Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Las ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio, son respectivamente

${\displaystyle v_1^2\frac{{\partial }^2{\psi }_1}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^2{\psi }_1}{\partial t^2}{v}_2^2\frac{{\partial }^2{\psi }_2}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^2{\psi }_2}{\partial t^2}}$

Ψ es el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.

v₁ y v₂ son las velocidades de propagación de las ondas trasversales en las partes izquierda y derecha de la cuerda

${\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{T}{{\mu }_1}}{v}_2=\sqrt{\frac{T}{{\mu }_2}}}$

Siguiendo los mismos pasos que para una cuerda homogénea sujeta por ambos extremos, ensayamos la solución

Ψ(x,t)=y(x)sin(ωt)

que describe una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.

Introduciendo esta expresión en cada una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio obtenemos las ecuaciones diferenciales similares a las de un M.A.S.

${\displaystyle \frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}+\frac{{\omega }^2}{v_1^2}{y}_1=0\frac{d^2{y}_2}{d{x}^2}+\frac{{\omega }^2}{v_2^2}{y}_2=0}$

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son

y₁(x)=A₁sin (k₁x)+B₁cos(k₁x) 
y₂(x)=A₂sin (k₂x)+B₂cos(k₂x) 

k₁=ω/v₁ y k₂=ω/v₂  son los números de onda, respectivos

Los coeficientes A₁, B₁, A₂ y B₂, vienen determinados por la continuidad de la función de onda en x=0 y por las condiciones de contorno en los extremos fijos x=0 y x=L.

Condiciones de contorno

El extremo izquierdo de la cuerda está sujeto en x=0 y el extremo derecho en x=L. Se tiene que cumplir que

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{y}_1(0)=\mathrm{0,}{B}_1=0\\ y_2(L)=\mathrm{0,}{A}_2\sin (k_{2}L)+B_2\cos (k_{2}L)=0\end{array}}$

Continuidad de la función que describe la onda estacionaria

En el punto x=a, las dos mitades de la cuerda se unen. La función que describe la onda estacionaria tiene que ser continua y también su derivada primera.

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_1(a)=y_2(a)A_1\sin \left(k_{1}a\right)=A_2\sin \left(k_{2}a\right)+B_2\cos \left(k_{2}a\right)\hfill \\ {\frac{\partial y_1}{\partial x}|}_a={\frac{\partial y_2}{\partial x}|}_a{k}_1{A}_1\sin \left(k_{1}a\right)=k_2\left(A_2\cos \left(k_{2}a\right)-B_2\sin \left(k_{2}a\right)\right)\hfill \end{array}}$

Tenemos un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas, A₁, A₂ y B₂, despejamos B₂ en la primera ecuación

${\displaystyle B_2=-A_2\frac{\sin (k_{2}L)}{\cos (k_{2}L)}}$

Sustituimos en las otras dos

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{A}_1\sin \left(k_{1}a\right)=A_2\sin \left(k_{2}a\right)-A_2\frac{\sin (k_{2}L)}{\cos (k_{2}L)}\cos \left(k_{2}a\right)\\ k_1{A}_1\sin \left(k_{1}a\right)=k_2\left(A_2\cos \left(k_{2}a\right)+A_2\frac{\sin (k_{2}L)}{\cos (k_{2}L)}\sin \left(k_{2}a\right)\right)\end{array}}$

Utilizamos la fórmula, cos(A-B)=cosA·cosB+sinA·sinB, dividimos las dos ecuaciones

${\displaystyle \frac{1}{k_1}\frac{\sin \left(k_{1}a\right)}{\cos \left(k_{1}a\right)}=\frac{1}{k_2}\frac{\sin \left(k_2(a-L)\right)}{\cos \left(k_2(a-L)\right)}}$

Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda

Para calcular las frecuencias de los modos de vibración de la cuerda se resuelve la ecuación trascendente en ω

