El campo magnético producido por un dipolo, de momento dipolar magnético $\overrightarrow{m}$ , situado en el origen, en coordenadas polares es

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3(\overrightarrow{m}·\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{m}}{r^5}\\ \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\left(3m\cos \left(\pi -\theta \right)\widehat{r}+m\widehat{k}\right)=\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\left(3\cos \left(\pi -\theta \right)\widehat{r}+\left(\cos \theta ·\widehat{r}-\sin \theta ·\widehat{\theta }\right)\right)=\\ \overrightarrow{B}=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\left(2\cos \theta ·\widehat{r}+\sin \theta ·\widehat{\theta }\right)\end{array}}$

El potencial vector es

${\displaystyle \overrightarrow{A}=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^2}\sin \theta ·\widehat{\phi }}$

Comprobación

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\frac{1}{r\sin \theta }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\left(A_{\phi }\sin \theta \right)-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }\right)\widehat{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial \left(r{A}_{\phi }\right)}{\partial r}\right)\widehat{\theta }+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial \left(r{A}_{\theta }\right)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }\right)\widehat{\phi }\\ A_r=\mathrm{0,}{A}_{\theta }=\mathrm{0,}{A}_{\phi }=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^2}\sin \theta \\ \overrightarrow{B}=\frac{1}{r\sin \theta }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\left(A_{\phi }\sin \theta \right)\right)\widehat{r}+\frac{1}{r}\left(-\frac{\partial \left(r{A}_{\phi }\right)}{\partial r}\right)\widehat{\theta }=-\frac{{\mu }_{0}m}{2\pi r^2}\cos \theta ·\widehat{r}-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}\sin \theta ·\widehat{\theta }\end{array}}$

La velocidad de la partícula es

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\widehat{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }+r\sin \theta ·\frac{d\phi }{dt}\widehat{\phi }}$

La energía cinética

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}M\overrightarrow{v}·\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}M\left({\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+r^2{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)}$

La energía potencial es

${\displaystyle E_p=-q\overrightarrow{v}·\overrightarrow{A}=-q\left(r\sin \theta ·\frac{d\phi }{dt}\right)\left(-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^2}\sin \theta \right)=\frac{{\mu }_{0}qm}{4\pi r}{\sin }^2\theta \frac{d\phi }{dt}}$

La partícula cargada se mueve sobre una superficie esférica de radio R

El radio es constante r=R, dr/dt=0

La energía cinética de la partícula es

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}M{R}^2\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)}$

La energía potencial es

${\displaystyle E_p=k·{\sin }^2\theta \frac{d\phi }{dt},k=\frac{{\mu }_{0}qm}{4\pi R}}$

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una partícula en movimiento es $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Esta fuerza, perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo alguno. La energía de la partícula es solamente cinética, el módulo de su velocidad es constante

${\displaystyle E=E_k=\frac{1}{2}M{R}^2\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)}$

La lagrangiana es

${\displaystyle L=E_k-E_p=\frac{1}{2}M{R}^2\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)-k{\sin }^2\theta \frac{d\phi }{dt}}$

Ecuaciones del movimiento

• En θ

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0\\ M{R}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=M{R}^2\sin \theta ·\cos \theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2-2k\sin \theta ·\cos \theta \frac{d\phi }{dt}\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{1}{M{R}^2}\left(M{R}^2\frac{d\phi }{dt}-2k\right)\sin \theta ·\cos \theta \frac{d\phi }{dt}\end{array}}$

• La lagrangiana no depende de φ. Además de la energía E, definimos una nueva constante del movimiento p_φ

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\\ \frac{d}{dt}\left(M{R}^2{\sin }^2\theta \frac{d\phi }{dt}-k{\sin }^2\theta \right)=0\\ p_{\phi }=\left(M{R}^2\frac{d\phi }{dt}-k\right){\sin }^2\theta =\text{cte}\end{array}}$

