Efecto del viento en el movimiento del proyectil

Se supone que el efecto del viento sobre el proyectil es el de una fuerza proporcional a la velocidad relativa entre el viento y el proyectil. Sea u la velocidad del viento y α el ángulo que hace la dirección de esta velocidad con el eje X

Las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y se escriben

$\begin{array}{l} m \frac{d v_{x}}{d t} = - m b (v_{x} - u \cos α) \\ m \frac{d v_{y}}{d t} = - m g - m b (v_{y} - u \sin α) \end{array}$

Para un proyectil disparado con velocidad v₀ y ángulo de tiro θ₀. Las componenets de las velocidades iniciales son

v_0x=v₀·cosθ₀
v_0y=v₀·sinθ₀

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = u \cos α + (v_{0} \cos θ_{0} - u \cos α) \exp (- b t) \\ \frac{d y}{d t} = (\frac{g}{b} + v_{0} \sin θ_{0} - u \sin α) \exp (- b t) - \frac{g}{b} + u \sin α \end{array}$

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

$\begin{array}{l} x = (u \cos α) t + \frac{1}{b} (v_{0} \cos θ_{0} - u \cos α) (1 - \exp (- b t)) \\ y = \frac{1}{b} (\frac{g}{b} + v_{0} \sin θ_{0} - u \sin α) (1 - \exp (- b t)) - (\frac{g}{b} - u \sin α) t \end{array}$

Alcance

En la segunda ecuación, ponemos y=0 y obtenemos el tiempo de vuelo t, sustituimos t en la primera ecuación para determinar el alcance.

Representamos el alcance R en función del ángulo de tiro θ₀. La velocidad de disparo es v₀=50 m/s, la velocidad del viento u=v₀/2 y la dirección del viento es contraria a la del proyectil α=π (180°).

b=0.05; %parámetro, rozamiento
v0=60;  %velocidad de disparo
u=v0/2; %velocidad del viento
alfa=pi; %dirección
R=zeros(1,70);
i=0;
for angulo=(10:80)*pi/180;
    i=i+1;
    f=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*(1-exp(-b*t))
/b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t;
    T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento
    t=fzero(f,T0); %tiempo de vuelo
    R(i)=u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b; 
end
plot(10:80,R)
grid on
ylabel('Alcance (m)')
xlabel('\theta_0')
title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')

Trayectorias

Se denomina ángulo crítico θ_c, aquél que hace que el alcance sea cero. En la primera ecuación ponemos x=0, y en la segunda y=0. Resolvemos el sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ₀.

Con los mismos datos para el rozamiento b, velocidad de disparo v₀, velocidad u y dirección del viento α, calculamos el ángulo crítico θ_c y representamos las trayectorias para el angulo crítico θ_c, 0.9·θ_c, 1.1·θ_c

La primera es una recta, la segunda va hacia atrás y la tercera hacia adelante

b=0.05; %parámetro, rozamiento
v0=60;  %velocidad de disparo
u=v0/2; %velocidad del viento
alfa=pi; %dirección
 
f_x=@(t,angulo) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b;
f_y=@(t,angulo) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*
(1-exp(-b*t))/b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t;
f=@(x) [f_x(x(1),x(2)),f_y(x(1),x(2))];
 
%sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
x0=[v0*sqrt(2)/4, pi/4];
[x,fval] = fsolve(f,x0); 
fprintf('La solución es: tiempo vuelo=%1.3f, 
ángulo crítico=%1.3f\n',x(1),x(2)*180/pi);
fprintf('Valores de la función = %g\n',fval)
 
hold on
ang_tiro=x(2);  %angulo crítico
tt=linspace(0,x(1),100);
x1=f_x(tt, ang_tiro);
y1=f_y(tt, ang_tiro);
plot(x1,y1);
 
ang_tiro=x(2)*0.9; %menor que el ángulo crítico
Y=@(t) f_y(t, ang_tiro);
T0=2*v0*sin(ang_tiro)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento
t=fzero(Y,T0); %tiempo de vuelo
tt=linspace(0,t,100);
x1=f_x(tt, ang_tiro);
y1=f_y(tt, ang_tiro);
plot(x1,y1);
 
