Fuerza repulsiva, $k\overrightarrow{r}$

Ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}+k\overrightarrow{r},k>0\\ \overrightarrow{B}=B\widehat{k}\\ \overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}\end{array}}$

La fuerza repulsiva se encarga de alejar la partícula del origen, mientras que la fuerza que ejerce el campo magnético (perpendicular a la velocidad) se encarga de curvar la trayectoria

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=q\left|\begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ v_x& v_y& v_z\\ 0& 0& B\end{array}\right|+k\left(x\widehat{i}+y\widehat{j}\right)\\ m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=qB\left(v_y\widehat{i}-v_x\widehat{j}\right)+k\left(x\widehat{i}+y\widehat{j}\right)\\ \{\begin{array}{l}\frac{d{v}_x}{dt}={\omega }_c{v}_y+{\omega }_0^{2}x\\ \frac{d{v}_y}{dt}=-{\omega }_c{v}_x+{\omega }_0^{2}y\end{array},{\omega }_c=\frac{qB}{m}>\mathrm{0,}{\omega }_0^2=\frac{k}{m}\end{array}}$

La forma más conveniente de resolver el sistema de estas dos ecuaciones diferenciales es convertirla en una única ecuación diferencial utilizando números complejos. Véase las páginas tituladas El péndulo de Foucault y Movimiento relativo de rotación uniforme

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}={\omega }_c\left(v_y-i{v}_x\right)+{\omega }_0^2\left(x+iy\right)\\ \frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}=-i{\omega }_c\left(v_x+i{v}_y\right)+{\omega }_0^2\left(x+iy\right)\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}+i{\omega }_c\frac{dz}{dt}-{\omega }_0^{2}z=0\end{array}}$

La ecuación característica es

${\displaystyle r^2+i{\omega }_{c}r-{\omega }_0^2=0}$

Que tiene dos raíces r₁ y r₂. Sin embargo, en este ejemplo nos vamos a limitar a estudiar un caso especial, ω₀=ω_c/2

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^2+i{\omega }_{c}r-\frac{{\omega }_c^2}{4}=0\\ {\left(r+i\frac{{\omega }_c}{2}\right)}^2=0\\ r_1=r_2=-i\frac{{\omega }_c}{2}\end{array}}$

La raíz es doble y la solución de la ecuación diferencial tiene la forma

${\displaystyle \begin{array}{l}z=A\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)+Bt\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)=\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\left(A+Bt\right)\\ \frac{dz}{dt}=B\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)-i\frac{{\omega }_c}{2}\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\left(A+Bt\right)=\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\left(B-\left(i\frac{{\omega }_c}{2}\right)\left(A+Bt\right)\right)\end{array}}$

Donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. En este caso, la partícula parte del origen

${\displaystyle t=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}{z}_0=\mathrm{0,}{x}_0=\mathrm{0,}{y}_0=0\\ v_0\ne \mathrm{0,}{v}_0=v_{0x}+i{v}_{0y}\end{array}}$

A=0, B=v₀.

${\displaystyle \begin{array}{l}z=v_{0}t\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\\ x+iy=\left(v_{0x}+i{v}_{0y}\right)t\left(\cos \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)-i\sin \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\right)\\ \{\begin{array}{l}x=t\left(v_{0x}\cos \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)+v_{0y}\sin \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\right)\\ y=t\left(v_{0y}\cos \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)-v_{0x}\sin \left(\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\right)\end{array}\end{array}}$

Ejemplo

• Frecuencia angular, ω_c=1
• Velocidad incial, v_0x=10, v_0y=0

wc=1; %frecuencia ciclotrón
v0x=10; %velocidad inicial
v0y=0;
x=@(t) t.*(v0x*cos(wc*t/2)+v0y*sin(wc*t/2));
y=@(t) t.*(v0y*cos(wc*t/2)-v0x*sin(wc*t/2));
fplot(x,y,[0,30])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