El sistema de dos ecuaciones diferenciales del movimiento es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d\phi }{dt}=\frac{1}{M{R}^2}\left(\frac{p_{\phi }}{{\sin }^2\theta }+k\right)\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{1}{M^2{R}^4}\left(\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^4\theta }-k^2\right)\sin \theta ·\cos \theta \end{array}}$

Energía potencial efectiva

La energía de la partícula cargada es

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}M{R}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{2M{R}^2}{\left(\frac{p_{\phi }}{{\sin }^2\theta }+k\right)}^2\\ E=\frac{1}{2}M{R}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+V_{ef}\left(\theta \right)\\ V_{ef}\left(\theta \right)=\frac{1}{2M{R}^2}\frac{{\left(p_{\phi }+k{\sin }^2\theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }\end{array}}$

• Es una función simétrica respecto del ángulo θ=π/2, (ecuador)
• El potencial V_ef se hace infinito cuando θ=0 y π, (polos)

Casos

• p_φ<k

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{V}_{ef}}{d\theta }=\frac{1}{M{R}^2}\left(p_{\phi }+k{\sin }^2\theta \right)\frac{2k{\sin }^2\theta -p_{\phi }-k{\sin }^2\theta }{{\sin }^3\theta }\cos \theta =-\frac{p_{\phi }+k{\sin }^2\theta }{M{R}^2}\frac{\cos \theta }{{\sin }^3\theta }\left(p_{\phi }-k{\sin }^2\theta \right)\\ \frac{d{V}_{ef}}{d\theta }=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}\sin \theta =\sqrt{\frac{p_{\phi }}{k}},{\theta }_s=\arcsin \left(\sqrt{\frac{p_{\phi }}{k}}\right),\pi -{\theta }_s\\ \cos \theta =\mathrm{0,}{\theta }_i=\frac{\pi }{2}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{V}_{ef}\left({\theta }_s\right)=\frac{2k{p}_{\phi }}{M{R}^2}\\ V_{ef}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\left(p_{\phi }+k\right)}^2}{2M{R}^2}\end{array}\end{array}}$

Hay dos posiciones de equilibrio estable θ_s y π-θ_s y una posición de equilibrio inestable en θ=π/2

Datos

• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_θ=0.2k
• Radio de la esfera, R=10

 

Representamos la energía potencial efectiva, V_ef en función de θ en el intervalo [0,π]. Señalamos, las posiciones de equilibrio estable (en rojo) e inestable (en azul)

M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;
%esfera
R=10; %radio
f=@(x) (p+k*sin(x).^2).^2./(2*M*R^2*sin(x).^2);
hold on
fplot(f,[0.15,pi-0.15])
%mínimo
ths=asin(sqrt(p/k));
min=2*p*k/(M*R^2);
plot(ths,min,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(pi-ths,min,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
%máximo
max=(p+k)^2/(2*M*R^2);
plot(pi/2,max,'bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
hold off
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2',
'2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('V_{ef}')
title('Energía potencial efectiva')



Posiciones de equilibrio

• Estable: θ_s=0.4636 (26.6°), π-θ_s=2.6779 (153.4°).
• Inestable: θ_i=π/2

>> ths
ths =    0.4636
>> pi-ths
ans =    2.6779>> min
min =   5.0000e-04
>> max
max =   9.0000e-04

• Mínimo

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{\phi }=\left(M{R}^2\frac{d\phi }{dt}-k\right){\sin }^2\theta \\ p_{\phi }=\left(M{R}^2\frac{d\phi }{dt}-k\right)\frac{p_{\phi }}{k}\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{2k}{M{R}^2}\end{array}}$

La velocidad angular dφ/dt es constante. El periodo es

${\displaystyle T_{\phi }=\frac{2\pi }{\frac{2k}{M{R}^2}}=\pi \frac{M{R}^2}{k}}$

• Máximo

La velocidad angular dφ/dt es constante.

