Modos de vibración de una cuerda con cuentas

La frecuencia angular de vibración ω y el número de onda k están relacionados

k= ω v v= T μ

v es la velocidad de propagación de las ondas trasversales en la cuerda homogénea, T es la tensión y μ la densidad lineal

Una única masa sujeta a la cuerda

Consideremos una cuerda homogénea de longitud 2L y masa 2m con una masa puntual M situada en la posición x=L, tal como se muestra en la figura.

Las frecuencias de los distintos modos de vibración se calculan del siguiente modo

F 1 (kL)=sin(kL)=0 F 2 (kL)=p·sin(kL)2cos(kL)=0p= M m kL

Las raíces de la primera ecuación son kL=nπ con n=1, 2, 3…Sus frecuencias son

f= ω 2π = k 2π v

Para determinar las raíces de la segunda ecuación, es preciso emplear procedimientos numéricos.

En la figura, se representa la función F1(kL) en color rojo y F2(kL) en color azul. Las intersecciones con el eje horizontal son las raíces de las ecuaciones en este caso, para M/m=1.

x=0:0.1:10;
y=x.*sin(x)-2*cos(x);
plot(x,sin(x),x,y)
grid on
legend('1','2', 'location','northwest')
xlabel('kL')
ylabel('y');
title('Cuerda con una cuenta')

Calculamos las raíces de la función F2(kL) y luego, las frecuencias dividiendo las raíces entre 2·π

f=@(x) x.*sin(x)-2*cos(x);
x=linspace(0,10,50);
r=raices(f,x)/(2*pi);
disp(r);
    0.1714    0.5799    1.0470    1.5326

La amplitud en los distintos puntos x de la cuerda correspondiente a los modos de vibración solución de la primera ecuación es

Φ(x)={ Asin(kx)0xL Asin( k(x2L) )Lx2L

Las frecuencias de los distintos modos de vibración coinciden con los de una cuerda homogénea de longitud 2L teniendo índice par. Tales modos presentan un nodo en la posición x=L y por tanto, no se alteran por la presencia de la masa puntual M.

f n = n 2(2L) vn=2,4,6...

La lista ordenada de las primeras frecuencias es

>> frec=[(1:4)/2,frec_1];
>> sort(frec)
 0.1714  0.5000  0.5799  1.0000  1.0470  1.5000  1.5326  2.0000

La amplitud en los distintos puntos x de la cuerda correspondiente a los modos de vibración solución de la segunda ecuación trascendente es

Φ(x)={ Asin(kx)0xL Asin( k(x2L) )Lx2L

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se pulsa el botón titulado >>, para observar el siguiente modo de vibración.

Se pulsa el botón titulado <<, para observar el modo de vibración anterior

En la parte superior, se muestra el modo de vibración y su frecuencia f en Hz.

Dos masas sujetas a la cuerda

Consideremos una cuerda homogénea de longitud 3L y masa 3m con dos masas puntuales M situadas en las posiciones x=L y x=2L tal como se muestra en la figura.

Las frecuencias de los distintos modos de vibración se calculan del siguiente modo

F 1 (kL)=sin(kL)=0 F 2 (kL)=p·sin(kL)2cos(kL)1=0 F 3 (kL)=p·sin(kL)2cos(kL)+1=0

Las raíces de la primera ecuación son kL=nπ con n=1, 2, 3…

Para determinar las raíces de la segunda y tercera ecuación, es preciso emplear procedimientos numéricos.

En la figura, se representa las funciones F1(kL), F2(kL) y F3(kL) en color negro. Las intersecciones con el eje horizontal son las raíces de las ecuaciones en este caso, para M/m=1.

x=0:0.1:10;
y=x.*sin(x)-2*cos(x)-1;
yy=x.*sin(x)-2*cos(x)+1;
plot(x,sin(x),x,y,x,yy)
grid on
legend('1','2','3', 'location','northwest')
xlabel('kL')
ylabel('y');
title('Cuerda con dos cuentas')

f=@(x) x.*sin(x)-2*cos(x)-1;
x=linspace(0,10,50);
r1=raices(f,x)/(2*pi);
disp(r1);

%segunda función
g=@(x) x.*sin(x)-2*cos(x)+1;
x=linspace(0,10,50);
r2=raices(g,x)/(2*pi);
disp(r2);
    0.2208    0.5437    1.0689    1.5166
    0.1164    0.6132    1.0243    1.5483

La amplitud en los distintos puntos x de la cuerda correspondiente a los modos de vibración solución de la primera ecuación es

Φ(x)=Asin(kx)0x3L

Las frecuencias de los distintos modos de vibración coinciden con los de una cuerda homogénea de longitud 3L teniendo índice múltiplo de tres. Tales modos presentan un nodo en la posición x=L y otro en la posición x=2L, y por tanto, no se alteran por la presencia de las masas puntuales M.

f n = n 2(3L) vn=3,6,9,...

La lista ordenada de las primeras frecuencias es

>> frec=[(1:4)/2,r1,r2];
>> sort(frec)
   0.1164  0.2208  0.5000  0.5437  0.6132 1.0000  1.0243  1.0689  
1.5000  1.5166 1.5483  2.0000

La amplitud en los distintos puntos x de la cuerda correspondiente a los modos de vibración solución de la segunda ecuación es

Φ(x)={ Asin(kx)0xL 2Acos( 1 2 kL )sin( k( 3 2 Lx ) )Lx2L Asin( k(3Lx) )2Lx3L

La amplitud en los distintos puntos x de la cuerda correspondiente a los modos de vibración solución de la tercera ecuación es

Φ(x)={ Asin(kx)0xL 2Asin( 1 2 kL )cos( k( 3 2 Lx ) )Lx2L Asin( k(3Lx) )2Lx3L

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se pulsa el botón titulado >>, para observar el siguiente modo de vibración.

Se pulsa el botón titulado <<, para observar el modo de vibración anterior

En la parte superior, se muestra el modo de vibración y su frecuencia f en Hz.

Referencias

Gómez B. J. Repetto C. E., Stia C. R., Welti R. Oscillations of a string with concentrated masses. Eur. J. Phys. 28 (2007) pp. 961-975