La trayectoria es una espiral del Arquímedes que parte del origen. Comprobación

Escribimos la posición z de la partícula en forma polar

${\displaystyle z=r\exp \left(i\theta \right)}$

Escribimos la velocidad inicial en la forma polar (módulo, argumento φ)

${\displaystyle v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}\exp \left(i\phi \right),\tan \phi =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}}$

La distancia r desde el origen a un punto (x,y) de la trayectoria, se obtiene elevando al cuadrado x e y y sumando. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^2=x^2+y^2=t^2\left(v_{0x}^2+v_{0y}^2\right)\\ r=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}·t\end{array}}$

La posición z en forma polar se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}\exp \left(i\phi \right)·t·\exp \left(-i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\\ z=r·\exp \left(i\phi -i\frac{{\omega }_c}{2}t\right)\\ \theta =\phi -\frac{{\omega }_c}{2}t\end{array}}$

Representamos la trayectoria de la partícula en un diagrama polar

wc=1; %frecuencia ciclotrón
v0x=10; %velocidad inicial
v0y=0;
phi=atan(v0y/v0x);
t=0:0.1:30;
r=sqrt(v0x^2+v0y^2)*t; %distancia
th=phi-wc*t/2; %ángulo
polarplot(th,r)
title('Trayectoria')

Fuerza atractiva, $-k\overrightarrow{r}$

Tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d{v}_x}{dt}={\omega }_c{v}_y-{\omega }_0^{2}x\\ \frac{d{v}_y}{dt}=-{\omega }_c{v}_x-{\omega }_0^{2}y\end{array},{\omega }_c=\frac{qB}{m}>\mathrm{0,}{\omega }_0^2=\frac{k}{m}}$

La forma más conveniente de resolver el sistema de estas dos ecuaciones diferenciales es convertirla en una única ecuación diferencial utilizando números complejos.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}={\omega }_c\left(v_y-i{v}_x\right)-{\omega }_0^2\left(x+iy\right)\\ \frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}=-i{\omega }_c\left(v_x+i{v}_y\right)-{\omega }_0^2\left(x+iy\right)\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}+i{\omega }_c\frac{dz}{dt}+{\omega }_0^{2}z=0\end{array}}$

Las dos raíces de la ecuación característica son

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^2+i{\omega }_{c}r+{\omega }_0^2=0\\ r_{\mathrm{1,2}}=\frac{-i{\omega }_c\pm \sqrt{-{\omega }_c^2-4{\omega }_0^2}}{2}=i\frac{-{\omega }_c\pm \sqrt{{\omega }_c^2+4{\omega }_0^2}}{2}\\ r_1=i\frac{\Omega -{\omega }_c}{2},r_2=-i\frac{\Omega +{\omega }_c}{2},\Omega =\sqrt{{\omega }_c^2+4{\omega }_0^2}\end{array}}$

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}z=A\exp \left(i\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+B\exp \left(-i\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\\ \frac{dz}{dt}=A\left(i\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}\right)\exp \left(i\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-B\left(i\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}\right)\exp \left(-i\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\end{array}}$

Donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales en este caso,

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}{z}_0=x_0+i{y}_0\\ v_0=v_{0x}+i{v}_{0y}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{z}_0=A+B\\ v_0=A\left(i\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}\right)-B\left(i\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}\right)\end{array}\\ B=z_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }+i\frac{v_0}{\Omega },A=z_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }-i\frac{v_0}{\Omega }\\ \{\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left(B\right)=x_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0y}}{\Omega },\mathrm{Im}(B)=y_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0x}}{\Omega }\\ \mathrm{Re}\left(A\right)=x_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0y}}{\Omega },\mathrm{Im}(A)=y_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0x}}{\Omega }\end{array}\end{array}}$

La posición (x, y) de la partícula es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\mathrm{Re}(A)\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-\mathrm{Im}(A)\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+\mathrm{Re}(B)\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+\mathrm{Im}(B)\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\\ y=\mathrm{Re}(A)\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+\mathrm{Im}(A)\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-\mathrm{Re}(B)\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+\mathrm{Im}(B)\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\end{array}}$

