Efecto del viento en el movimiento del proyectil
Se supone que el efecto del viento sobre el proyectil es el de una fuerza proporcional a la velocidad relativa entre el viento y el proyectil. Sea u la velocidad del viento y α el ángulo que hace la dirección de esta velocidad con el eje X
Las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y se escriben
Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro θ0. Las componenets de las velocidades iniciales son
v0x=v0·cosθ0
v0y=v0·sinθ0
Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos
Alcance
En la segunda ecuación, ponemos y=0 y obtenemos el tiempo de vuelo t, sustituimos t en la primera ecuación para determinar el alcance.
Representamos el alcance R en función del ángulo de tiro θ0. La velocidad de disparo es v0=50 m/s, la velocidad del viento u=v0/2 y la dirección del viento es contraria a la del proyectil α=π (180°).
b=0.05; %parámetro, rozamiento v0=60; %velocidad de disparo u=v0/2; %velocidad del viento alfa=pi; %dirección R=zeros(1,70); i=0; for angulo=(10:80)*pi/180; i=i+1; f=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*(1-exp(-b*t)) /b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t; T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento t=fzero(f,T0); %tiempo de vuelo R(i)=u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b; end plot(10:80,R) grid on ylabel('Alcance (m)') xlabel('\theta_0') title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')
Trayectorias
Se denomina ángulo crítico θc, aquél que hace que el alcance sea cero. En la primera ecuación ponemos x=0, y en la segunda y=0. Resolvemos el sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ0.
Con los mismos datos para el rozamiento b, velocidad de disparo v0, velocidad u y dirección del viento α, calculamos el ángulo crítico θc y representamos las trayectorias para el angulo crítico θc, 0.9·θc, 1.1·θc
La primera es una recta, la segunda va hacia atrás y la tercera hacia adelante
b=0.05; %parámetro, rozamiento v0=60; %velocidad de disparo u=v0/2; %velocidad del viento alfa=pi; %dirección f_x=@(t,angulo) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b; f_y=@(t,angulo) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))* (1-exp(-b*t))/b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t; f=@(x) [f_x(x(1),x(2)),f_y(x(1),x(2))]; %sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x0=[v0*sqrt(2)/4, pi/4]; [x,fval] = fsolve(f,x0); fprintf('La solución es: tiempo vuelo=%1.3f, ángulo crítico=%1.3f\n',x(1),x(2)*180/pi); fprintf('Valores de la función = %g\n',fval) hold on ang_tiro=x(2); %angulo crítico tt=linspace(0,x(1),100); x1=f_x(tt, ang_tiro); y1=f_y(tt, ang_tiro); plot(x1,y1); ang_tiro=x(2)*0.9; %menor que el ángulo crítico Y=@(t) f_y(t, ang_tiro); T0=2*v0*sin(ang_tiro)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento t=fzero(Y,T0); %tiempo de vuelo tt=linspace(0,t,100); x1=f_x(tt, ang_tiro); y1=f_y(tt, ang_tiro); plot(x1,y1); ang_tiro=x(2)*1.1; %mayor que el ángulo crítico Y=@(t) f_y(t, ang_tiro); T0=2*v0*sin(ang_tiro)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento t=fzero(Y,T0); %tiempo de vuelo tt=linspace(0,t,100); x1=f_x(tt, ang_tiro); y1=f_y(tt, ang_tiro); plot(x1,y1); hold off grid on legend('\theta_c','0.9\theta_c','1.1\theta_c', 'location','northwest') xlabel('x') ylabel('y') title('Tiro con rozamiento y viento')
a solución es: tiempo vuelo=11.085, ángulo crítico=81.298
Con los mismos datos para el rozamiento b, velocidad de disparo v0, velocidad u y dirección del viento α, representamos las trayectorias para varios ángulos de tiro entre 10, 15,20...45°
b=0.01; %parámetro v0=60; %velocidad de disparo u=v0/2; %velocidad del viento alfa=pi; %dirección hold on for angulo=(10:5:45)*pi/180; f_x=@(t) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b; f_y=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))* (1-exp(-b*t))/b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t; T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento t=fzero(f_y,T0); %tiempo de vuelo tt=linspace(0,t,100); x1=f_x(tt); y1=f_y(tt); plot(x1,y1); end hold off grid on xlabel('x(m)') ylabel('y(m)') title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')
Supongamos ahora que lanzamos el proyectil verticalmente hacia arriba θ=π/2 con velocidad v0, y sopla el viento horizontalmente α=0, con velocidad u=v0/2. Vamos a representar la trayectoria del proyectil y la velocidad relativa u-vx en función del tiempo. De este modo, apreciamos el tiempo necesario para que el proyectil viaje a la misma velocidad que el viento
b=0.01; %parámetro v0=60; %velocidad de disparo u=v0/2; %velocidad del viento alfa=0; %dirección angulo=pi/2; %ángulo de disparo f_x=@(t) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b; f_y=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*(1-exp(-b*t))/b -(9.8/b-u*sin(alfa))*t; f_vx=@(t) u*cos(alfa)+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*exp(-b*t); T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento t=fzero(f_y,T0); %tiempo de vuelo tt=linspace(0,t,100); plot(f_x(tt),f_y(tt)); grid on xlabel('x(m)') ylabel('y(m)') title('Tiro parabólico con rozamiento y viento') figure plot(tt, u*cos(alfa)-f_vx(tt)); grid on xlabel('t') ylabel('v_x-u*cos(\alpha)') title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')
Vemos que al cabo de 12 s la velocidad horizontal del proyectil se iguala a la del viento ucos(α)=vx
Actividades
Se introduce:
- El valor del parámetro b en unidades s-1, el control titulado Parámetro b
- La velocidad inicial v0 en el control titulado Velocidad inicial.
- La velocidad del viento u en el control titulado Velocidad viento.
- La dirección de la velocidad del viento α en el control titulado Dirección.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º
En la parte superior derecha, se muestra el alcance R de cada uno de los proyectiles que se ha calculado resolviendo la ecuación trascendente en R. Observamos que el máximo alcance no se obtiene siempre para el ángulo de disparo de 45º.
Referencias
Reginald Christian Bernardo, Jose Perico Esgerra, Jazmine Day Vallejos, Jeff Jerard Canda. Wind-influenced projectile motion. Eur. J. Phys. 36(2015) 025016.