Propagación en un medio no homogéneo (I)

El índice de refracción n es el cociente entre la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad v de la luz en un medio material transparente. n=c/v

El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino AB es

A B dt = A B ds v = 1 c A B nds

Esta última integral, se denomina camino óptico

En general el índice de refracción n no es constante sino que varía con x, con y o ambos, n=n(x, y). Para que el tiempo sea mínimo, tenemos que calcular el extremo de la funcional

I= A B n(x,y) d x 2 +d y 2 = A B n(x,y) 1+ ( dy dx ) 2 dx = A B n(x,y) 1+ y ˙ 2 dx

La función f es

f(x,y, y ˙ )=n(x,y) 1+ y ˙ 2

La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f y d dx ( f y ˙ )=0

La ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es

n y 1+ ( dy dx ) 2 d dx ( n ( dy dx ) 1+ ( dy dx ) 2 ) n y 1+ ( dy dx ) 2 n d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 ( dy dx ) 2 1+ ( dy dx ) 2 d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 ( dy dx ) 1+ ( dy dx ) 2 dn dx =0 n y ( 1+ ( dy dx ) 2 )n d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 ( dy dx )( n x + n y dy dx )=0 d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 1 n ( n y n x dy dx )=0

Estudiaremos dos casos particulares:

El indice de refracción n varía con x

Supongamos una pieza de cierto material (un líquido contenido en un recipiente), de espesor t, que se ilumina con un rayo de luz a a la altura y0. El rayo entra en la pieza x=0, formando un cierto ángulo tal que

tan θ 0 = ( dy dx ) 0 = y ˙ 0

Cuando el índice de refracción n(x) varía horizontalmente, solamente depende de x, la ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es

d 2 y d x 2 ( 1+ ( dy dx ) 2 ) dy dx = 1 n dn dx y 0 y d 2 y d x 2 ( 1+ ( dy dx ) 2 ) dy dx dx= n 0 n dn n

Es una integral del tipo

dz z( 1+ z 2 ) ,z= dy dx 1 z( 1+ z 2 ) = A z + Bz+C 1+ z 2 ,{ A=1 B=1 C=0 { 1 z + z 1+ z 2 }dz= lnz+ 1 2 ln( 1+ z 2 )= 1 2 ln( 1+ 1 z 2 )

El resultado es

1 2 ln( 1+ 1 ( dy dx ) 2 1+ 1 ( dy dx ) 0 2 )=ln( n n 0 ) 1+ 1 y ˙ 2 1+ 1 y ˙ 0 2 = n 2 (x) n 0 2

Integrando respecto de la variable x,obtenemos la desviación vertical Δy=y1-y0

1 ( dy dx ) 2 = n 2 n 0 2 ( 1+ 1 y ˙ 0 2 )1 Δy= y 1 y 0 = 0 t dx n 2 n 0 2 ( 1+ 1 y ˙ 0 2 )1

El índice de refracción n varía con la altura y

Cuando el índice de refracción n(y) varíaverticalmente, solamente depende de y, la ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es

d 2 y d x 2 ( 1+ ( dy dx ) 2 ) = 1 n dn dy

Multiplicando por dy/dx

d 2 y d x 2 dy dx dx ( 1+ ( dy dx ) 2 ) = 1 n dn dy dy dx dx

Tenemos una integral del tipo

z·dz 1+ z 2 = 1 2 ln( 1+ z 2 ),z= dy dx

El resultado es

1 2 ln( 1+ ( dy dx ) 2 1+ ( dy dx ) 0 2 )= n 0 n dn n 1+ y ˙ 2 1+ y ˙ 0 2 = n 2 (y) n 0 2

Integrando respecto de la variable x,obtenemos el espesor t del material

( dy dx ) 2 = n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1 0 t dx = y 0 y 1 dy n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1 ,t= y 0 y 1 dy n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1

En la página titulada Medida de la difusividad térmica, estudiamos un ejemplo interesante de este caso

El indice de refracción n varía con x.

Supongamos que el indice de refración varía con x, n=n(x). Como la función f

f(x,y, y ˙ )=n(x) 1+ y ˙ 2

no depende de y. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f y d dx ( f y ˙ )=0 d dx ( f y ˙ )=0 n(x) y ˙ 1+ y ˙ 2 =C dy dx = C n 2 C

La constante C se determina sabiendo que para x=0

tan θ 0 = ( dy dx ) 0 = y ˙ 0

Para una pieza de espesor t, obtenemos el mismo resultado que en el primer apartado

y ˙ 0 2 = C n 0 2 C ,C= n 0 2 y ˙ 0 2 1+ y ˙ 0 2 ( dy dx ) 2 = n 0 2 y ˙ 0 2 1+ y ˙ 0 2 n 2 n 0 2 y ˙ 0 2 1+ y ˙ 0 2 = n 0 2 y ˙ 0 2 n 2 ( 1+ y ˙ 0 2 ) n 0 2 y ˙ 0 2 = 1 n 2 n 0 2 ( 1+ 1 y ˙ 0 2 )1 Δy= y 1 y 0 = 0 t dx n 2 n 0 2 ( 1+ 1 y ˙ 0 2 )1