Estudiamos primero dos casos particulares:

• ω₀→0, ω_c≠0

Ω=ω_c

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left(B\right)=-\frac{v_{0y}}{{\omega }_c},\mathrm{Im}(B)=\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\\ \mathrm{Re}\left(A\right)=x_0+\frac{v_{0y}}{{\omega }_c},\mathrm{Im}(A)=y_0-\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}-\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\cos \left({\omega }_{c}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\sin \left({\omega }_{c}t\right)\\ y=y_0-\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}+\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\sin \left({\omega }_{c}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\cos \left({\omega }_{c}t\right)\end{array}\end{array}}$

Se trata de una trayectoria circular de centro (x_c, y_c) y radio R

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_c=x_0+\frac{v_{0y}}{{\omega }_c},y_c=y_0-\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\\ R=\frac{1}{{\omega }_c}\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}\end{array}}$

Comprobación

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x-x_c=-\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\cos \left({\omega }_{c}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\sin \left({\omega }_{c}t\right)\\ y-y_c=\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\sin \left({\omega }_{c}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\cos \left({\omega }_{c}t\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{\left(x-x_c\right)}^2={\left(\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\right)}^2{\cos }^2\left({\omega }_{c}t\right)+{\left(\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\right)}^2{\sin }^2\left({\omega }_{c}t\right)-2\frac{v_{0y}{v}_{0x}}{{\omega }_c^2}\cos \left({\omega }_{c}t\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\\ {\left(y-y_c\right)}^2={\left(\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\right)}^2{\sin }^2\left({\omega }_{c}t\right)+{\left(\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\right)}^2{\cos }^2\left({\omega }_{c}t\right)+2\frac{v_{0y}{v}_{0x}}{{\omega }_c^2}\cos \left({\omega }_{c}t\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\frac{v_{0y}}{{\omega }_c}\sin \left({\omega }_{c}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_c}\cos \left({\omega }_{c}t\right)\end{array}\\ {\left(x-x_c\right)}^2+{\left(y-y_c\right)}^2=\frac{v_{0x}^2+v_{0y}^2}{{\omega }_c^2}\end{array}}$

Ejemplo

• Posición inicial, x₀=0, y₀=2
• Velocidad inicial, v_0x=1, v_0y=2
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=1

x0=0; %posición inicial
y0=2;
v0x=1; %velocidad inicial
v0y=2;
wc=1; %frecuencia ciclotrón
x=@(t) x0+v0y/w-v0y*cos(wc*t)/wc+v0x*sin(wc*t)/wc;
y=@(t) y0-v0x/w+v0y*sin(wc*t)/w+v0x*cos(wc*t)/wc;
xc=x0+v0y/wc;
yc= y0-v0x/wc;
R=sqrt(v0x^2+v0y^2)/wc;
hold on
fplot(x,y,[0,2*pi/wc])
%circunferencia de centro xc,yc y radio R
fplot(@(th) xc+R*cos(th),@(th) yc+R*sin(th),[0,2*pi])
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')



• ω₀≠0, ω_c→0

Ω=2ω₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left(B\right)=\frac{x_0}{2}-\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0},\mathrm{Im}(B)=\frac{y_0}{2}+\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\\ \mathrm{Re}\left(A\right)=\frac{x_0}{2}+\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0},\mathrm{Im}(A)=\frac{y_0}{2}-\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=\left(\frac{x_0}{2}+\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0}\right)\cos \left({\omega }_{0}t\right)-\left(\frac{y_0}{2}-\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\right)\sin \left({\omega }_{0}t\right)+\left(\frac{x_0}{2}-\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0}\right)\cos \left({\omega }_{0}t\right)+\left(\frac{y_0}{2}+\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\right)\sin \left({\omega }_{0}t\right)\\ y=\left(\frac{x_0}{2}+\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0}\right)\sin \left({\omega }_{0}t\right)+\left(\frac{y_0}{2}-\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\right)\cos \left({\omega }_{0}t\right)-\left(\frac{x_0}{2}-\frac{v_{0y}}{2{\omega }_0}\right)\sin \left({\omega }_{0}t\right)+\left(\frac{y_0}{2}+\frac{v_{0x}}{2{\omega }_0}\right)\cos \left({\omega }_{0}t\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=x_0\cos \left({\omega }_{0}t\right)+\frac{v_{0x}}{{\omega }_0}\sin \left({\omega }_{0}t\right)\\ y=\frac{v_{0y}}{{\omega }_0}\sin \left({\omega }_{0}t\right)+y_0\cos \left({\omega }_{0}t\right)\end{array}\end{array}}$

