Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Un muelle elástico se comporta de forma análoga a una barra elástica, deduciremos de forma similar la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio y determinaremos la velocidad de propagación de las ondas longitudinales

Sea un muelle elástico de longitud L sin deformar. Cuando se le aplica una fuerza F a su extremo libre se alarga x, su longitud es l=L+x. La relación lineal fuerza-deformación se expresa

${\displaystyle F=kx=kL\frac{l-L}{L}}$

Consideremos un elemento diferencial dx del muelle en la posición x. A causa de la perturbación, el elemento se desplaza u y se deforma du, de modo que la nueva anchura del elemento es dx+du. Calculamos la fuerza necesaria para producir esta deformación

${\displaystyle F=kL\frac{dx+du-dx}{dx}F=kL\frac{\partial u}{\partial x}}$

A efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento u, es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo).

Desplazamiento del elemento diferencial

La parte izquierda del muelle ejerce una fuerza F sobre el elemento diferencial de anchura dx, la parte derecha, ejerce una fuerza F' sobre dicho elemento. La fuerza neta es

${\displaystyle F\text{'}-F=dF=kL\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx}$

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza sobre dicho elemento es igual al producto de su masa (m·dx/L) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento)

${\displaystyle dF=\left(\frac{m}{L}dx\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}}$

Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuación diferencial de un movimiento ondulatorio

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\left(\frac{k{L}^2}{m}\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}={\omega }^2{L}^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}}$

La velocidad de propagación es v=ωL depende de

• k es la constante elástica del muelle
• L es la longitud del muelle sin deformar
• m es la masa del muelle

Condiciones iniciales y de contorno

Sea un cuerpo de masa M unido a un muelle elástico de constante k, masa m y longitud L sin deformar

• Las condiciones iniciales son

En el instante t=0, el muelle está en reposo

${\displaystyle {\frac{\partial (u,t)}{\partial t}|}_{t=0}=0}$

Se ha deformado l₀, por lo que un punto x del muelle se ha desplazado u(x,0)=xl₀/L

• Las condiciones de contorno son

El extremo izquierdo del muelle está fijo, u(0,t)=0

La fuerza F que ejerce el muelle sobre el cuerpo de masa M, produce una aceleración

${\displaystyle \begin{array}{l}-kL{\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|}_{x=L}=M{\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}|}_{x=L}\\ {\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|}_{x=L}=-\frac{M}{kL}\left(\frac{k{L}^2}{m}\right){\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}|}_{x=L}\\ {\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|}_{x=L}=-\frac{ML}{m}{\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}|}_{x=L}\end{array}}$

Separación de variables

Para resolver la ecuación diferencial dividimos la solución en producto de dos funciones una dependiente de x y la otra de t.

${\displaystyle \begin{array}{l}u(x,t)=X(x)·T(t)\hfill \\ \frac{1}{T(t)}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}={\omega }^2{L}^2\frac{1}{X(x)}\frac{d^{2}X}{d{x}^2}=-{\omega }^2{\xi }^2\hfill \end{array}}$

Como el miembro izquierdo depende solamente de t y el derecho solamente de x, entonces, igualamos ambos a una constante que denominaremos -(ωξ)². Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}+{\xi }^2{\omega }^2·T=0\\ \frac{d^{2}X}{d{x}^2}+\frac{{\xi }^2}{L^2}X=0\end{array}}$

Ambas ecuaciones tienen soluciones conocidas

${\displaystyle \begin{array}{l}T(t)=A\cos (\xi \omega t)+B\sin (\xi \omega t)\hfill \\ X(x)=C\cos \left(\xi \frac{x}{L}\right)+D\sin \left(\xi \frac{x}{L}\right)\hfill \end{array}}$

Donde A, B, C y D se determinan a partir de las dos condiciones iniciales y las otras dos de contorno.

Modos de vibración

• Si el muelle está fijo por el extremo izquierdo x=0, entonces X(0)=0 y C=0.