ang_tiro=x(2)*1.1; %mayor que el ángulo crítico
Y=@(t) f_y(t, ang_tiro);
T0=2*v0*sin(ang_tiro)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento
t=fzero(Y,T0); %tiempo de vuelo
tt=linspace(0,t,100);
x1=f_x(tt, ang_tiro);
y1=f_y(tt, ang_tiro);
plot(x1,y1);
 
hold off
grid on
legend('\theta_c','0.9\theta_c','1.1\theta_c', 'location','northwest')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Tiro con rozamiento y viento')

a solución es: tiempo vuelo=11.085, ángulo crítico=81.298

Con los mismos datos para el rozamiento b, velocidad de disparo v₀, velocidad u y dirección del viento α, representamos las trayectorias para varios ángulos de tiro entre 10, 15,20...45°

b=0.01; %parámetro
v0=60;  %velocidad de disparo
u=v0/2; %velocidad del viento
alfa=pi; %dirección
 
hold on
for angulo=(10:5:45)*pi/180;
    f_x=@(t) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b;
    f_y=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*
(1-exp(-b*t))/b-(9.8/b-u*sin(alfa))*t;
    T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento
    t=fzero(f_y,T0); %tiempo de vuelo
    tt=linspace(0,t,100);
    x1=f_x(tt);
    y1=f_y(tt);
    plot(x1,y1);
end
hold off
grid on
xlabel('x(m)')
ylabel('y(m)')
title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')

Supongamos ahora que lanzamos el proyectil verticalmente hacia arriba θ=π/2 con velocidad v₀, y sopla el viento horizontalmente α=0, con velocidad u=v₀/2. Vamos a representar la trayectoria del proyectil y la velocidad relativa u-v_x en función del tiempo. De este modo, apreciamos el tiempo necesario para que el proyectil viaje a la misma velocidad que el viento

b=0.01; %parámetro
v0=60;  %velocidad de disparo
u=v0/2; %velocidad del viento
alfa=0; %dirección
angulo=pi/2; %ángulo de disparo

f_x=@(t) u*cos(alfa)*t+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*(1-exp(-b*t))/b;
f_y=@(t) (9.8/b+v0*sin(angulo)-u*sin(alfa))*(1-exp(-b*t))/b
-(9.8/b-u*sin(alfa))*t;
f_vx=@(t) u*cos(alfa)+(v0*cos(angulo)-u*cos(alfa))*exp(-b*t);

T0=2*v0*sin(angulo)/9.8; %tiempo de vuelo sin rozamiento
t=fzero(f_y,T0); %tiempo de vuelo
tt=linspace(0,t,100);
plot(f_x(tt),f_y(tt));
grid on
xlabel('x(m)')
ylabel('y(m)')
title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')

figure
plot(tt, u*cos(alfa)-f_vx(tt));
grid on
xlabel('t')
ylabel('v_x-u*cos(\alpha)')
title('Tiro parabólico con rozamiento y viento')

Vemos que al cabo de 12 s la velocidad horizontal del proyectil se iguala a la del viento ucos(α)=v_x

Actividades

Se introduce:

El valor del parámetro b en unidades s^-1, el control titulado Parámetro b
La velocidad inicial v₀ en el control titulado Velocidad inicial.
La velocidad del viento u en el control titulado Velocidad viento.
La dirección de la velocidad del viento α en el control titulado Dirección.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º

En la parte superior derecha, se muestra el alcance R de cada uno de los proyectiles que se ha calculado resolviendo la ecuación trascendente en R. Observamos que el máximo alcance no se obtiene siempre para el ángulo de disparo de 45º.

Velocidad proyectil (m/s):
Velocidad viento: Dirección:
Rozamiento b<1 (s^-1):

Referencias

Reginald Christian Bernardo, Jose Perico Esgerra, Jazmine Day Vallejos, Jeff Jerard Canda. Wind-influenced projectile motion. Eur. J. Phys. 36(2015) 025016.