Ejemplo

• Posición inicial, x₀=0, y₀=2
• Velocidad inicial, v_0x=1, v_0y=2
• Frecuencia angular, ω₀=0.5
• Tiempo, T=2π/ω₀

x0=0; %posición inicial
y0=2;
v0x=1; %velocidad inicial
v0y=2;
w0=0.5; %frecuencia
x=@(t) x0*cos(w0*t)+v0x*sin(w*t)/w0;
y=@(t) y0*cos(w0*t)+v0y*sin(w0*t)/w0;
fplot(x,y,[0,2*pi/w0])
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')



• Posición inicial, x₀=0, y₀=2
• Velocidad inicial, v_0x=1, v_0y=2
• Frecuencia angular, ω₀=1
• Tiempo, T=2π/ω₀



Una elipse girada

Caso general, ω₀≠0, ω_c≠0

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=\left(x_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0y}}{\Omega }\right)\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-\left(y_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0x}}{\Omega }\right)\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+\left(x_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0y}}{\Omega }\right)\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+\left(y_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0x}}{\Omega }\right)\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\\ y=\left(x_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0y}}{\Omega }\right)\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+\left(y_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0x}}{\Omega }\right)\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-\left(x_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }-\frac{v_{0y}}{\Omega }\right)\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+\left(y_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }+\frac{v_{0x}}{\Omega }\right)\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\end{array}\\ \Omega =\sqrt{{\omega }_c^2+4{\omega }_0^2}\end{array}}$

Ejemplo

• Posición inicial, x₀=2, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=1, v_0y=1
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=1
• Frecuencia angular, ω₀=1
• Tiempo, T=100

x0=2; %posición inicial
y0=0;
v0x=1; %velocdad inicial
v0y=1;
w0=1; %frecuencia 
wc=1; %frecuencia ciclotrón
W=sqrt(wc^2+4*w0^2);
x=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*cos((W-wc)*t/2)-
(y0*(W+wc)/(2*W)-v0x/W)*sin((W-wc)*t/2)+(x0*(W-wc)/(2*W)
-v0y/W)*cos((W+wc)*t/2)+(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*sin((W+wc)*t/2);
y=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*sin((W-wc)*t/2)+
(y0*(W+wc)/(2*W)-v0x/W)*cos((W-wc)*t/2)-(x0*(W-wc)/(2*W)-v0y/W)*
sin((W+wc)*t/2)+(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*cos((W+wc)*t/2);
fplot(x,y,[0,100])
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

La partícula se mueve en la región anular comprendida entre dos circunferecias concéntricas

La partícula está a la misma distancia del origen en los instantes 0 y 2πn/Ω, donde n=1,2,3...Por ejemplo, n=10

x0=2; %posición inicial
y0=0;
v0x=1; %velocidad incial
v0y=1;
w0=1; %frecuencia 
wc=1; %frecuencia ciclotrón
W=sqrt(wc^2+4*w0^2);

x=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*cos((W-wc)*t/2)-
(y0*(W+wc)/(2*W)-v0x/W)*sin((W-wc)*t/2)+(x0*(W-wc)/(2*W)-v0y/W)*
cos((W+wc)*t/2)+(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*sin((W+wc)*t/2);
y=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*sin((W-wc)*t/2)+(y0*(W+wc)/(2*W)-
v0x/W)*cos((W-wc)*t/2)-(x0*(W-wc)/(2*W)-v0y/W)*sin((W+wc)*t/2)+
(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*cos((W+wc)*t/2);
hold on
plot(x(0),y(0),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
n=10; 
fplot(x,y,[0,2*pi*n/W])
line([0,x(0)],[0,y(0)],'color','r')
plot(x(20*pi/W),y(20*pi/W),'bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')