${\displaystyle k_2\sin \left(k_{1}a\right)\cos \left(k_2(L-a)\right)+k_1\cos \left(k_{1}a\right)\sin \left(k_2(L-a)\right)=0}$

Llamemos r al cociente de velocidades de propagación en las porciones de cuerda, v₂=r·v₁ o bien, k₂=k₁/r

${\displaystyle \frac{k_1}{r}\sin \left(k_{1}a\right)\cos \left(\frac{k_1}{r}(L-a)\right)+k_1\cos \left(k_{1}a\right)\sin \left(\frac{k_1}{r}(L-a)\right)=0}$

Sea la longitud de la cuerda L=1 m, la proción izquierda de la cuerda tiene una longitud a=L/3. Las densidades lineales de la cuerda son tales que la relación de las velocidades de propagación entre las dos porciones de la cuerda es, v₂=2v₁

Como veremos en el ejemplo, más abajo, en este caso, no es necesario resolver la ecuación transcendente por procedimientos numéricos.

L=1; %longitud de la cuerda
a=L/3;  %porción izquierda
r=2; %v2=r·v1, k2=k1/r
f=@(x) x.*sin(a*x).*cos((L-a)*x/r)/r+x.*cos(a*x).*sin(x*(L-a)/r);
fplot(f,[0,20]);
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Raíces')

x=linspace(1,20,20);
disp('frecuencias (Hz)')
raiz=raices(f,x);
disp(raiz/(2*pi))

Las frecuencias ω=v₁k₁, f=ω/2π de los primeros modos de vibración son

frecuencias (Hz)
    0.7500    1.5000    2.2500    3.0000

Amplitudes de los modos de vibración

Despejamos A₂ y B₂ en función de A₁, tomando las dos primeras ecuaciones del sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=-A_1\cos (k_{2}L)\frac{\sin (k_{1}a)}{\sin \left(k_2(L-a)\right)}\hfill \\ B_2=-A_2\frac{\sin (k_{2}L)}{\cos (k_{2}L)}=A_1\sin (k_{2}L)\frac{\sin (k_{1}a)}{\sin \left(k_2(L-a)\right)}\hfill \end{array}}$

Puede ocurrir una indeterminación 0/0, cuando k₁a=nπ y a la vez, k₂(L-a)=mπ. La indeterminación se resuelve aplicando la regla de de L'Hôpital tal como veremos en el ejemplo.

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=A_1\cos (k_{2}L)\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin (k_{1}x)}{\sin (k_2(x-L))}=A_1\cos (k_{2}L)\frac{k_1}{k_2}\frac{\cos (k_{1}a)}{\cos \left(k_2(L-a)\right)}\hfill \\ B_2=-A_1\sin (k_{2}L)\frac{k_1}{k_2}\frac{\cos (k_{1}a)}{\cos \left(k_2(L-a)\right)}\hfill \end{array}}$

Para el modo de vibración de frecuencia angular ω=2πf, con k₁=ω/v₁ y k₂=ω/v₂

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{y}_1(x)=A_1\sin \left(k_{1}x\right),0\le x<a\\ y_2(x)=A_2\sin \left(k_{2}x\right)+B_2\cos \left(k_{2}x\right),a\le x<L\end{array}}$

A₁ es un factor de escala. Para que todos los modos de vibración se representen a la misma escala, se calcula A₁ haciendo que el área bajo la curva del cuadrado de la amplitud y(x) multiplicada por la densidad en cada tramo sea la unidad

${\displaystyle \begin{array}{l}{\mu }_1{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{y}_1^2(x)dx}+{\mu }_2{\displaystyle \underset{a}{\overset{L}{\int }}{y}_2^2(x)dx}=1\\ {\mu }_1{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{A}_1^2{\sin }^2(k_{1}x)dx}+{\mu }_2{\displaystyle \underset{a}{\overset{L}{\int }}{\left(A_2\sin (k_{2}x)+B_2\cos (k_{2}x)\right)}^{2}dx}=1\end{array}}$

La integral definida de la izquierda es el área sombreada en color azul y la integral de la derecha es el área sombreada en color rojo.

