Modos normales de un cable en movimiento de rotación, suspendido verticalmente.

Supongamos un cable de masa M y longitud L suspendido verticalmente. El extremo superior está unido a un eje vertical que gira con velocidad angular ω. El cable está sujeto en el extremo inferior aunque puede girar sin rozamiento alrededor del mismo eje, además, de este extremo pende una carga que hace que el cable esté tenso.

La ecuación diferencial que describe el movimiento de rotación del cable es

z ( T(z) R(z,t) z )= 2 t 2 ( M L R(z,t) ) T(z)= T 0 + M L gz

T(z) es la tensión vertical del cable, incluyendo su propio peso

T0 es la tensión adicional que se aplica en el extremo inferior del cable, por ejemplo, colgando una pesa, tal como se muestra en la figura.

En el estado estacionario, buscamos una solución de la forma

R(z,t)=r(z)·sin(ωt) d dz ( T(z) dr(z) dz )+ ω 2 M L r(z)=0

La solución de esta ecuación diferencial es

r(z)= C 1 J 0 ( 2ω g L M ( M L gz+ T 0 ) )+ C 2 Y 0 ( 2ω g L M ( M L gz+ T 0 ) )

J0 e Y0 son las funciones de Bessel de orden cero de primera y segunda especie.

Las condiciones de contorno r(0)=r(L)=0, el cable sujeto por ambos extremos, proporcionan dos ecuaciones.

C 1 J 0 ( 2ω g L M T 0 )+ C 2 Y 0 ( 2ω g L M T 0 )=0 C 1 J 0 ( 2ω g L M ( Mg+ T 0 ) )+ C 2 Y 0 ( 2ω g L M ( Mg+ T 0 ) )=0

Despejando C1 en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda obtenemos la ecuación trascendente en ω que resolvemos aplicando procedimientos numéricos.

J 0 ( 2ω g L M T 0 ) Y 0 ( 2ω g L M ( Mg+ T 0 ) ) Y 0 ( 2ω g L M T 0 ) J 0 ( 2ω g L M ( Mg+ T 0 ) )=0 J 0 ( γω ) Y 0 ( γω Mg T 0 +1 ) Y 0 ( γω ) J 0 ( γω Mg T 0 +1 )=0γ=2 L g · T 0 Mg

Cuyas raíces ω1, ω2,… ωn, nos dan las velocidades angulares de rotación que corresponden a los modos normales.

Llamamos p=Mg/T0, x=γω. Fijamos la longitud del cable L=1.0, y establecemos el valor de su tensión T0 de modo que el parámetro p=1.0. Obtenemos las raíces de la ecuación transcendente utilizando la función buscar_intervalos que hemos definido en la página anterior..

p=1.0; %parámetro
gamma=2*sqrt(1.0/(9.8*p));
f=@(x) besselj(0,x).*bessely(0,x*sqrt(p+1))-
bessely(0,x).*besselj(0,x*sqrt(p+1));
x=linspace(1,100,100);
disp('Velocidades angulares de rotación')
r=raices(f,x)/gamma;
disp(r')

En la ventana de comandos obtenemos las velocidades angulares de rotación que corresponden a los sucesivos modos normales.

número de intervalos:13
Velocidades angulares de rotación
   11.8537
   23.7341
   35.6087
   47.4818
   59.3543
   71.2265
   83.0985
   94.9704
  106.8422
  118.7140
  130.5857
  142.4575
  154.3292

Cambiamos el valor de parámetro p y obtenemos otro conjunto de valores para ω1, ω2,… ωn,

Las distintas configuraciones rn(z) se obtienen expresando C2 en términos de C1, en la primera ecuación del sistema.

r n (z)= C n { J 0 ( γ ω n Mg T 0 z L +1 ) J 0 ( γ ω n ) Y 0 ( γ ω n ) Y 0 ( γ ω n Mg T 0 z L +1 ) }

La constante Cn se determina haciendo que

0 L r 2 (z)·dz =1

Elaboramos un script que que calcule las velocidades angulares y nos represente los distintos modos normales de rotación del cable

p=1.0; %parámetro
gamma=2*sqrt(1.0/(9.8*p));
f=@(x) besselj(0,x).*bessely(0,x*sqrt(p+1))-
bessely(0,x).*besselj(0,x*sqrt(p+1));
x=linspace(1,100,100);
raiz=raices(f,x);

n=2;  %modo normal
gw=raiz(n);
r=@(x) besselj(0,gw*sqrt(p*x+1))- besselj(0,gw)
*bessely(0,gw*sqrt(p*x+1))/bessely(0,gw);
r2=@(x) r(x).*r(x);
const=quad(r2,0,1.0);  
x=linspace(0,1.0,100);
y=r(x)/sqrt(const);  %normaliza
plot(y,x)
text(0,0.9, num2str(gw/gamma))
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Rotación de un cable')

En la figura, vemos el segundo modo n=2, cuya velocidad angular de rotación es 23.73. Cambiando el valor del índice n, representamos distintos modos de rotación del cable.

Referencias

Noël J-M., Niquette C., Lockridge S., Gauthier N., Natural configurations and normal frequencies of a vertically suspended, spinning, loaded cable with both extremities pinned. Eur. J. Phys. 29 (2008), pp. N47-N5