Vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

La ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio es

2 Ψ t 2 = c 2 2 Ψ x 2

Donde c es la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda.

c= T μ

Condiciones iniciales y de contorno

Para resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales que es de segundo orden en x y en t, se precisa especificar dos condiciones inciales: la deformación inicial de la cuerda y la velocidad inicial de cada uno de los puntos de la cuerda

t=0{ Ψ(x,0)= Ψ 0 (x) Ψ(x,t) t | t=0 = Ψ ˙ 0 (x)

y otras dos condiciones de contorno:

Si uno de los extremos en x=0, es fijo,

Ψ(0,t)=0

Si el otro extremo x=l está fijo,

Ψ(l,t)=0

Pero pueden darse otras posibilidades en los extremos de la cuerda.

Modos de vibración

Para resolver la ecuación diferencial dividimos la solución en producto de dos funciones una dependiente de x y la otra de t.

Ψ(x,t)=Φ(x)·T(t) 1 T(t) d 2 T d t 2 = c 2 Φ(x) d 2 Φ d x 2 = ω 2

Como el miembro izquierdo depende solamente de t y el derecho solamente de x, entonces, igualamos ambos a una constante que denominaremos -ω2

d 2 T d t 2 + ω 2 ·T=0 d 2 Φ d x 2 + ω 2 c 2 Φ=0

Ambas ecuaciones tienen soluciones conocidas

T(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt) Φ(x)=Ccos( ω c x )+Dsin( ω c x )

Donde A, B, C y D se determinan a partir de las dos condiciones iniciales y las otras dos de contorno.

Si la cuerda está sujeta por el extremo izquierdo x=0, entonces Φ(0)=0 y C=0. Si está sujeta por el extremo derecho Φ(l)=0, entonces y D no podrá ser nulo en una solución no trivial, sino que

sin( ω c l )=0 ω n =nπ c l n=1,2,3...

Las frecuencias ωn se denominan naturales o propias de la cuerda.

Φ n (x)=sin( ω n c x )=sin( nπ x l )

En la figura se muestran los cuatro primeros modos de vibración.

La solución de la ecuación diferencial correspondiente al modo n de vibración de la cuerda es

Ψ n (x,t)= Φ n (x) T n (t)=sin( nπ x l )( a n cos( nπ c l t )+ b n sin( nπ c l t ) )

donde an y bn son coeficientes que se determinarán más adelante

Superposición

La solución general que satisface las condciones de contorno Φ(0)=0, y Φ(l)=0, es la superposición

Ψ(x,t)= n=1 Ψ n (x,t) = n=1 sin( nπ x l )( a n cos( nπ c l t )+ b n sin( nπ c l t ) )

Esta ecuación describe todos los posibles modos de vibración de la cuerda. La vibración particular que experimenta la cuerda está únicamente determinada por las condiciones iniciales, que a su vez determinan los valores de las constantes an y bn.

Ψ(x,0)= Ψ 0 (x) n=1 a n sin( nπ x l )= Ψ 0 (x) Ψ(x,t) t | t=0 = Ψ ˙ 0 (x) n=1 nπ c l b n sin( nπ x l )= Ψ ˙ 0 (x)

Teniendo en cuenta el resultado de las integrales

0 l sin 2 ( nπ x l ) dx= l 2 0 l sin( nπ x l )sin( mπ x l ) dx=0mn

>> syms n x L;
>> assume(n,'integer');
>> int('sin(n*pi*x/L)^2',x,0,L)
ans =L/2 - (L*sin(2*pi*n))/(4*n*pi)
>> simplify(ans)
ans =L/2

Los valores de las constantes an y bn se determinan de modo análogo a los coeficientes de un desarrollo en serie de Fourier.

a n = 2 l 0 l Ψ 0 (x)sin( nπ x l ) dx b n = 2 nπc 0 l Ψ ˙ 0 (x)sin( nπ x l ) dx

Cuerda punzada

Perturbación inicial

Una cuerda de longitud l está sometida a una tensión T ,tiene una masa μ por unidad de longitud. La cuerda está fija por ambos extremos. La cuerda que está inicialmente en reposo, deformada

Ψ(x,0)={ h a x0xa h la (lx)a<xl Ψ(x,t) x | t=0 =0

Para calcular la deformación Ψ(x,t) de la cuerda en cualquier punto x y en cualquier instante t, primero calculamos los coeficientes an. Los coeficientes bn=0, son nulos.

a n = 2 l 0 l Ψ 0 (x)sin( nπ x l ) dx= 2 l ( 0 a h a xsin( nπ x l ) dx+ a l h la (lx)sin( nπ x l ) dx ) = 2h l 2 n 2 π 2 a(la) sin( nπ a l )

