Modos de vibración de una cuerda no homogénea

Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Las ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio, son respectivamente

v 1 2 2 Ψ 1 x 2 = 2 Ψ 1 t 2 v 2 2 2 Ψ 2 x 2 = 2 Ψ 2 t 2   

Ψ es el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.

v1 y v2 son las velocidades de propagación de las ondas trasversales en las partes izquierda y derecha de la cuerda

v 1 = T μ 1 v 2 = T μ 2

Siguiendo los mismos pasos que para una cuerda homogénea sujeta por ambos extremos, ensayamos la solución

Ψ(x,t)=y(x)sin(ωt)

que describe una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.

Introduciendo esta expresión en cada una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio obtenemos las ecuaciones diferenciales similares a las de un M.A.S.

d 2 y 1 d x 2 + ω 2 v 1 2 y 1 =0 d 2 y 2 d x 2 + ω 2 v 2 2 y 2 =0

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son

y1(x)=A1sin (k1x)+B1cos(k1x
y2
(x)=A2sin (k2x)+B2cos(k2x

k1=ω/v1 y k2=ω/v2  son los números de onda, respectivos

Los coeficientes A1, B1, A2 y B2, vienen determinados por la continuidad de la función de onda en x=0 y por las condiciones de contorno en los extremos fijos x=-L y x=+L.

Continuidad de la función que describe la onda estacionaria

En el punto x=0, las dos mitades de la cuerda se unen. La función que describe la onda estacionaria tiene que ser continua y también su derivada primera.

y 1 (0)= y 2 (0) B 1 = B 2 y 1 x | x=0 = y 2 x | x=0 k 1 A 1 = k 2 A 2

La función que describe la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda es

y 1 (x)= A 1 sin( k 1 x)+ B 1 cos( k 1 x) y 2 (x)= A 1 ( k 1 k 2 )sin( k 2 x)+ B 1 cos( k 2 x)

Condiciones de contorno

El extremo izquierdo de la cuerda está sujeto en x=-L y el extremo derecho en x=+L. Se tiene que cumplir que

y 1 (L)=0 y 2 (+L)=0 A 1 sin( k 1 L)= B 1 cos( k 1 L) A 1 ( k 1 k 2 )sin( k 2 L)= B 1 cos( k 2 L)

Dividiendo miembro a miembro eliminamos A1 y B1.

k 2 k 1 sin( k 1 L) sin( k 2 L) = cos( k 1 L) cos( k 2 L) v 1 sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) = v 2 sin(ωL/ v 2 ) cos(ωL/ v 2 )

Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda

Para calcular las frecuencias de los modos de vibración de la cuerda se resuelve la ecuación trascendente

v 1 tan( ωL v 1 )= v 2 tan( ωL v 2 )

Dado que la función tangente crece rápidamente con el argumento. Expresamos la ecuación anterior de la forma equivalente

v 1 sin( ωL v 1 )cos( ωL v 2 )+ v 2 sin( ωL v 2 )cos( ωL v 1 )=0

%cuerdas de longitud 1
v1=40; %velocidad de propagación en la primera cuerda
v2=80; %velocidad de propagación en la segunda cuerda

f=@(x) v1*sin(x/v1).*cos(x/v2)+v2*sin(x/v2).*cos(x/v1);
x=linspace(1,300,100);
disp('frecuencias (Hz)')
raices(f,x)/(2*pi)
frecuencias (Hz)
ans =   12.1635   27.8365   40.0000

Amplitud de las ondas estacionarias

Despejamos A1, en las dos ecuaciones que resultan de aplicar las condiciones de contorno y la sustituimos en las dos funciones que describen la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda

Para el modo de vibración ω=f.

y 1 (x)= B 1 { cos( ωx v 1 )+ cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 1 ) } y 2 (x)= B 1 { cos( ωx v 2 ) cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) sin( ωx v 2 ) }

B1 es un factor de escala. Para que todos los modos de vibración se representen a la misma escala se calcula B1 de modo que el área bajo la curva

L 0 y 1 2 (x)dx+ 0 L y 2 2 (x)dx =1

La integral definida de la izquierda es el área sombreada en color azul y la integral de la derecha es el área sombreada en color rojo.