Relaciones de ortogonalidad

Las relaciones de ortogonalidad de Φ_n(x) para una cuerda no homogénea de densidad μ(x)

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\mu (x){\Phi }_m(x){\Phi }_n(x)dx}=\mathrm{0,}m\ne n\\ {\mu }_1{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{y}_{1m}(x)y_{1n}(x)dx}+{\mu }_2{\displaystyle \underset{a}{\overset{L}{\int }}{y}_{2m}(x)y_{2n}(x)dx=\mathrm{0,}}m\ne n\end{array}}$

m y n son dos los modos de vibración distintos. Véase el ejemplo más abajo

Ejemplo

Sea una cuerda no homogénea, de longitud L=1 m. La parte izquierda a=L/3, de densidad μ₁=4μ, la parte derecha de longitud L-a=2L/3 de densidad lineal μ₂=μ

La velocidad de propagación de las ondas trasnversales en las cuerdas son

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_1=\sqrt{\frac{T}{{\mu }_1}}=\sqrt{\frac{T}{4\mu }}{v}_2=\sqrt{\frac{T}{{\mu }_2}}=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\\ v_2=2v_1\\ k_1=\frac{\omega }{v_1},k_2=\frac{\omega }{v_2}=\frac{k_1}{2}\end{array}}$

Frecuencias de los modos de vibración

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{k_1}{2}\sin \left(k_1\frac{L}{3}\right)\cos \left(\frac{k_1}{2}\frac{2L}{3}\right)+k_1\cos \left(k_1\frac{L}{3}\right)\sin \left(\frac{k_1}{2}\frac{2L}{3}\right)=0\\ \frac{3}{2}{k}_1\sin \left(k_1\frac{L}{3}\right)\cos \left(k_1\frac{L}{3}\right)=0\\ \frac{3}{4}{k}_1\sin \left(2k_1\frac{L}{3}\right)=0\\ k_{1}L=\frac{3n\pi }{2}\\ {\omega }_n=n\pi \frac{3v_1}{2L},n=\mathrm{1,2,3...}\end{array}}$

Amplitudes

• ${\displaystyle n=\mathrm{1,}{k}_1=\frac{3\pi }{2L},k_2=\frac{3\pi }{4L}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=A_1\frac{\sin \left(\frac{3\pi }{2L}\frac{L}{3}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{4L}L\right)}{\sin \left(-\frac{3\pi }{4L}\frac{2L}{3}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_1\\ B_2=-A_1\frac{\sin \left(\frac{3\pi }{4L}L\right)\sin \left(\frac{3\pi }{2L}\frac{L}{3}\right)}{\sin \left(-\frac{3\pi }{4L}\frac{2L}{3}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_1\end{array}}$

• ${\displaystyle n=\mathrm{2,}{k}_1=\frac{6\pi }{2L}=\frac{3\pi }{L},k_2=\frac{3\pi }{2L}}$

Indeterminación 0/0

${\displaystyle \begin{array}{l}{B}_2=-A_1\sin \left(\frac{3\pi }{2L}L\right)\underset{a\to \frac{L}{3}}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{3\pi }{L}a\right)}{\sin \left(\frac{3\pi }{2L}(a-L)\right)}=A_1\frac{\frac{3\pi }{L}\cos \left(\frac{3\pi }{L}\frac{L}{3}\right)}{\frac{3\pi }{2L}\cos \left(\frac{3\pi }{2L}\left(\frac{L}{3}-L\right)\right)}=2A_1\\ A_2=A_1\frac{\sin \left(\frac{3\pi }{L}\frac{L}{3}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{2L}L\right)}{\sin \left(-\frac{3\pi }{2L}\frac{2L}{3}\right)}=0\end{array}}$