Ejemplo. Ley de la refracción

Cuando el índice de refracción n es constante, la trayectoria y=y(x) es una línea recta

Consideremos el caso más sencillo: el índice de refracción n varía con x de la siguiente forma

n(x)={ n 1 x 1 x x m n 2 x m x x 2

La ecuación de la recta que une el punto (x1, y1) con (xm, ym) es

tan θ 1 = y y 1 x x 1 = C n 1 2 C x 1 x x m

La ecuación de la recta que une el punto (xm, ym) con (x2, y2) es

tan θ 2 = y y m x x m = C n 2 2 C x m x x 2

Relacionamos los ángulos θ1 y θ2

tan 2 θ 1 = C n 1 2 C tan 2 θ 2 = C n 2 2 C

En términos del sinθ

sin 2 θ 1 = C n 1 2 sin 2 θ 2 = C n 2 2 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2

que es la ley de Snell de la refracción

El índice de refracción n varía con la altura y

Consideremos ahora, un medio no homogéneo en el que el índice de refracción n varía con la altura y, n=n(y). Un ejemplo similar se estudia en la página titulada Espejismos

Como la función f

f(x,y, y ˙ )=n(y) 1+ y ˙ 2

no depende de x. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f x d dx ( f y ˙ f y ˙ )=0 f y ˙ ( f y ˙ )= C 1 n(y) 1+ y ˙ 2 = C 1

La constante C1 se determina sabiendo que para x=0

tan θ 0 = ( dy dx ) 0 = y ˙ 0

Para una pieza de espesor t, obtenemos el mismo resultado que en el primer apartado

n 0 2 1+ y ˙ 0 2 = C 1 2 n 2 1+ ( dy dx ) 2 = n 0 2 1+ y ˙ 0 2 ( dy dx ) 2 = n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1 0 t dx = y 0 y 1 dy n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1 ,t= y 0 y 1 dy n 2 n 0 2 ( 1+ y ˙ 0 2 )1

Ejemplo. El índice de rafracción se incrementa linealmente con la altura

Despejamos dy/dx e integramos

dx= C 1 dy n 2 (y) C 1 2 x= C 1 dy n 2 (y) C 1 2 + C 2

Como ejemplo, supongamos que el índice de refracción n se incrementa linealmente con la altura y, n(y)=n0(1+αy)

x= C 1 dy n 0 2 (1+αy) 2 C 1 2 + C 2 x= C 1 n 0 α dy ( 1 α +y ) 2 C 1 2 n 0 2 α 2 + C 2

Como los parámetros n0 y α son constantes, los incorporamos a la constante indeterminada C1 para disponer de una expresión más simplificada

x= C 1 dy ( 1 α +y ) 2 C 1 2 + C 2

Sea u=(1/α+y)/C1, du=dy/C1

x= C 1 du u 2 1 + C 2

u=coshz, du=sinhz·dz

x= C 1 z+ C 2 x= C 1 cosh 1 ( 1 C 1 ( 1 α +y ) )+ C 2 1 C 1 ( 1 α +y )=cosh( x C 2 C 1 ) y= 1 α + C 1 cosh( x C 2 C 1 )

Esta es la ecuación de la trayectoria. Calculamos las constantes C1 y C2 sabiendo que para x=0, y=y0 y el rayo forma un ángulo θ con el eje X.

y 0 = 1 α + C 1 cosh( C 2 C 1 )

La pendiente dy/dx del rayo en x=0 es

tanθ= ( dy dx ) x=0 =sinh( C 2 C 1 )

Teniendo en cuenta las relaciones

cosh 2 z sinh 2 z=1 1+ tan 2 θ= 1 cos 2 θ

Despejamos C1 y C2

C 1 =( y 0 + 1 α )cosθ C 2 = C 1 sinh 1 ( tanθ )

Posición del mínimo de la trayectoria

dy dx =sinh( x C 2 C 1 )

La pendiente es cero para xm=C2

y m = 1 α + C 1 = 1 α +( y 0 + 1 α )cosθ

Un rayo que sale de y0 con θ=0, tiene el mínimo xm=0 e ym=y0, en el punto de partida.

Trazamos los rayos que salen del punto x=0, y0=10, haciendo ángulos de -60, -30, 0, 30 y 60° con el eje X. Los rayos se propagan en un medio no homogéneo con índice de refracción que crece linealmente con la altura y, con α=2.3

alfa=2.3;
y0=10;
hold on
for th=(-60:30:60)*pi/180
    c1=(y0+1/alfa)*cos(th);
    c2=-c1*asinh(tan(th));
    f=@(x) -1/alfa+c1*cosh((x-c2)/c1);
    fplot(f,[0,10])
end
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trazado de rayos')

Comprobamos con la herramienta Data cursor de la ventana gráfica que el mínimo para la trayectoria cuyo ángulo θ=60°, es xm=6.87, ym=4.78