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{\phi }=M{R}^2\frac{d\phi }{dt}-k\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{p_{\phi }+k}{M{R}^2}\end{array}}$

Descripción cualitativa del movimiento de la partícula cargada

Dada la energía E de la partícula cargada determinaremos el intervalo θ en el que se mueve

• Para una energía E comprendida entre el mínimo y el máximo, V_ef(θ_s)<E<V_ef(π/2).

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2M{R}^2}\frac{{\left(p_{\phi }+k{\sin }^2\theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }\\ k^2{\sin }^4\theta +2\left(p_{\phi }k-M{R}^{2}E\right){\sin }^2\theta +p_{\phi }^2=0\\ x_{\mathrm{1,2}}=\frac{M{R}^{2}E-p_{\phi }k\pm \sqrt{M{R}^{2}E\left(M{R}^{2}E-2p_{\phi }k\right)}}{k^2}\\ {\theta }_{\mathrm{1,2}}=\arcsin \left(\sqrt{x_{\mathrm{1,2}}}\right)\end{array}}$

• Para una energía E mayor que el máximo, E>V_ef(π/2).

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_3=\frac{M{R}^{2}E-p_{\phi }k-\sqrt{M{R}^{2}E\left(M{R}^{2}E-2p_{\phi }k\right)}}{k^2}\\ {\theta }_3=\arcsin \left(\sqrt{x_3}\right),{\theta }_4=\pi -{\theta }_3\end{array}}$

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.2k

 

Representamos la energía potencial efectiva, y describiremos el movimiento de la partícula cargada para dos energías

M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;
%esfera
R=10; %radio
f=@(x) (p+k*sin(x).^2).^2./(2*M*R^2*sin(x).^2);
hold on
fplot(f,[0.15,pi-0.15])

E=7e-4; %energía
x1=(M*R^2*E-p*k+sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
x2=(M*R^2*E-p*k-sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_1=asin(sqrt(x1));
th_2=asin(sqrt(x2));
line([th_1,th_2],[E,E], 'color','red')
line([th_1,th_1],[0,E],'lineStyle','--')
line([th_2,th_2],[0,E],'lineStyle','--')

E=12e-4; %energía
x3=(M*R^2*E-p*k-sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_3=asin(sqrt(x3));
th_4=pi-th_3;
line([th_3,th_4],[E,E], 'color','blue')
line([th_3,th_3],[0,E],'lineStyle','--')
line([th_4,th_4],[0,E],'lineStyle','--')

hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2',
'2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('V_{ef}')
title('Energía potencial')



• Para una energía E (en rojo) comprendida entre el mínimo y el máximo, V_ef(θ_s)<E<V_ef(π/2). Por ejemplo, E=7·10^-4

La partícula se mueve entre dos posiciones: θ₁=0.9476 y θ₂=0.2489. O bien, su simétrico, (no representado) π-θ₁=2.1940 y π-θ₂=2.8927

• Para una energía E (en azul) mayor que el máximo, E>V_ef(π/2). Por ejemplo, E=12·10^-4

La partícula se mueve entre dos posiciones: θ₃= 0.1644 y θ₄=π-θ₃=2.9772.

>> th_1
th_1 =    0.9476
>> th_2
th_2 =    0.2489
>> th_3
th_3 =    0.1644
>> th_4
th_4 =    2.9772

En las posiciones extremas θ₁, θ₂, θ₃ y θ₄, se cumple que E=V_ef(θ_i), por lo que, dθ/dt=0. En el mínimo, la partícula alcanza su máxima velocidad dθ/dt

• p_φ>k

El máximo local desaparece

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=1.2k

 

