La fuerza que ejerce el campo magnético B, paralelo al eje Z, sobre una partícula de masa m, cargada q>0 (positiva), con velocidad v en el plano XY es

${\displaystyle \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}}$

• El módulo es, F=qvB
• La dirección, perpendicular al plano formado por los vectores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{B}$
• Sentido, la regla del sacacorchos

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento crcular uniforme

${\displaystyle \begin{array}{l}qvB=m\frac{v^2}{r}\\ r=\frac{mv}{qB}\end{array}}$

Como |B₂|≤|B₁| entonces r₂≥r₁

Como vemos en la figura, el vector fuerza $\overrightarrow{F}$es perpendicular al vector velocidad $\overrightarrow{v}$, el vector fuerza apunta al centro de la circunferencia de radio r.

Esto es lo que necesitamos saber, para trazar la trayectoria de la partícula cargada que entra en la región con campo B₁ con velocidad v haciendo un ángulo θ con el eje X

B₂ es positivo y B₁ es negativo

El caso más sencillo se produce cuando |B₂|=|B₁|=B

q=1.6e-19; %carga
m=1.67e-27; %masa
B=100e-4; %campo magnético
v=2e5; %velocidad
r=m*v/(q*B); %radio
alfa=pi/3;
x=@(th) r*sin(alfa)+r*cos(th);
y=@(th) r*cos(alfa)+r*sin(th);
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
plot(r*sin(alfa), r*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
fplot(x,y,[-pi/2-alfa,-pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) 3*r*sin(alfa)+r*cos(th);
y=@(th) -r*cos(alfa)+r*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2-alfa,pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) 5*r*sin(alfa)+r*cos(th);
y=@(th) r*cos(alfa)+r*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2-alfa,-pi/2+alfa],'color','r')
hold off
axis equal
axis off

La partícula se desplaza horizontalmente, una longitud L (en color verde), en el tiempo T que tarda en recorrer el arco de cincunferencia de radio r con velocidad constante v

${\displaystyle \begin{array}{l}L=2r\sin \theta \\ T=\frac{2r\theta }{v}\end{array}}$

Se denomina velocidad de deriva v_d al cociente L/T, donde L es el desplazamiento a lo largo del eje X (la línea que separa las dos regiones)

${\displaystyle v_d=\frac{L}{T}=v\frac{\sin \theta }{\theta }}$

Examinamos el caso general |B₂|<|B₁|

q=1.6e-19; %carga
m=1.67e-27; %masa
B1=400e-4; %campo magnético
B2=100e-4; %campo magnético
v=2e5; %velocidad
r1=m*v/(q*B1); %radio
r2=m*v/(q*B2); %
alfa=pi/3;
x=@(th) r1*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
plot(r1*sin(alfa), r1*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
fplot(x,y,[-pi/2-alfa,-pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) (2*r1+r2)*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) -r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2-alfa,pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) (3*r1+2*r2)*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2-alfa,-pi/2+alfa],'color','r')
plot((2*r1+r2)*sin(alfa), -r2*cos(alfa),'ko','markersize',2,
'markerfacecolor','k')
hold off
axis equal
axis off

La partícula se desplaza horizontalmente, una longitud L (en color verde), en el tiempo T que tarda en recorrer los arcos de circunferencia de radios r₁ y r₂ con velocidad constante v

${\displaystyle \begin{array}{l}L=2r_1\sin \theta +2r_2\sin \theta \\ T=\frac{r_1·2\theta }{v}+\frac{r_2·2\theta }{v}\\ v_d=\frac{L}{T}=v\frac{\sin \theta }{\theta }\end{array}}$

La velocidad de deriva v_d es hacia la derecha

B₂ es negativo y B₁ es positivo

q=1.6e-19; %carga
m=1.67e-27; %masa
B1=400e-4; %campo magnético
B2=100e-4; %campo magnético
v=2e5; %velocidad
r1=m*v/(q*B1); %radio
r2=m*v/(q*B2); %
alfa=pi/3;
x=@(th) r1*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) -r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
plot(r1*sin(alfa), -r1*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
fplot(x,y,[pi/2+alfa, 5*pi/2-alfa],'color','r')
x=@(th) -r2*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2+alfa, 3*pi/2-alfa],'color','r')
plot(-r2*sin(alfa), r2*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
x=@(th) (-2*r2-r1)*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) -r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2+alfa, 5*pi/2-alfa],'color','r')
hold off
axis equal
axis off

La partícula se desplaza horizontalmente, una longitud L (en color verde), en el tiempo T que tarda en recorrer los arcos de circunferencia de radios r₁ y r₂ con velocidad constante v

${\displaystyle \begin{array}{l}L=2r_1\sin \theta +2r_2\sin \theta \\ T=\frac{r_1\left(2\pi -2\theta \right)}{v}+\frac{r_2\left(2\pi -2\theta \right)}{v}\\ v_d=\frac{L}{T}=v\frac{\sin \theta }{\pi -\theta }\end{array}}$