• ${\displaystyle n=\mathrm{3,}{k}_1=\frac{9\pi }{2L},k_2=\frac{9\pi }{4L}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=A_1\frac{\sin \left(\frac{9\pi }{2L}\frac{L}{3}\right)\cos \left(\frac{9\pi }{4L}L\right)}{\sin \left(-\frac{9\pi }{4L}\frac{2L}{3}\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_1\\ B_2=-A_1\frac{\sin \left(\frac{9\pi }{4L}L\right)\sin \left(\frac{9\pi }{2L}\frac{L}{3}\right)}{\sin \left(-\frac{9\pi }{4L}\frac{2L}{3}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}{A}_1\end{array}}$

• ${\displaystyle n=\mathrm{4,}{k}_1=\frac{6\pi }{L},k_2=\frac{3\pi }{L}}$

Indeterminación 0/0

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_2=A_1\cos \left(\frac{3\pi }{L}L\right)\underset{a\to \frac{L}{3}}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{6\pi }{L}a\right)}{\sin \left(\frac{3\pi }{L}(a-L)\right)}=-2A_1\\ B_2=-A_1\frac{\sin \left(\frac{3\pi }{L}L\right)\sin \left(\frac{6\pi }{L}\frac{L}{3}\right)}{\sin \left(-\frac{3\pi }{L}\frac{2L}{3}\right)}=0\end{array}}$

Comprobamos las relaciones de ortogonalidad, sea m=1 y n=2

L=1;
a=L/3;
mu=4; %densidad parte izquierda, mu=1, derecha
k1=3*pi/(2*L);  %modo de vibración n=1
k2=k1/sqrt(mu);
a2=-cos(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(L-a));
b2=sin(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(L-a));
y1=@(x) sin(k1*x);
y2=@(x) a2*sin(k2*x)+b2*cos(k2*x);

K1=6*pi/(2*L);  %modo de vibración n=2; 
K2=K1/2;
Y1=@(x) sin(K1*x);
A2=cos(K2*L)*K1*cos(K1*a)/(K2*cos(K2*(L-a)));
B2=-sin(K2*L)*K1*cos(K1*a)/(K2*cos(K2*(L-a)));
Y2=@(x) A2*sin(K2*x)+B2*cos(K2*x);

z1=@(x) y1(x).*Y1(x);
z2=@(x) y2(x).*Y2(x);
res=mu*integral(z1,0,a)+integral(z2,a,L);
disp(res)

Comprobamos las relaciones de ortogonalidad, la integral vale cero. Los coeficientes son los que hemos obtenido con n=1 y n=2

    0
>> a2,b2
a2 =    0.7071
b2 =    0.7071
>> A2,B2
A2 =  -3.6739e-16
B2 =     2 

Representamos los primeros modos de vibración

L=1; %longitud de la cuerda
a=L/3; %porción izquierda
mu=4; %densidad parte izquierda, mu=1, derecha
hold on
for n=1:4
    k1=3*n*pi/(2*L); 
    k2=k1/sqrt(mu); %Relación de velocidades de propagación, v2=2*v1
    A2=-sin(k1*a)*cos(k2*L)/sin(k2*(L-a));
    B2=sin(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(L-a));
    if mod(k1*a/pi,1)<1e-6 && mod(k2*(L-a)/pi,1)<1e-6 %indeterminación 0/0
        A2=k1*cos(k2*L)*cos(k1*a)/(k2*cos(k2*(L-a)));
        B2=-k1*sin(k2*L)*cos(k1*a)/(k2*cos(k2*(L-a)));
    end
    y1=@(x) sin(k1*x);
    y2=@(x) A2*sin(k2*x)+B2*cos(k2*x);
    z1=@(x) y1(x).^2;
    z2=@(x) y2(x).^2;
    area=mu*integral(z1,0,a)+integral(z2,a,L);
    A1=1/sqrt(area);
    f=@(x) A1*(x<a).*y1(x)+(x>=a).*y2(x)*A1;
    fplot(f,[0,L],'displayName',num2str(k1/(2*pi)))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','southwest')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Modos de vibración')