M=2; %masa
k=0.5;
p=1.2*k;
%esfera
R=10; %radio
f=@(x) (p+k*sin(x).^2).^2./(2*M*R^2*sin(x).^2);
hold on
fplot(f,[0.15,pi-0.15])
E=0.025; %energía
x3=(M*R^2*E-p*k-sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_3=asin(sqrt(x3));
th_4=pi-th_3;
line([th_3,th_4],[E,E], 'color','red')
line([th_3,th_3],[0,E],'lineStyle','--')
line([th_4,th_4],[0,E],'lineStyle','--')

hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi',
'2\pi/3','5\pi/3','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('V_{ef}')
title('Energía potencial efectiva')



Para una energía E (en rojo) mayor que el mínimo E>V_ef(π/2). Por ejemplo, E=0.025

La partícula se mueve entre dos posiciones: θ₃= 0.1971 y π-θ₃=2.9445

>> th_3
th_3 =    0.1971
>> th_4
th_4 =    2.9445

Trayectoria sobre la superficie esférica de radio R

Resolveremos el sistema de dos ecuaciones diferenciales aplicando el procedimiento numérico ode45 de MATLAB, con las siguientes condiciones iniciales. En el instante t=0

• El ángulo φ=0
• La partícula parte del extremo del intervalo (posición de retorno) θ_i con velocidad angular nula dθ/dt=0

Examinamos los distintos casos

• p_φ<k

• Energía E comprendida entre el mínimo y el máximo. V_ef(θ_s)<E<V_ef(π/2)

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.2k
• Energía de la partícula, E=7·10^-4.
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ₁ en reposo
• Tiempo total, T=50 000, intervalo Δt=50

 

hold on
M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;

%esfera
R=10; %radio
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
xp=R*sin(phi).*cos(theta);
yp=R*sin(phi).*sin(theta);
zp=R*cos(phi);
h1=mesh(xp,yp,zp);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5)

%trayectoria
E=7e-4; %energía
x1=(M*R^2*E-p*k+sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_1=asin(sqrt(x1)); %posición de retorno
f=@(t,x) [(p/sin(x(2))^2+k)/(M*R^2); x(3); 
(p^2/sin(x(2))^4-k^2)*sin(x(2))*cos(x(2))/(M^2*R^4)]; 
[t,x]=ode45(f,0:50:50000,[0,th_1,0]);
xp=R*sin(x(:,2)).*cos(x(:,1));
yp=R*sin(x(:,2)).*sin(x(:,1));
zp=R*cos(x(:,2));
E=M*R^2*x(:,3).^2/2+(sin(x(:,2)).^2).*(p./sin(x(:,2)).^2+k).^2/
(2*M*R^2);

h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
view (145,45)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento de una partícula cargada en un dipolo')
axis off
set(gcf,'position',[0,0,840,630])



Comprobamos que la energía (cinética) se conserva

>> E
E =   1.0e-03 *
    0.7000
    0.7000
    0.7000
    .....
    0.7035
    0.7036
    0.7027

• Energía E mayor que el máximo. E>V_ef(π/2)

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.2k
• Energía de la partícula, E=12·10^-4.
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ₃ en reposo
• Tiempo total, T=50 000, intervalo Δt=20

 

hold on
M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;

%esfera
R=10; %radio
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
xp=R*sin(phi).*cos(theta);
yp=R*sin(phi).*sin(theta);
zp=R*cos(phi);
h1=mesh(xp,yp,zp);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5)

%trayectoria
E=12e-4; %energía
x3=(M*R^2*E-p*k-sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_3=asin(sqrt(x3));
f=@(t,x) [(p/sin(x(2))^2+k)/(M*R^2); x(3); 
(p^2/sin(x(2))^4-k^2)*sin(x(2))*cos(x(2))/(M^2*R^4)]; 
[t,x]=ode45(f,0:20:50000,[0,th_3,0]);
xp=R*sin(x(:,2)).*cos(x(:,1));
yp=R*sin(x(:,2)).*sin(x(:,1));
zp=R*cos(x(:,2));
E=M*R^2*x(:,3).^2/2+(sin(x(:,2)).^2).*(p./sin(x(:,2)).^2+k).^2
/(2*M*R^2);

h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
view (145,45)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento de una partícula cargada en un dipolo')
axis off
set(gcf,'position',[0,0,840,630])