• El muelle está inicialmente en reposo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\frac{\partial (u,t)}{\partial t}|}_{t=0}=0\\ {\frac{\partial T(t)}{\partial t}|}_{t=0}=0\end{array}}$

por lo que B=0

• El cuerpo de masa M situado en x=L experimenta una aceleración debido a la fuerza que ejerce el muelle

${\displaystyle \begin{array}{l}{\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|}_{x=L}=-\frac{ML}{m}{\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}|}_{x=L}\\ \frac{\xi }{L}D\cos \left(\frac{\xi }{L}L\right)=\frac{ML}{m}\frac{{\xi }^2}{L^2}D\sin \left(\frac{\xi }{L}L\right)\\ \cot \left(\xi \right)=\frac{M}{m}\xi \end{array}}$

Se representa la función y=cot(x), y la recta y=x/(m/M), con x=ξ. La intersección son las raíces buscadas. Una ecuación similar calcula los máximos secundarios de difracción de una rendija

m_M=1; %cociente m/M
hold on
fplot(@(x) cot(x),[0,4*pi])
fplot(@(x) x/m_M,[0,4*pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/2:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi',
'5\pi/2','3\pi','7\pi/2','4\pi'})
grid on
ylim([-20,20])
xlabel('\lambda/\omega')
ylabel('y')
title('Raíces')

Las raíces están en los intervalos (0,π/2), (π,3π/2), (2π,5π/2)....La función cot(nπ) se hace infinita, para n=0,1,2,3...Cuando se aplican el procedimiento numérico fzero de MATLAB, aparece un error que hemos de evitar

Los primeros valores de las raíces de la ecuación transcendente para m/M=1, son

m_M=1; %cociente m/M
delta=acot(200); %evita el infinito de cot
f=@(x) cot(x)-x/m_M;
for n=0:5
    xi_n=fzero(f,[n*pi+delta,n*pi+pi/2]);
    disp(xi_n)
end

    0.8603
    3.4256
    6.4373
    9.5293
   12.6453
   15.7713

Cuando m/M→0, cot(ξ)→∞, las raíces ξ_n se aproximan a 0, π, 2π...

Cuando n es grande las raíces ξ_n se aproximan a (n-1)π

En al figura, observamos cómo cambia ξ₁, ξ₂ y ξ₃ con el cociente m/M

delta=acot(1000); %evita el infinito de cot
m_M=0.01:0.01:3; %cociente M/m
xi=zeros(1,length(m_M));
hold on
for n=0:2
    i=1;
    for c=m_M
        f=@(x) cot(x)-x/c;
        xi(i)=fzero(f,[n*pi+delta,n*pi+pi/2]);
       i=i+1;
    end
    plot(m_M,xi, 'displayName',num2str(n+1))
end
hold off
set(gca,'YTick',0:pi/2:4*pi)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi',
'5\pi/2','3\pi','7\pi/2','4\pi'})
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
grid on
ylabel('\lambda/\omega')
xlabel('m/M')
title('Tres primeros modos')

La solución de la ecuación diferencial correspondiente al modo n, con B=0 y C=0 es

${\displaystyle u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)A_n\cos ({\xi }_n\omega t)}$

Superposición

La solución general, es la superposición

${\displaystyle u(x,t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x,t)}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\cos ({\xi }_n\omega t)}}$

Para calcular los coeficientes A_n, utilizamos los siguientes relaciones de las funcione seno y coseno.

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}\\ \cos A\cos B=\frac{\cos (A-B)+\cos (A+B)}{2}\end{array}}$

para calcular las integrales siguientes

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\sin \left({\xi }_m\frac{x}{L}\right)dx}=L\frac{\sin \left({\xi }_n\right)\cos \left({\xi }_m\right)\left({\xi }_m-{\xi }_n\frac{\tan \left({\xi }_m\right)}{\tan \left({\xi }_n\right)}\right)}{\left({\xi }_n-{\xi }_m\right)\left({\xi }_n+{\xi }_m\right)}}$

Teniendo en cuenta que que ξ_n son las raíces de la ecuación transcendente,

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \left({\xi }_i\right)=\frac{m}{M{\xi }_i}i=m,n\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\sin \left({\xi }_m\frac{x}{L}\right)dx}=-\frac{L}{{\xi }_m}\sin \left({\xi }_n\right)\cos \left({\xi }_m\right)=\\ -\frac{ML}{m}\sin \left({\xi }_n\right)\sin \left({\xi }_m\right)m\ne n\end{array}}$