R0=sqrt(x(0)^2+y(0)^2);
R1=sqrt(x(2*pi*n/W)^2+y(2*pi*n/W)^2);
disp([R0,R1])
line([0,x(20*pi/W)],[0,y(20*pi/W)],'color','b')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

La distancia desde el origen a la posción inicial t=0, es r=2 (en rojo). La distancia a la posición que tiene la partícula en el instante 20π/Ω es tambien r=2 (en azul)

    2.0000    2.0000

La partícula cargada parte del origen

• Posición inicial, x₀=0, y₀=0
• Tiempo, T=20π/Ω

La partícula cargada parte de la posición

• Posición inicial, x₀=0, y₀=2
• Tiempo, T=20π/Ω

Para simplificar, supondremos que la partícula parte del reposo, v_0x=0, v_0y=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=x_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-y_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+x_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+y_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\\ y=x_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }\sin \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)+y_0\frac{\Omega +{\omega }_c}{2\Omega }\cos \left(\frac{\Omega -{\omega }_c}{2}t\right)-x_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }\sin \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)+y_0\frac{\Omega -{\omega }_c}{2\Omega }\cos \left(\frac{\Omega +{\omega }_c}{2}t\right)\end{array}\\ \Omega =\sqrt{{\omega }_c^2+4{\omega }_0^2}\end{array}}$

Ejemplo

• Posición inicial, x₀=2, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=0, v_0y=0
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=1
• Frecuencia angular, ω₀=$\sqrt{2}$
• Tiempo, 6π/Ω

Ω=3

x0=2; %posición inicial
y0=0;
v0x=0; %velocidad inicial
v0y=0;
w0=sqrt(2); %frecuencia
wc=1;   %frecuencia ciclotrón
W=sqrt(wc^2+4*w0^2);
x=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*cos((W-wc)*t/2)-(y0*(W+wc)/(2*W)
-v0x/W)*sin((W-wc)*t/2)+(x0*(W-wc)/(2*W)-v0y/W)*cos((W+wc)*t/2)+
(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*sin((W+wc)*t/2);
y=@(t) (x0*(W+wc)/(2*W)+v0y/W)*sin((W-wc)*t/2)+(y0*(W+wc)/(2*W)-
v0x/W)*cos((W-wc)*t/2)-(x0*(W-wc)/(2*W)-v0y/W)*sin((W+wc)*t/2)+
(y0*(W-wc)/(2*W)+v0x/W)*cos((W+wc)*t/2);
plot(x,y,[0,6*pi/W])
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

• Posición inicial, x₀=2, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=0, v_0y=0
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=1
• Frecuencia angular, ω₀=$\sqrt{6}$
• Tiempo, 10π/Ω

Ω=5

• Posición inicial, x₀=2, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=0, v_0y=0
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=3
• Frecuencia angular, ω₀=2
• Tiempo, 10π/Ω

Ω=5

• Posición inicial, x₀=2, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=0, v_0y=0
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=0.3
• Frecuencia angular, ω₀=1
• Tiempo, 100;

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, $-\gamma \overrightarrow{v}$

Las ecuaciones diferenciales del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}-\gamma \overrightarrow{v}\\ m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=q\left|\begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ v_x& v_y& v_z\\ 0& 0& B\end{array}\right|-\gamma \left(v_x\widehat{i}+v_y\widehat{j}\right)\\ m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=qB\left(v_y\widehat{i}-v_x\widehat{j}\right)-\gamma \left(v_x\widehat{i}+v_y\widehat{j}\right)\\ \{\begin{array}{l}\frac{d{v}_x}{dt}={\omega }_c{v}_y-{\omega }_m{v}_x\\ \frac{d{v}_y}{dt}=-{\omega }_c{v}_x-{\omega }_m{v}_y\end{array},{\omega }_c=\frac{qB}{m}>\mathrm{0,}{\omega }_m=\frac{\gamma }{m}\end{array}}$