Comprobamos que la energía (cinética) se conserva

>> E
E =
    0.0012
    0.0012
    0.0012
    ......
    0.0012
    0.0012

• p_φ>k

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=1.2k
• Energía de la partícula, E=0.025.
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ₃ en reposo
• Tiempo total, T=20 000, intervalo Δt=10

 

hold on
M=2; %masa
k=0.5;
p=1.2*k;

%esfera
R=10; %radio
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
xp=R*sin(phi).*cos(theta);
yp=R*sin(phi).*sin(theta);
zp=R*cos(phi);
h1=mesh(xp,yp,zp);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5)

%trayectoria
E=0.025; %energía
x3=(M*R^2*E-p*k-sqrt(M*R^2*E*(M*R^2*E-2*p*k)))/k^2;
th_3=asin(sqrt(x3));
f=@(t,x) [(p/sin(x(2))^2+k)/(M*R^2); x(3); 
(p^2/sin(x(2))^4-k^2)*sin(x(2))*cos(x(2))/(M^2*R^4)]; 
[t,x]=ode45(f,0:10:20000,[0,th_3,0]);
xp=R*sin(x(:,2)).*cos(x(:,1));
yp=R*sin(x(:,2)).*sin(x(:,1));
zp=R*cos(x(:,2));
E=M*R^2*x(:,3).^2/2+(sin(x(:,2)).^2).*(p./sin(x(:,2)).^2+k).^2
/(2*M*R^2);

h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
view (145,45)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento de una partícula cargada en un dipolo')
axis off
set(gcf,'position',[0,0,840,630])



Comprobamos que la energía (cinética) se conserva

>> E
E =
    0.0250
    0.0250
    0.0250
    ......
    0.0276
    0.0276

Otras trayectorias

En el primer artículo citado en las referencias, se muestran otros casos distintos de los mencionados

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.394
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/3 en reposo
• Tiempo total, T=20 000, intervalo Δt=10

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=-0.394
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=75π/180 en reposo
• Tiempo total, T=75 000, intervalo Δt=20

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ==-0.6k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/6. Velocidad inicial, dθ/dt=0.151/(MR²)
• Tiempo total, T=17 000, intervalo Δt=20

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.601k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/4. Velocidad inicial, dθ/dt=0.3/(MR²)
• Tiempo total, T=10 000, intervalo Δt=10

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=0.601k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/9, en reposo
• Tiempo total, T=20 000, intervalo Δt=20

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=-0.3k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/4. Velocidad inicial, dθ/dt=0.3/(MR²)
• Tiempo total, T=10 000, intervalo Δt=10

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=-0.71k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/3. Velocidad inicial, dθ/dt=0.2/(MR²)
• Tiempo total, T=15 000, intervalo Δt=10

Datos

• Radio de la esfera, R=10
• Masa de la partícula, M=2
• Dipolo, k=0.5
• Constante, p_φ=-0.722k
• En el instante t=0, φ=0
• Posición de partida θ=π/3. Velocidad inicial, dθ/dt=0.2/(MR²)
• Tiempo total, T=10 000, intervalo Δt=10

Una figura similar a la de un ocho, se ha obtenido en la página titulada Movimiento relativo sobre la superficie de la Tierra

Solución analítica

En la ecuación de la energía, definimos nuevas constantes a y b y hacemos un cambio de variable de t a τ

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}M{R}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2M{R}^2}\frac{{\left(p_{\phi }+k{\sin }^2\theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }\\ \tau =\sqrt{\frac{2E}{M{R}^2}}·t,a=\frac{p_{\phi }}{\sqrt{2M{R}^{2}E}},b=\frac{k}{\sqrt{2M{R}^{2}E}}\\ 1={\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2+\frac{{\left(a+b{\sin }^2\theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable z=cosθ y definimos nuevas coonstantes A y B

