Modos de vibración de una membrana rectangular

Vamos a estudiar las oscilaciones transversales de una membrana rectangular de lados a y b.

La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio es

2 Ψ t 2 = c 2 ( 2 Ψ x 2 + 2 Ψ y 2 )

Condiciones iniciales y de contorno

Con las siguientes condiciones iniciales:

t=0{ Ψ(x,y,0)= Ψ 0 (x,y) Ψ(x,y,t) t | t=0 = Ψ ˙ 0 (x,y)

y de contorno:

La deformación Ψ(x,y,t) de la membrana en su contorno es nula para cualquier instante t

Modos de vibración

Supondremos que la solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio se puede expresar como producto

Ψ(x,y,t)=Φ(x,y)·T(t)

Introducciendo Ψ(x,y,t) en la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Φ(x,y)· d 2 T d t 2 = c 2 ( T(t) 2 Φ x 2 +T(t) 2 Φ y 2 ) 1 T(t) d 2 T d t 2 = c 2 Φ(x,y) ( 2 Φ(x,y) x 2 + 2 Φ(x,y) y 2 )= ω 2

Como el miembro izquierdo depende solamente de t y el derecho solamente de x e y, entonces, igualamos ambos a una constante que denominaremos -ω2.

d 2 T d t 2 + ω 2 ·T=0 2 Φ x 2 + 2 Φ y 2 + ω 2 c 2 Φ=0

Aplicamos el método de separación de variables a la segunda ecuación diferencial

Φ(x,y)=H(x)·W(y) W d 2 H d x 2 +H d 2 W d y 2 + ω 2 c 2 H·W=0

Dividimos entre el producto H·W.

1 H d 2 H d x 2 = 1 W ( d 2 W d y 2 + ω 2 c 2 W )= q 2

Como el miembro izquierdo depende solamente de x y el derecho solamente de y, entonces, igualamos ambos a una constante que denominaremos -q2.

d 2 H d x 2 + q 2 H=0 d 2 W d y 2 +( ω 2 c 2 q 2 )W=0 d 2 W d y 2 + r 2 W=0

Las dos ecuaciones diferenciales tienen soluciones conocidas

H(x)= C x cos( qx )+ D x sin( qx ) W(y)= C y cos( ry )+ D y sin( ry )

Las condiciones de contorno imponen que los cuatro lados de la membrana estén fijos en todo momento:

H(0)=0 H(a)=0 } C x =0sin(qa)=0q= mπ a W(0)=0 W(b)=0 } C y =0sin(rb)=0r= nπ a Φ mn (x,y)= H m (x)· W n (y)=sin( mπ a x )·sin( nπ b y )m,n=1,2,3...

Para cada par de valores m y n tenemos la frecuencia del modo de vibración ωm,n

ω 2 c 2 = q 2 + r 2 ω mn 2 = c 2 ( m 2 π 2 a 2 + n 2 π 2 b 2 )

m=2; %modo de vibración m,n
n=1;

%Dimensiones de la placa rectangular a=1, b=1
[x,y] = meshgrid(0:0.01:1);
z = sin(m*pi*x).*sin(n*pi*y);
surf(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Modos de vibración de una membrana rectangular')

La solución de la ecuación diferencial dependiente del tiempo es tambien conocida

T mn (t)= A mn cos( ω mn t)+ B mn sin( ω mn t)

La solución de la ecuación diferencial correspondiente al modo m, n de vibración de la membrana es

Ψ mn (x,y,t)= Φ mn (x,y) T mn (t)= sin( mπ a x )·sin( nπ b y )( A mn cos( ω mn t)+ B mn sin( ω mn t) )

En este script cremos una animación. Cada imagen generada (frame) se guarda en el vector F.

m=2; %modo de vibración m,n
n=1;
[x,y] = meshgrid(0:0.01:1);
j=0;
P=2/sqrt(m^2+n^2); %periodo de las oscilaciones
for t=0:P/20:P
    z = sin(m*pi*x).*sin(n*pi*y)*sin(2*pi*t/P);
    surf(x,y,z)
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    zlabel('z')
    axis([0 1 0 1 -1 1]);
    j=j+1;
    F(j) = getframe;
end

Mediante el comando movie reproducimos la animación cuatro veces.

>> movie(F,4)

Alternativamente, podemos crear un fichero de imágenes GIF que muestran una animación

m=2; %modo de vibración m,n
n=1;
[x,y] = meshgrid(0:0.01:1);

P=2/sqrt(m^2+n^2); %periodo de las oscilaciones
fichero = 'placa_r.gif';
for t=0:P/20:P
    z = sin(m*pi*x).*sin(n*pi*y)*sin(2*pi*t/P);
    surf(x,y,z)
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    zlabel('z')
    axis([0 1 0 1 -1 1]);
    
   frame=getframe;
    im = frame2im(frame);
    [imind,cm] = rgb2ind(im,256);
    if t==0
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'loopcount',inf);
    else
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'writemode',
'append');
    end
end

Solución completa

La solución general que satisface las condiciones de contorno es la superposición

Ψ(x,y,t)= m=1 n=1 Ψ mn (x,y,t) = m=1 n=1 sin( mπ a x )·sin( nπ b y )( A mn cos( ω mn t)+ B mn sin( ω mn t) )

Esta ecuación describe todos los posibles modos de vibración de la membrana. La vibración particular que experimenta la membrana está únicamente determinada por las condiciones iniciales, que a su vez determinan los valores de las constantes Amn y Bmn.

Ψ(x,y,0)= Ψ 0 (x,y) Ψ(x,y,0)= m=1 n=1 sin( mπ a x )·sin( nπ b y ) A mn A mn = 4 ab 0 a 0 b Ψ 0 (x,y)sin( mπ a x )·sin( nπ b y )dx·dy Ψ(x,y,t) t | t=0 = Ψ ˙ 0 (x,y) Ψ ˙ 0 (x,y)= m=1 n=1 sin( mπ a x )·sin( nπ b y ) ω mn B mn B mn = 4 ab ω mn 0 a 0 b Ψ ˙ 0 (x,y)sin( mπ a x )·sin( nπ b y )dx·dy