>> syms x h a L n;
>> assume(n,'integer')
>> an=2*(int('x*sin(n*pi*x/L)',x,0,a)*h/a+
int('(L-x)*sin(n*pi*x/L)',x,a,L)*h/(L-a))/L;
>> simplify(an)
ans =(2*L^2*h*sin((pi*a*n)/L))/(a*n^2*pi^2*(L - a))

Aproximamos la deformación inicial de la cuerda Ψ(x,0) con los primeros cinco términos del desarrollo en serie

L=1; %longitud de la cuerda
h=0.1; %deformación máxima
a=L/4; %punto de máxima deformación
x=linspace(0,L,200);
y=(h*x/a).*(heaviside(x)-heaviside(x-a))
+(h*(L-x)/(L-a)).*(heaviside(x-a)-heaviside(x-L));
yy=zeros(1,length(x));
for n=1:5; %aproxima con cinco términos
    yy=yy+(2*h*L^2/(pi^2*a*(L-a)))*sin(n*pi*a/L)*sin(n*pi*x/L)/n^2;
end
plot(x,y,x,yy)
xlabel('x')
ylabel('\Psi(x,0)')
title('Deformación inicial de la cuerda')
grid on

Representamos los primeros coeficientes an para tres valores del cociente z=a/l: 1/2, 1/3 y 1/4

a n = 2h n 2 π 2 z( 1z ) sin( nπz )

h=0.1; %deformación máxima
an=@(n,z) 2*h*sin(n*pi*z)./(pi^2*z*(1-z)*n.^2);

subplot(3,1,1)
stem(an(1:8,1/2))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('L/a=1/2')

subplot(3,1,2)
stem(an(1:8,1/3))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('L/a=1/3')

subplot(3,1,3)
stem(an(1:8,1/4))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('L/a=1/4')

>> an(1:8,1/2)
ans =0.0811   0.0000  -0.0090  -0.0000   0.0032   0.0000  -0.0017  -0.0000
>> an(1:8,1/3)
ans =0.0790   0.0197   0.0000  -0.0049  -0.0032  -0.0000   0.0016   0.0012
>> an(1:8,1/4)
ans =0.0764   0.0270   0.0085   0.0000  -0.0031  -0.0030  -0.0016  -0.0000

Propagación

Ψ(x,t)= 2h l 2 π 2 a(la) n=1 1 n 2 sin( nπ a l )sin( nπ x l )cos( nπ ct l )

Cuerda pulsada

Perturbación inicial

Una posible representación de la perturbación inicial de la cuerda cuando se actúa con el dedo, en una guitarra o en un arpa sería la siguiente

Ψ(x,0)={ h x aw 0<x<aw haw<x<a+w h lx l(a+w) x>a+w Ψ(x,t) t | t=0 =0

Los coeficientes bn=0. Calculamos los coeficientes an

a n = 2 l 0 l Ψ(x,0)sin( nπ x l ) dx= 2 l ( 0 aw h aw xsin( nπ x l )dx+ aw a+w h sin( nπ x l )dx+ a+w l h law (lx)sin( nπ x l )dx ) = 2hl n 2 π 2 ( sin( nπ aw l ) aw + sin( nπ a+w l ) l(a+w) )

Cuando w=0, comprobamos que obtenemos la misma expresión para an que en el caso anterior de la cuerda punzada

L=1; %longitud de la cuerda
h=0.1; %deformación máxima
a=L/4; %punto de máxima deformación
w=0.1; %anchura 2w
x=linspace(0,L,200);
y=(h*x/(a-w)).*(heaviside(x)-heaviside(x-a+w))+h*(heaviside(x-a+w)-
heaviside(x-a-w))+(h*(L-x)/(L-a-w)).*(heaviside(x-a-w)-heaviside(x-L));
yy=zeros(1,length(x));
for n=1:10; %aproxima con diez términos
    yy=yy+2*h*L*(sin(n*pi*(a-w)/L)/(a-w)+sin(n*pi*(a+w)/L)/(L-a-w))
*sin(n*pi*x/L)/(pi^2*n^2);
end
plot(x,y,x,yy)
xlabel('x')
ylabel('\Psi(x,0)')
title('Deformación inicial de la cuerda')
grid on

Representamos los primeros coeficientes bn para tres valores del cociente z=a/l: 1/2, 1/3 y 1/4

h=0.1; %deformación máxima
w=0.1; %anchura 2w
an=@(n,z) 2*h*(sin(n*pi*(z-w))/(z-w)+sin(n*pi*(z+w))/(1-z-w))./(pi^2*n.^2);

subplot(3,1,1)
stem(an(1:8,1/2))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('a/L=1/2')

subplot(3,1,2)
stem(an(1:8,1/3))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('a/L=1/3')

subplot(3,1,3)
stem(an(1:8,1/4))
xlabel('n');
ylabel('a_n')
title('a/L=1/4')