${\displaystyle \begin{array}{l}1=\frac{1}{{\sin }^2\theta }{\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2+\frac{{\left(a+b{\sin }^2\theta \right)}^2}{{\sin }^2\theta }\\ 1=\frac{1}{1-z^2}{\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2+\frac{{\left(a+b\left(1-z^2\right)\right)}^2}{1-z^2}\\ {\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2+b^2{z}^4+\left(1-2b\left(a+b\right)\right)z^2+{\left(a+b\right)}^2-1=0\\ {\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2+b^2\left(z^2-A\right)\left(z^2-B\right)=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}-b^2\left(A+B\right)=1-2b\left(a+b\right)\\ b^{2}AB={\left(a+b\right)}^2-1\end{array}\\ A=\frac{2b\left(a+b\right)-1-\sqrt{1-4ab}}{2b^2},B=\frac{2b\left(a+b\right)-1+\sqrt{1-4ab}}{2b^2}\end{array}}$

Representamos la función V(z) en los tres casos estudiados anteriormente

${\displaystyle V(z)=b^2\left(z^2-A\right)\left(z^2-B\right)}$

• p_φ<k

• Para una energía E comprendida entre el mínimo y el máximo, V_ef(θ_s)<E<V_ef(π/2).

M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;
%esfera
R=10; %radio
E=7e-4; %energía

a=p/sqrt(2*M*R^2*E);
b=k/sqrt(2*M*R^2*E);
B=(2*b*(a+b)-1+sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
A=(2*b*(a+b)-1-sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
f=@(z) b^2*(z.^2-A).*(z.^2-B);
hold on
fplot(f,[-1,1])
line([-1,1],[0,0], 'color','red')
line([sqrt(B),sqrt(B)],[-0.3,0],'lineStyle','--')
line([sqrt(A),sqrt(A)],[-0.3,0],'lineStyle','--')

hold off
grid on
xlabel('z')
ylabel('V(z)')
title('Energía potencial')



A y B son positivas, B>A

A =    0.3407
B =    0.9393 

• Para una energía E mayor que el máximo, E>V_ef(π/2).

M=2; %masa
k=0.5;
p=0.2*k;
%esfera
R=10; %radio
E=12e-4; %energía

a=p/sqrt(2*M*R^2*E);
b=k/sqrt(2*M*R^2*E);
B=(2*b*(a+b)-1+sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
A=(2*b*(a+b)-1-sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
f=@(z) b^2*(z.^2-A).*(z.^2-B);
hold on
fplot(f,[-1,1])
line([-1,1],[0,0], 'color','red')
line([sqrt(B),sqrt(B)],[-0.3,0],'lineStyle','--')
line([-sqrt(B),-sqrt(B)],[-0.3,0],'lineStyle','--')

hold off
grid on
xlabel('z')
ylabel('V(z)')
title('Energía potencial')



A<0 y B>0

A =   -0.4932
B =    0.9732

• p_φ>k

El máximo local desaparece

M=2; %masa
k=0.5;
p=1.2*k;
%esfera
R=10; %radio
E=0.025; %energía

a=p/sqrt(2*M*R^2*E);
b=k/sqrt(2*M*R^2*E);
B=(2*b*(a+b)-1+sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
A=(2*b*(a+b)-1-sqrt(1-4*a*b))/(2*b^2);
f=@(z) b^2*(z.^2-A).*(z.^2-B);
hold on
fplot(f,[-1,1])
line([-1,1],[0,0], 'color','red')
line([sqrt(B),sqrt(B)],[-1,0],'lineStyle','--')
line([-sqrt(B),-sqrt(B)],[-1,0],'lineStyle','--')

hold off
grid on
xlabel('z')
ylabel('V(z)')
title('Energía potencial')