Del mismo modo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\cos \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\cos \left({\xi }_m\frac{x}{L}\right)dx}=L\frac{\sin \left({\xi }_n\right)\sin \left({\xi }_m\right)\left({\xi }_n-{\xi }_m\frac{\tan \left({\xi }_m\right)}{\tan \left({\xi }_n\right)}\right)}{\left({\xi }_n-{\xi }_m\right)\left({\xi }_n+{\xi }_m\right)}=\\ L\frac{\sin \left({\xi }_n\right)\sin \left({\xi }_m\right)\left({\xi }_n-{\xi }_n\right)}{\left({\xi }_n-{\xi }_m\right)\left({\xi }_n+{\xi }_m\right)}=0m\ne n\end{array}}$

Este es un resultado importante, que nos dice que las funciones cos(ξ_nx/L) son ortogonales pero no lo son las funciones seno

Cuando los índices m y n son iguales, utilizamos las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}{\sin }^{2}A=\frac{1}{2}\left(1-\cos \left(2A\right)\right)\\ {\cos }^{2}A=\frac{1}{2}\left(1+\cos \left(2A\right)\right)\end{array}}$

para calcular las integrales

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\sin }^2\left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)dx}=\frac{L}{2}\left(1-\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\cos }^2\left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)dx}=\frac{L}{2}\left(1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)\end{array}}$

La deformación inicial del muelle es l₀ o bien, u(x,0)=xl₀/L, nos permite calcular los coeficientes A_n

${\displaystyle x\frac{l_0}{L}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)}}$

Sin embargo, las funciones seno no son ortogonales, por lo que tendremos que utilizar las funciones coseno, por lo que procedemos a derivar ambos miembros

${\displaystyle l_0={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{\xi }_n\cos \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)}}$

Multiplicamos ambos miembros por cos(ξ_mx/L) en integramos entre 0 y L

${\displaystyle \begin{array}{l}{l}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\cos \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)}dx={\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{A}_m{\xi }_m{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\cos \left({\xi }_m\frac{x}{L}\right)}}\cos \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)dx\\ l_0\frac{L}{{\xi }_n}\sin \left({\xi }_n\right)={\xi }_n{A}_n\frac{L}{2}\left(1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)\\ A_n=2l_0\frac{1}{{\xi }_n^2}\frac{\sin \left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}\end{array}}$

Cuando x=L, se cumplirá que

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\xi }_n^2}\frac{{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}}=\frac{1}{2}}$

Resultado importante, que utilizaremos en el cálculo de la energía del sistema. Comprobamos que la suma de la serie tiende hacia 1/2. Tomamos el cociente entre masas m/M=0.3 y se han sumado los 10 primeros términos del desarrollo en serie

m_M=0.3; %cociente m/M
delta=acot(200); %evita el infinito de cot
f=@(x) cot(x)-x/m_M;
sum=0;
for n=0:10
    xi=fzero(f,[n*pi+delta,n*pi+pi/2]);
    sum=sum+sin(xi)^2/(xi^2*(1+sin(xi)^2/m_M));
end
disp(sum)

    0.5000

La solución completa es

${\displaystyle u(x,t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x,t)}=2l_0{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\xi }_n^2}\frac{\sin \left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\cos ({\xi }_n\omega t)}}$

Energías

Tenemos que calcular tres energías: la energía cinética E_kM del cuerpo de masa M, la energía cinética de los distintos elementos del muelle E_km y su energía potencial E_p, debido a que el muelle experiementa deformaciones. La suma de las tres energías deberá dar constante e igual a la energía inicial del muelle deformado, l₀

${\displaystyle E=E_{km}+E_{kM}+E_P=\frac{1}{2}k{l}_0^2}$

Energía cinética del muelle

El elemento diferencial comprendido entre x yx+dx tiene una masa m·dx/L y se desplaza con velocidad $\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}$, su energía cinética es $\frac{1}{2}\left(\frac{m}{L}dx\right){\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)}^2$, y la energía cinética total se obtiene integrando con respecto de x en el intervalo 0≤x≤L