La forma más conveniente de resolver el sistema de estas dos ecuaciones diferenciales es convertirla en una única ecuación diferencial utilizando números complejos.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}={\omega }_c\left(v_y-i{v}_x\right)-{\omega }_m\left(v_x+i{v}_y\right)\\ \frac{d\left(v_x+i{v}_y\right)}{dt}=-i{\omega }_c\left(v_x+i{v}_y\right)-{\omega }_m\left(v_x+i{v}_y\right)\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}+\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)\frac{dz}{dt}=0\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{dz}{dt}+\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)z\right)=0\end{array}}$

Obtenemos una constante del movimiento

${\displaystyle \frac{dz}{dt}+\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)z=A}$

La solución particular z₁=c, una constante tal que

${\displaystyle z_1=\frac{A}{i{\omega }_c+{\omega }_m}}$

La raíz de la ecuación característica

${\displaystyle \begin{array}{l}r+\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)=0\\ r=-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)\end{array}}$

La solución completa es la suma de la solución particular z₁ y de la homogénea

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{A}{i{\omega }_c+{\omega }_m}+B\exp \left(-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)t\right)\\ \frac{dz}{dt}=-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)B\exp \left(-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)t\right)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se calculan a partir de las condiciones iniciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}z(0)=\frac{A}{i{\omega }_c+{\omega }_m}+B\\ \dot{z}(0)=-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)B\end{array}\\ z(0)=x_0+i{y}_0,\dot{z}(0)=v_{0x}+i{v}_{0y}\\ B=-\frac{\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m},A=\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)z(0)+\dot{z}(0)\end{array}}$

La posición de la partícula cargada z=x+iy es

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)z(0)+\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m}-\frac{\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m}\exp \left(-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)t\right)\\ z=z(0)+\frac{\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m}\left(1-\exp \left(-\left(i{\omega }_c+{\omega }_m\right)t\right)\right)\end{array}}$

Si la partícula parte del origen x₀=0, y₀=0, z(0)=0

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t-i{\omega }_{c}t\right)\right)\\ \frac{dz}{dt}=\dot{z}(0)\exp \left(-{\omega }_{m}t-i{\omega }_{c}t\right)\end{array}}$

La posición (x, y) de la partícula es

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{v_{0x}+i{v}_{0y}}{i{\omega }_c+{\omega }_m}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\left(\cos \left({\omega }_{c}t\right)-i\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right)\right)\\ z=\left(\frac{v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}+i\frac{v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\right)\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)+i\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right)\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)\right)-\frac{v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\\ y=\frac{v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)\right)+\frac{v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\left(v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\left(\left(v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)+\left(v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right)\right)\\ y=\frac{1}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\left(v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c-\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\left(\left(v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-\left(v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c\right)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right)\right)\end{array}\end{array}}$

A medida que transcurre el tiempo, la partícula cargada tiende hacia la posición

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x\left(\infty \right)=\frac{v_{0x}{\omega }_m+v_{0y}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\\ y\left(\infty \right)=\frac{v_{0y}{\omega }_m-v_{0x}{\omega }_c}{{\omega }_c^2+{\omega }_m^2}\end{array}}$

Ejemplo

• Posición inicial, x₀=0, y₀=0
• Velocidad inicial, v_0x=1, v_0y=1
• Frecuencia ciclotrón, ω_c=10
• Frecuencia angular, ω_m=1
• Tiempo, 100;