A<0 y B>0

A =  -36.5617
B =    0.9617

Intergramos la ecuación diferencial, suponiendo que la partícula cargada sale de la posición extrema $\sqrt{B}$, en el instante τ=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2+b^2\left(z^2-A\right)\left(z^2-B\right)=0\\ \pm {\displaystyle \underset{\sqrt{B}}{\overset{z}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{-\left(z^2-A\right)\left(z^2-B\right)}}}=b{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}d\tau }\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\sqrt{B}\cos \varphi ,dz=-\sqrt{B}\sin \varphi ·d\varphi \\ b\tau =-{\displaystyle \underset{0}{\overset{a\cos \left(z/\sqrt{B}\right)}{\int }}\frac{-\sqrt{B}\sin \varphi ·d\varphi }{\sqrt{-\left(B{\cos }^2\varphi -A\right)\left(B{\cos }^2\varphi -B\right)}}}\\ b\tau ={\displaystyle \underset{0}{\overset{a\cos \left(z/\sqrt{B}\right)}{\int }}\frac{d\varphi }{\sqrt{B{\cos }^2\varphi -A}}}\\ b\tau =\frac{1}{\sqrt{B-A}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{a\cos \left(z/\sqrt{B}\right)}{\int }}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-\frac{B}{B-A}{\sin }^2\varphi }}}\\ b\sqrt{B-A}·\tau ={\displaystyle \underset{0}{\overset{a\cos \left(z/\sqrt{B}\right)}{\int }}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-{\kappa }^2{\sin }^2\varphi }}},A<\mathrm{0,}{\kappa }^2=\frac{B}{B-A}\le 1\end{array}}$

Despejamos z en función del tiempo τ, empleando la función elíptica sn de Jacobi

${\displaystyle \begin{array}{l}\text{sn}\left(b\sqrt{B-A}·\tau |\kappa \right)=\sin \left(\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{B}}\right)\right)\\ \text{sn}\left(b\sqrt{B-A}·\tau |\kappa \right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{B}}\right)\right)}\\ \text{sn}\left(b\sqrt{B-A}·\tau |\kappa \right)=\sqrt{1-\frac{z^2}{B}}\\ z^2=B·{\text{cn}}^2\left(b\sqrt{B-A}·\tau |\kappa \right)\end{array}}$

Se ha utilizado la relación, sn²(x|k)+cn²(x|k)=1

Cuando A>0, κ≥1. Entonces

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}^2=B·{\text{dn}}^2\left(\sqrt{\frac{B}{B-A}}·b\sqrt{B-A}·\tau |\frac{1}{\kappa }\right)\\ z^2=B·{\text{dn}}^2\left(b\sqrt{B}·\tau |\frac{1}{\kappa }\right),0<A<B\end{array}}$

Para completar la solución analítica, tenemos que integrar la ecuación diferencial en φ, para los dos casos A<0, y A>0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\phi }{dt}=\frac{1}{M{R}^2}\left(\frac{p_{\phi }}{{\sin }^2\theta }+k\right)\\ \sqrt{\frac{2E}{M{R}^2}}\frac{d\phi }{d\tau }=\frac{1}{M{R}^2}\left(\frac{a\sqrt{2M{R}^{2}E}}{{\sin }^2\theta }+b\sqrt{2M{R}^{2}E}\right)\\ \frac{d\phi }{d\tau }=\frac{a}{1-{\cos }^2\theta }+b\\ \frac{d\phi }{d\tau }=\frac{a}{1-z^2}+b\end{array}}$

Véase el segundo artículo citado en las referencias

Referencias

Emilio Cortés, D Cortés-Poza. Spherically restricted motion of a charge in the field of a magnetic dipole. ArXiv. Physics > Classical Physics (2013)

Eduardo Piña, Emilio Cortés. Störmer problem restricted to a spherical surface and the Euler and Lagrange tops. Eur. J. Phys. 37 (2016) 06500