${\displaystyle E_{km}={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{1}{2}\frac{m}{L}{\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)}^2}dx}$

Energía cinética del cuerpo

La energía cinética del cuerpo de masa M situado en x=L, unido al muelle elástico es

${\displaystyle E_{kM}=\frac{1}{2}M{\left(\frac{\partial u(L,t)}{\partial t}\right)}^2}$

Energía potencial del muelle deformado

Cada elemento diferencial comprendido entre x y x+dx, acumula una energía potencial debido a la deformación, que es igual al producto de la fuerza media por el desplazamiento. La fuerza en la posición x, es

${\displaystyle F=kL\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}}$

La energía potencial de dicho elemento diferencial

${\displaystyle d{E}_p=\frac{1}{2}kL\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}du=\frac{1}{2}kL·{\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)}^{2}dx}$

La energía potencial total se obtiene, integrando con respecto de x en el intervalo 0≤x≤L

${\displaystyle E_p={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{1}{2}kL{\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)}^{2}dx}}$

Energía del modo n de vibración

Dado que u(x,t) es la superposición de los infinitos modos de vibración, calculamos la energía de cada uno de los modos

${\displaystyle \begin{array}{l}u(x,t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x,t)}\\ u_n(x,t)=A_n\sin \left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)\cos ({\xi }_n\omega t)\end{array}}$

Calculamos la energía total para el modo n y sumamos para todos los modos. La energía total deberá ser constante e igual a la energía de deformación inicial del muelle elástico

• Energía cinética del muelle elástico

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(E_{km}\right)}_n={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{1}{2}\frac{m}{L}{\left(\frac{\partial u_n(x,t)}{\partial t}\right)}^2}dx=\frac{1}{2}\frac{m}{L}{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2{\sin }^2\left({\xi }_n\omega t\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\sin }^2\left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)dx}=\\ \frac{1}{4}m{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(1-\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right){\sin }^2\left({\xi }_n\omega t\right)\end{array}}$

• Energía cinética del cuerpo de masa M

${\displaystyle {\left(E_{kM}\right)}_n=\frac{1}{2}M{\left(\frac{\partial u_n(L,t)}{\partial t}\right)}^2=\frac{1}{2}M{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2{\sin }^2\left({\xi }_n\right){\sin }^2\left({\xi }_n\omega t\right)}$

• Energía potencial del muelle elástico

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(E_p\right)}_n={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{1}{2}kL{\left(\frac{\partial u_n(x,t)}{\partial x}\right)}^{2}dx}=\frac{1}{2}kL{A}_n^2\frac{{\xi }_n^2}{L^2}{\cos }^2\left({\xi }_n\omega t\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\cos }^2\left({\xi }_n\frac{x}{L}\right)dx}=\\ \frac{1}{4}m{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right){\cos }^2\left({\xi }_n\omega t\right)\end{array}}$

Sumamos los tres términos

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_n={\left(E_{km}\right)}_n+{\left(E_{kM}\right)}_n+{\left(E_p\right)}_n=\\ \frac{1}{4}m{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(1-\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right){\sin }^2\left({\xi }_n\omega t\right)+\frac{1}{2}M{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2{\sin }^2\left({\xi }_n\right){\sin }^2\left({\xi }_n\omega t\right)+\\ \frac{1}{4}m{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right){\cos }^2\left({\xi }_n\omega t\right)=\\ \frac{1}{4}{A}_n^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(m+M{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)\end{array}}$

Teniendo en cuenta la expresión de A_n

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_n=\frac{1}{4}{\left(2\frac{l_0}{{\xi }_n^2}\frac{\sin \left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}\right)}^2{\xi }_n^2{\omega }^2\left(m+M{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)=\\ =m\frac{l_0^2{\omega }^2}{{\xi }_n^2}\frac{{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}=k\frac{l_0^2}{{\xi }_n^2}\frac{{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}{1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}\end{array}}$

