_s)*9.8;
gamma=sqrt(0.15*rho/(rho_s*r*G));

v0=5; %velocidad inicial
t_up=atan(gamma*v0)/(gamma*G);
t_down=log(gamma*v0+sqrt(1+(gamma*v0)^2))/(gamma*G);
t=linspace(0,t_up+t_down,100);
vv=(tan(-gamma*G*t+atan(gamma*v0))/gamma).*(t<t_up)
+(-tanh(gamma*G*(t-t_up))/gamma).*(t>t_up);
v=v0-9.8*t;  %vacío
plot(t,v, t,vv);
legend('vacío','aire')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Movimiento vertical de una esfera')

Creamos un script similar para comparar la posición de la pelota en el aire y en el vacío, lanzando hacia arriba con la misma velocidad inicial v0

rho=1.293; %densidad del aire
eta=17.1e-6; %viscosidad
masa=78.3e-3; %masa de la pelota
r=15e-2; %radio de la pelota
rho_s=masa/(4*pi*r^3/3); %densidad de la pelota

G=(1-rho/rho_s)*9.8;
gamma=sqrt(0.15*rho/(rho_s*r*G));

v0=5; %velocidad inicial
t_up=atan(gamma*v0)/(gamma*G);
t_down=log(gamma*v0+sqrt(1+(gamma*v0)^2))/(gamma*G);
t=linspace(0,t_up+t_down,100);
xx=(log(sqrt(1.0+(gamma*v0)^2)*cos(-gamma*G*t+atan(gamma*v0)))
/(G*gamma^2)).*(t<t_up)
+(log(sqrt(1.0+(gamma*v0)^2)./cosh(gamma*G*(t-t_up)))
/(G*gamma^2)).*(t>t_up);           
x=v0*t-9.8*t.^2/2;  %vacío
plot(t,x, t,xx);
legend('vacío','aire')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Movimiento vertical de una esfera')

Caída de un cuerpo en el seno de un fluido viscoso

Supongamos un cuerpo de densidad ρ, de volumen V, sección trasversal A (perpendicular a la dirección del movimiento). La fuerza de rozamiento vale

F r = 1 2 C d ρ f A v 2

ρf es la densidad del medio y Cd se denomina coeficiente de arrastre, es una función del número de Reynolds, Re. Para grandes números Re, es aproximadamente constante

La ecuación del movimiento es ma=mg-E-Fr. mg es el peso, E es el empuje y Fr es la fuerza de rozamiento en sentido contario de la velocidad v

ρV dv dt =ρVg ρ f Vg 1 2 C d ρ f A v 2

Que escribimos de forma de forma alternativa

dv dt =G( 1 γ 2 v 2 ) G=g( 1 ρ f ρ )γ= 1 2 ρ f ρ A V C d G

Ya hemos estudiado la esfera A=π·R2 y V=4πR3/3, Cd=0.4

γ= 0.15 ρ f ρRG

Integramos la velocidad v respecto del tiempo t y a continuación, el desplazamiento x, sabiendo que en el instante inicial, t=0, x=0, v=0.

v= 1 γ tanh( γGt ) x= 1 γ 2 G ln( cosh(γGt) )

Velocidad límite constante se obtiene cuando la aceleración es cero

v = 1 γ = 2g V C d A ( ρ ρ f 1 )

Midiendo la velocidad límite constante v obtenemos el coeficiente de arrastre Cd. En la práctica es complicado decidir cuando el cuerpo ha alcanzado aproximadamente esta velocidad.Una alternativa es medir el desplazamiento x del cuerpo durante un tiempo t.

Dado el desplazamiento x del cuerpo durante un tiempo t, resolvemos la ecuación trascendente

x γ 2 G=ln( cosh(γGt) )

Definimos las variables, z=γGt y k=xGγ2

k z 2 =ln( cosh(z) )

>> k=0.35;
>> f=@(z) k*z^2-log(cosh(z));
>> raiz=fzero(f,1)
 raiz =    1.7994   

Dado el valor de k obtenemos la raíz z, calculamos γ y despejamos el coeficiente de arrastre Cd

Referencias

Ahmed Houari. Determining the drag coefficient of rotational symmetric objects falling through liquids. Eur. J. Phys. 33 (2012) 947-954.