Después de realizar algunas operaciones se llega al siguiente resultado

B 1 2 { 1 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) v 1 2ω ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) ) v 2 2ω ( cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

Para obtener este resultado, se ha empleado las integrales siguientes:

L 0 cos 2 ( k 1 x)dx = 1 2 ( L+ 1 2 k 1 sin(2 k 1 L) ) L 0 sin 2 ( k 1 x)dx = 1 2 ( L 1 2 k 1 sin(2 k 1 L) ) L 0 sin(2 k 1 x)dx = 1 2 k 1 ( 1cos(2 k 1 L) ) k 1 = ω v 1

y de modo similar, para la parte derecha de la cuerda

Casos especiales

Para ciertas frecuencias puede ocurrir que sin(ωL/v1) y sin(ωL/v2) sean ambos cero a la vez. Por ejemplo, cuando v1=40 m/s y v2=80 m/s con L=1 m tenemos que

sin(ωL/v1)=0 para 2πf1L/v1=n1π donde n1 es un entero. Las frecuencias  f1=20n1 son

 f1=20, 40, 60, 80, 100,…Hz

sin(ωL/v2)=0 para 2πf2L/v2=n2π donde n2 es un entero. Las frecuencias  f2=40n2 son

f2=40, 80, … Hz

Las frecuencias comunes son f1= f2=40, 80, 120… Hz

Las frecuencias especiales son aquellas  f1=n1v1/(2L) y f2=n2v2/(2L) para las cuales se cumple que n1v1=n2v2 donde n1 y n2 son enteros

Corresponden a los modos de vibración de la cuerda para las cuales el área se hace infinita y B1 tiende a cero. Pero la amplitud y(x) del modo de vibración no es cero sino una expresión que vamos a calcular a continuación

En la ecuación trascendente que calcula las frecuencias de los modos de vibración cuando

sin(ωL/v1) =sin(ωL/v2)

se cumple que

v1·cos(ωL/v2) +v2·cos(ωL/v1)=0

Tenemos la igualdad

cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) = v 2 v 1 cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 )

que introducimos en la larga expresión que calcula el factor de escala B1,

B 1 2 { 1 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) v 1 2ω ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( v 2 v 1 ) 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) ) + v 2 2ω ( v 2 v 1 )( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

a continuación, sacamos factor común al cociente

c= cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 )

B 1 2 c 2 { 1 2 c 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) 1 c v 1 2ω (1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 c 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( v 2 v 1 ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 c v 2 2ω ( v 2 v 1 )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

Cuando sin(ωL/v1)→0 o el cociente c→∞, obtenemos 

B 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 { L 2 + ( v 2 v 1 ) 2 L 2 }=1 B 1 = sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) CC= 1 L 2 ( 1+ ( v 2 v 1 ) 2 )

La amplitud de los modos de vibración para estas frecuencias especiales es

y 1 (x)=C sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) { cos( ωx v 1 )+ cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 1 ) } y 2 (x)=C sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) { cos( ωx v 2 )+ v 2 v 1 cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 2 ) }

Cuando sin(ωL/v1)→0

y 1 (x)=Csin(ωx/ v 1 ) y 2 (x)=C v 2 v 1 sin(ωx/ v 2 )

Cumple las condiciones de continuidad en x=0 y las de contorno en x=-L y en x=L.

%cuerdas de longitud 1
v1=40; %velocidad de propagación en la primera cuerda
v2=80; %velocidad de propagación en la segunda cuerda

f=@(x) v1*sin(x/v1).*cos(x/v2)+v2*sin(x/v2).*cos(x/v1);
x=linspace(1,300,100);
r=raices(f,x);
w=r(2);  %segundo modo
%normaliza
k1=w/v1;
k2=w/v2;
if abs(sin(w/v1))<1.0e-6 && abs(sin(w/v2))<1.0e-6
    A=1.0/sqrt((1+v2*v2/(v1*v1))/2);
else
    g=@(k) (1+sin(2*k)/(2*k))/2+(cos(k)/sin(k))^2*
(1-sin(2*k)/(2*k))/2-(cos(k)/sin(k))*(1.0-cos(2*k))/(2*k);   
    A=1.0/sqrt(g(k1)+g(k2));
end

%onda estacionaria
hold on
x=linspace(-1,0,100);
if abs(sin(w/v1))<1.0e-6
    y=sin(w*x/v1);
 else
    y=cos(w*x/v1)+cos(w/v1)*sin(w*x/v1)/sin(w/v1);
end
plot(x,y*A,'b');
x=linspace(0,1,100);
if abs(sin(w/v2))<1.0e-6
   y=(v2/v1)*sin(w*x/v2);
else
   y=cos(w*x/v2)-cos(w/v2)*sin(w*x/v2)/sin(w/v2);
end
plot(x,y*A,'r');
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Modos de vibración de una cuerda')

Referencias

Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881