Energía total de todos los modos de vibración

${\displaystyle E={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{E}_n}=k{l}_0^2{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^2\left({\xi }_n\right)}{{\xi }_n^2\left(1+\frac{M}{m}{\sin }^2\left({\xi }_n\right)\right)}}=\frac{1}{2}k{l}_0^2}$

Hemos utilizado la propiedad importante deducida al final del apartado anterior. La energía total es constante e igual a la deformación inicial del muelle

En la figura se muestra la energía de los tres primeros modos de vibración dividida por la energía inicial $\frac{1}{2}k{l}_0^2$ en función del cociente m/M

delta=acot(1000); %evita el infinito de cot
m_M=0.01:0.01:3; %cociente m/M
E_n=zeros(1,length(m_M));
hold on
for n=0:2
    i=1;
    for c=m_M
        f=@(x) cot(x)-x/c;
        xi=fzero(f,[n*pi+delta,n*pi+pi/2]);
        E_n(i)=2*sin(xi)^2/(xi^2*(1+sin(xi)^2/c)); %E_n/(kl0^2/2)
        i=i+1;
    end
    plot(m_M,E_n, 'displayName',num2str(n+1))
end
hold off
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
grid on
ylabel('E_n')
xlabel('m/M')
title('Energía, tres primeros modos')

Vemos que el primer modo lleva casi toda la energía cuando el cociente m/M es pequeño

Periodo

En el caso de un muelle ideal de constante k ideal (de masa despreciable) unido a un cuerpo de masa M, el periodo P es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}}$

Midiendo los periodos P de muelles de constante k y masa m no despreciable, unidos a un cuerpo de masa M se llega a la fórmula

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{M+\frac{m}{f}}{k}}}$

M+m/f es la masa equivalente del sistema y f es un factor del orden de 3

Consideremos el primer modo de vibración

${\displaystyle u_1(x,t)=A_1\sin \left({\xi }_1\frac{x}{L}\right)\cos ({\xi }_1\omega t)}$

Cada punto x del muelle describe un MAS de frecuencia angular ξ₁ω o periodo P₁=2π/(ξ₁ω)

${\displaystyle {\xi }_1^2{\omega }^2=\frac{k}{M+m/f}}$

Como k=mω², despejamos el factor f de dicha ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}{\xi }_1^2=\frac{m}{M+\frac{m}{f}}\\ f=\frac{\left(m/M\right){\xi }_1^2}{\left(m/M\right)-{\xi }_1^2}\end{array}}$

En la figura, representamos el factor f en función del cociente de masas m/M, para el primer modo de vibración, ξ₁

delta=acot(1000); %evita el infinito de cot
m_M=0.01:0.01:3; %cociente m/M
factor=zeros(1,length(m_M));
hold on
n=0; %primer modo
i=1;
for c=m_M
     f=@(x) cot(x)-x/c;
     xi=fzero(f,[n*pi+delta,n*pi+pi/2]);
     factor(i)=c/(c/xi^2-1);
     i=i+1;
end
plot(m_M,factor)
hold off
grid on
ylabel('f')
xlabel('m/M')
title('factor masa añadida')

Cuando m/M→0, ξ₁→0, véase la segunda figura titulada 'Tres primeros modos'. Llamemos x=m/M, e y=ξ₁. La ecuación transcendente que relaciona ambas variables, se escribe tan(y)=x/y, por lo que f es

${\displaystyle f=\frac{y^2\tan (y)}{\tan (y)-y}}$

>> syms y;
>> limit(y^2*tan(y)/(tan(y)-y),y,0)
ans =3

Por tanto, cuando m/M→0, f→3

El factor f va disminuyendo a medida que se incrementa el cociente m/M. Cuando m/M→∞, ξ₁→π/2 (véase la segunda figura titulada 'Tres primeros modos'), el factor f→(π/2)²=2.467

Referencias

Ye-Wan Ma, Zhao-Wang Wu, Li-Hua Zhang, Quan-Jin Liu, Xun-Chang Yin, Yong-Cai Shen. Theoretical study of the energy and oscillating period for uniformly distributed mass spring. Eur. J. Phys. 40 (2019) 035004. pp. 1-16.