Representamos la trayectorai que tiende al punto (x(∞), y(∞))

v0x=1; %velocidad inicial
v0y=1;
wc=10; %frecuencia ciclotrón
wm=1; %frecuencia
x=@(t) (v0x*wm+v0y*wc-exp(-wm*t).*((v0x*wm+v0y*wc)*cos(wc*t)+
(v0y*wm-v0x*wc)*sin(wc*t)))/(wc^2+wm^2);
y=@(t) (v0y*wm-v0x*wc-exp(-wm*t).*((v0y*wm-v0x*wc)*cos(wc*t)-
(v0x*wm+v0y*wc)*sin(wc*t)))/(wc^2+wm^2);
fplot(x,y,[0,10])

xf=(v0x*wm+v0y*wc)/(wm^2+wc^2); %posición final
yf=(v0y*wm-v0x*wc)/(wm^2+wc^2);
disp([xf,yf])
disp([x(100),y(100)])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

En el instante t=100, se ha alcanzado casi la posición límite final (x(∞), y(∞))

    0.1089   -0.0891
    0.1089   -0.0891

Representamos x e y en función del tiempo t

v0x=1; %velocidad inicial
v0y=1;
wc=10; %frecuencia ciclotrón
wm=1; %frecuencia
x=@(t) (v0x*wm+v0y*wc-exp(-wm*t).*((v0x*wm+v0y*wc)*cos(wc*t)+
(v0y*wm-v0x*wc)*sin(wc*t)))/(wc^2+wm^2);
y=@(t) (v0y*wm-v0x*wc-exp(-wm*t).*((v0y*wm-v0x*wc)*cos(wc*t)-
(v0x*wm+v0y*wc)*sin(wc*t)))/(wc^2+wm^2);
hold on
fplot(x,[0,6])
fplot(y,[0,6])
hold off
grid on
xlabel('t')
legend('x','y','location','best')
ylabel('x,y')
title('x e y en función de t')

La distancia r desde el origen a la posición (x, y) de la partícula es

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^2=\mathrm{Re}\left(z·z^{*}\right)\\ z·z^{*}=\frac{\dot{z}(0)}{i{\omega }_c+{\omega }_m}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t-i{\omega }_{c}t\right)\right)\frac{{\dot{z}}^{*}(0)}{-i{\omega }_c+{\omega }_m}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t+i{\omega }_{c}t\right)\right)\\ z·z^{*}=\frac{v_{0x}^2+v_{0y}^2}{{\omega }_m^2+{\omega }_c^2}\left(1-\exp \left(-{\omega }_{m}t+i{\omega }_{c}t\right)-\exp \left(-{\omega }_{m}t-i{\omega }_{c}t\right)+\exp \left(-2{\omega }_{m}t\right)\right)\\ r^2=\frac{v_{0x}^2+v_{0y}^2}{{\omega }_m^2+{\omega }_c^2}\left(1-2\exp \left(-{\omega }_{m}t\right)\cos \left({\omega }_{c}t\right)+\exp \left(-2{\omega }_{m}t\right)\right)\\ r^2\left(\infty \right)=\frac{v_{0x}^2+v_{0y}^2}{{\omega }_m^2+{\omega }_c^2}\end{array}}$

Representamos r/r(∞) en función de t para dos valores de ω_c

v0x=1; %velocidad inicial
v0y=1;
wm=1; %frecuencia
hold on
for wc=[10,0.5]
    r=@(t) sqrt(1-2*exp(-wm*t).*cos(wc*t)+exp(-2*wm*t));
    fplot(r,[0,6])
end
hold off
grid on
legend('10','0.5','location','best')
xlabel('t')
ylabel('r')
title('r en función de t')

Referencias

Orion Ciftja, Cleo L Bentley Jr. Spiral motion of a charged particle in a perpendicular magnetic field caused by a critically tuned repulsive force. Phys. Scr. 101 (2026) 165201

Orion Ciftja. Two-dimensional motion of a parabolically confined charged particle in a perpendicular magnetic field. Cent. Eur. J. Phys. 11(2), 2013, 173-181

Jana Tóthová, Ján Buša, Vladimír Lisý. Charged particle in a magnetic field: from basic physics to Brownian motion. Eur. J. Phys. 47 (2026) 035712