La velocidad de deriva v_d es hacia la izquierda

B₂ y B₁ son positivos

q=1.6e-19; %carga
m=1.67e-27; %masa
B1=400e-4; %campo magnético
B2=100e-4; %campo magnético
v=2e5; %velocidad
r1=m*v/(q*B1); %radio
r2=m*v/(q*B2); %radio
alfa=pi/3;
x=@(th) r1*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) -r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
plot(r1*sin(alfa), -r1*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
fplot(x,y,[pi/2+alfa, 5*pi/2-alfa],'color','r')
x=@(th) r2*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) -r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2-alfa, pi/2+alfa],'color','r')
plot(r2*sin(alfa), -r2*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
x=@(th) (2*r2-r1)*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) -r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2+alfa, 5*pi/2-alfa],'color','r')
x=@(th) (3*r2-2*r1)*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) -r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[pi/2-alfa, pi/2+alfa],'color','r')
hold off
axis equal
axis off

La partícula se desplaza horizontalmente, una longitud L (en color verde), en el tiempo T que tarda en recorrer los arcos de circunferencia de radios r₁ y r₂ con velocidad constante v

${\displaystyle \begin{array}{l}L=2r_2\sin \theta -2r_1\sin \theta \\ T=\frac{r_1\left(2\pi -2\theta \right)}{v}+\frac{r_2·2\theta }{v}\\ v_d=\frac{L}{T}=\frac{2\left(r_2-r_1\right)\sin \theta }{\frac{2r_1\left(\pi -\theta \right)}{v}+\frac{2r_2\theta }{v}}=v\frac{r_2-r_1}{\left(r_2-r_1\right)\theta +r_1\pi }\sin \theta \\ v_d=v\frac{1-k}{\left(1-k\right)\theta +k\pi }\sin \theta ,k=\frac{r_1}{r_2}=\frac{B_2}{B_1}\end{array}}$

La velocidad de deriva v_d es hacia la derecha, depende del ángulo θ y del cociente k entre los dos campos mágnéticos

Representamos v_d/v en función del ángulo θ para tres valores de k=0.1, 0.3 y 0.5

hold on
for k=0.1:0.2:0.5
    f=@(th) sin(th)*(1-k)./(th*(1-k)+k*pi);
    fplot(f,[0,pi/2],'displayName',num2str(k))
end
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\theta')
ylabel('v/v_d')
title('Velocidad deriva')

A medida que k se incrementa, v_d alcanza un máximo para cierto valor del ángulo θ

B₂ y B₁ son negativos

q=1.6e-19; %carga
m=1.67e-27; %masa
B1=200e-4; %campo magnético
B2=100e-4; %campo magnético
v=2e5; %velocidad
r1=m*v/(q*B1); %radio
r2=m*v/(q*B2); %radio
alfa=pi/3;
x=@(th) r1*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi])
plot(r1*sin(alfa), r1*cos(alfa),'ko','markersize',2,'markerfacecolor','k')
fplot(x,y,[-pi/2-alfa, -pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) (2*r1-r2)*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2+alfa, 3*pi/2-alfa],'color','r')
plot((2*r1-r2)*sin(alfa), r2*cos(alfa),'ko','markersize',2,
'markerfacecolor','k')
x=@(th) (3*r1-2*r2)*sin(alfa)+r1*cos(th);
y=@(th) r1*cos(alfa)+r1*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2-alfa, -pi/2+alfa],'color','r')
x=@(th) (4*r1-3*r2)*sin(alfa)+r2*cos(th);
y=@(th) r2*cos(alfa)+r2*sin(th);
fplot(x,y,[-pi/2+alfa, 3*pi/2-alfa],'color','r')
hold off
axis equal
axis off

La partícula se desplaza horizontalmente, una longitud L (en color verde), en el tiempo T que tarda en recorrer los arcos de circunferencia de radios r₁ y r₂ con velocidad constante v

${\displaystyle \begin{array}{l}L=2r_2\sin \theta -2r_1\sin \theta \\ T=\frac{r_1·2\theta }{v}+\frac{r_2\left(2\pi -2\theta \right)}{v}\\ v_d=\frac{L}{T}=\frac{2\left(r_2-r_1\right)\sin \theta }{\frac{2r_1\theta }{v}+\frac{2r_2\left(\pi -\theta \right)}{v}}=v\frac{r_2-r_1}{r_2\pi -\left(r_2-r_1\right)\theta }\sin \theta \\ v_d=v\frac{1-k}{\pi -\left(1-k\right)\theta }\sin \theta ,k=\frac{r_1}{r_2}=\frac{B_2}{B_1}\end{array}}$

La velocidad de deriva v_d es hacia la izquierda

Representamos v_d/v en función del ángulo θ para tres valores de k=0.1, 0.3 y 0.5

hold on
for k=0.1:0.2:0.5
    f=@(th) sin(th)*(1-k)./(pi-(1-k)*th);
    fplot(f,[0,pi/2],'displayName',num2str(k))
end
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\theta')
ylabel('v/v_d')
title('Velocidad deriva')

v_d crece con el ángulo θ

Referencias

Vladimir Ivchenko. Motion of charged particles in a stepped magnetic field. Phys. Educ. 61 (2026) 065007