Cambiamos el valor de a=L/2. Resolvemos la ecuación transcendente para calcular las frecuencias de los primeros modos de vibración. En dicha página, se encuentra el código de la función raices

L=1; %longitud de la cuerda
a=L/2; %porción izquierda
mu=4; %densidad parte izquierda, mu=1, derecha
r=sqrt(mu); %v2=r·v1, k2=k1/r
%raices, k1
f=@(x) x.*sin(a*x).*cos((L-a)*x/r)/r+x.*cos(a*x).*sin(x*(L-a)/r);
x=linspace(1,15,20);
raiz=raices(f,x);

hold on
for n=1:length(raiz)
    k1=raiz(n);
    k2=k1/r;
    A2=sin(k1*a)*cos(k2*L)/sin(k2*(a-L));
    B2=-sin(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(a-L));
    if mod(k1*a/pi,1)<1e-6 && mod(k2*(L-a)/pi,1)<1e-6 %indeterminación 0/0
        A2=k1*cos(k2*L)*cos(k1*a)/(k2*cos(k2*(a-L)));
        B2=-k1*sin(k2*L)*cos(k1*a)/(k2*cos(k2*(a-L)));
    end
    y1=@(x) sin(k1*x);
    y2=@(x) A2*sin(k2*x)+B2*cos(k2*x);
    z1=@(x) y1(x).^2;
    z2=@(x) y2(x).^2;
    area=mu*integral(z1,0,a)+integral(z2,a,L);
    A1=1/sqrt(area);
    f=@(x) A1*(x<a).*y1(x)+(x>=a).*y2(x)*A1;
    fplot(f,[0,L],'displayName',num2str(k1/(2*pi)))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','southwest')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Modos de vibración')

Comprobamos la relación de ortogonalidad con n=1 y m=2.

L=1; %longitud de la cuerda
a=L/2; %porción izquierda
mu=4; %densidad parte izquierda, mu=1, derecha
r=sqrt(mu); %v2=r·v1, k2=k1/r
%raices, k1
f=@(x) x.*sin(a*x).*cos((L-a)*x/r)/r+x.*cos(a*x).*sin(x*(L-a)/r);
x=linspace(1,40,20);
raiz=raices(f,x);

k1=raiz(1);  %modo de vibración n=1
k2=k1/r;
a2=-cos(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(L-a));
b2=sin(k2*L)*sin(k1*a)/sin(k2*(L-a));
y1=@(x) sin(k1*x);
y2=@(x) a2*sin(k2*x)+b2*cos(k2*x);

K1=raiz(2);  %modo de vibración n=2; 
K2=K1/r;
Y1=@(x) sin(K1*x);
A2=-cos(K2*L)*sin(K1*a)/sin(K2*(L-a));
B2=sin(K2*L)*sin(K1*a)/sin(K2*(L-a));

%A2=cos(K2*L)*K1*cos(K1*a)/(K2*cos(K2*(L-a))); %para n=3, 6, ...
%B2=-sin(K2*L)*K1*cos(K1*a)/(K2*cos(K2*(L-a)));
Y2=@(x) A2*sin(K2*x)+B2*cos(K2*x);

z1=@(x) y1(x).*Y1(x);
z2=@(x) y2(x).*Y2(x);
res=mu*integral(z1,0,a)+integral(z2,a,L);
disp(res)

   1.1102e-16

En este caso, a=L/2, para n=3, 6, 9... hay que utilizar las amplitudes obtenidas aplicando la regla de L'Hôpital (para resolver la indeterminación 0/0)

Referencias

Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 1236, pp. 389-393