>> an(1:8,1/2)
ans =0.0964   0.0000  -0.0066  -0.0000   0.0000  -0.0000   0.0012   0.0000
>> an(1:8,1/3)
ans =0.0931   0.0252   0.0046  -0.0005  -0.0010  -0.0013  -0.0017  -0.0011
>> an(1:8,1/4)
ans =0.0891   0.0336   0.0143   0.0062   0.0029   0.0014   0.0002  -0.0010

Propagación

Ψ(x,t)= 2hl π 2 n=1 1 n 2 ( sin( nπ aw l ) aw + sin( nπ a+w l ) l(a+w) ) sin( nπ x l )sin( nπ c l t )

Cuerda percutida

En el caso del piano, al instante t=0, la cuerda está inmóvil en su posición inicial sin perturbar, Ψ(x,0)=0. Se golpea con un martillo de ancho 2w<<L situado entre las abscisas x=a-w y x=a+w que comunica un impulso inicial a este segmento de cuerda. En estas condiciones, la velocidad de cada punto de la cuerda al instante t=0 esta dada por la función de la figura

Ψ(x,t) t | t=0 ={ 0x<awx>a+w uawxa+w Ψ(x,0)=0

Los coeficientes an=0, son nulos y los coeficientes bn se calculan

b n = 2 nπc 0 l Ψ(x,t) t | t=0 sin( nπ x l ) dx= 2 nπc aw a+w usin( nπ x l )dx= 4ul n 2 π 2 c sin( nπ w l )sin( nπ a l )

Aproximamos el pulso rectangular tomando 20 términos del desarrollo en serie

Ψ(x,t) t | t=0 = πc l n=1 n b n sin( nπ x l ) = 4u π n=1 1 n sin( nπ w l )sin( nπ a l )sin( nπ x l )

L=1; %longitud de la cuerda
u=1; %velocidad
a=L/4; 
w=0.1; %anchura es 2w
x=linspace(0,L,200);
y=u*(heaviside(x-a+w)-heaviside(x-a-w));
yy=zeros(1,length(x));
for n=1:20; %aproxima con veinte términos
    yy=yy+4*u*sin(n*pi*w/L)*sin(n*pi*a/L)*sin(n*pi*x/L)/(n*pi);
end
plot(x,y,x,yy)
xlabel('x')
ylabel('v(x,0)')
title('Cuerda percutida')
grid on

Representamos los primeros coeficientes bn para tres valores del cociente z=a/l: 1/2, 1/3 y 1/4

u=1; %velocidad
w=0.1; %anchura 2w
bn=@(n,z) 4*u*(sin(n*pi*w).*sin(n*pi*z))./(n.^2*pi^2);
subplot(3,1,1)
stem(bn(1:8,1/2))
xlabel('n');
ylabel('b_n')
title('a/L=1/2')

subplot(3,1,2)
stem(bn(1:8,1/3))
xlabel('n');
ylabel('b_n')
title('a/L=1/3')

subplot(3,1,3)
stem(bn(1:8,1/4))
xlabel('n');
ylabel('b_n')
title('a/L=1/4')

>> bn(1:8,1/2)
ans =0.1252   0.0000  -0.0364  -0.0000   0.0162   0.0000  -0.0067  -0.0000
>> bn(1:8,1/3)
ans =0.1085   0.0516   0.0000  -0.0209  -0.0140  -0.0000   0.0058   0.0032
>> bn(1:8,1/4)
ans =0.0886   0.0596   0.0258   0.0000  -0.0115  -0.0107  -0.0047  -0.0000

bn se hace nulo cuando na/L es un número entero, 0, 1,2,3.... Por ejemplo, si se golpea la cuerda en la mitad, a=L/2, los coeficientes bn se hacen nulos para n=2, 4, 6,... Si se golpea la cuerda en, a=L/3, los coeficientes bn se hacen nulos para n=3, 6, 9,.... La posición a donde se percute la cuerda selecciona los armónicos y sus amplitudes

Propagación

Ψ(x,t)= 4ul π 2 c n=1 1 n 2 sin( nπ w l )sin( nπ a l ) sin( nπ x l )sin( nπ c l t )


Referencias

Michel Picquart, Lidia Jiménez. Estudio simplificado del tiembre de cuerdas percutidas, punzadas y pulsadas. Lat. Am. Phys. Educ. Vol. 4, No. 3, Sept. 2010