>> th=-pi/3;
>> c1=(y0+1/alfa)*cos(th);
>> c2=-c1*asinh(tan(th))
c2 =    6.8711
>>  ym=-1/alfa+(y0+1/alfa)*cos(th)
ym =    4.7826

Ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio

En el primer apartado, obtuvimos esta ecuación diferencial para un medio de índice de refracción n(x,y)

d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 1 n ( n y n x dy dx )=0

Para n(y)=n0(1+αy) toma la forma

( 1+αy ) d 2 y d x 2 =( 1+ ( dy dx ) 2 )α

Integramos esta ecuación diferencial mediante el procedimiento numérico ode45, con las condiciones iniciales especificadas

alfa=2.3;
%rayo de luz
y0=10;
angulo=-60*pi/180;
f=@(t,x) [x(2);alfa*(1+x(2)^2)/(1+alfa*x(1))];
[t,x]=ode45(f,[0,10],[y0,tan(angulo)]); 
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Indice n variable')

La solución numérica de la ecuación diferencial es útil en muchos casos que no es posible obtener una solución analítica, véase la página titulada Espejismos

El ojo de pez de Maxwell

En este caso, el índice de refracción n varía con la distancia radial r, n=n(r). Para que el tiempo sea mínimo, tenemos que calcular el extremo de la funcional

I= A B n(r) d r 2 + r 2 d θ 2 = A B n(r) 1+ r 2 ( dθ dr ) 2 dr = A B n(r) 1+ r 2 θ ˙ 2 dr

La función f es

f(r)=n(r) 1+ r 2 θ ˙ 2

La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f θ d dr ( f θ ˙ )=0

Como f no depende de θ, tenemos

f θ ˙ =c r 2 n(r) 1+ r 2 ( dθ dr ) 2 =c

Supongamos que el índice de refracción n(r) depende de la distancia radial r

n(r)= n 0 1+ ( r a ) 2

Haciendo el cambio de variable

ρ= r a ,α= c n 0 a

Obtenemos

dθ= α( 1+ ρ 2 ) ρ ρ 2 α 2 ( 1+ ρ 2 ) 2 dρ

Integramos para obtener la ecuación θ=θ(r) de los rayos dependiente de dos constantes de integración c o α y θ1

θ= α( 1+ ρ 2 ) ρ ρ 2 α 2 ( 1+ ρ 2 ) 2 dρ+ θ 1 θ=arcsin( α 14 α 2 ρ 2 1 ρ )+ θ 1 sin( θ θ 1 )= c n 0 2 a 2 4 c 2 r 2 a 2 ra

El resultado de la integral, que el lector puede verificar derivando el arcsin, se ha tomado del texto de Max Born y Emil Wolf, véase las Referencias

Se determina la constante c sabiendo que los rayos parten del punto de coordenadas polares (r0, θ0)

sin( θ 0 θ 1 )= c n 0 2 a 2 4 c 2 r 0 2 a 2 r 0 a c 2 = n 0 2 a 4 sin 2 ( θ 0 θ 1 ) ( r 0 2 a 2 ) 2 +4 r 0 2 a 2 sin 2 ( θ 0 θ 1 )

La ecuación de los rayos que depende de la constante de integración θ1 es

rsin( θ θ 1 ) r 2 a 2 = r 0 sin( θ 0 θ 1 ) r 0 2 a 2

Volviendo a las coordenadas rectangulares, x=rcosθ, y=rsinθ, comprobamos se trata de la ecuación de una circunferencia, calculamos su centro y radio

rsinθcos θ 1 rcosθsin θ 1 = r 0 sin( θ 0 θ 1 ) r 0 2 a 2 ( x 2 + y 2 a 2 ) x 2 + y 2 1 b ycos θ 1 + 1 b xsin θ 1 = a 2 ,b= r 0 sin( θ 0 θ 1 ) r 0 2 a 2 ( x+βsin θ 1 ) 2 + ( yβcos θ 1 ) 2 = a 2 + β 2 ,β= 1 2b ( x x c ) 2 + ( y y c ) 2 = R 2 ,{ x c = sin θ 1 2b y c = cos θ 1 2b R= a 2 + 1 4 b 2

Representamos la ecuación de los rayos que pasan por la posición r0=0.5, y θ0=π/6, para los siguientes valores de la constante θ1=-0.1, 0, 0.1, 0.2. Se toma el parámetro a=1

a=1;
r0=0.5; %posición de partida
th_0=pi/6;
hold on
for th1=[-0.1, 0, 0.1, 0.2]
    b=r0*sin(th_0-th1)/(r0^2-a^2);
    R=sqrt(a^2+1/(4*b^2)); %radio
    xC=-sin(th1)/(2*b); %centro
    yC=cos(th1)/(2*b);
    fplot(@(t) xC+R*cos(t), @(t) yC+R*sin(t), [0,2*pi],'displayName',num2str(th1))
end
hold off
grid on
axis equal
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Ojo de pez de Maxwell')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El fondo (en color que va de negro a gris claro) nos muestra el índice de refracción, que va disminuyendo a medida que nos alejamos radialmente del origen

Representamos la trayectoria circular de la luz que pasa por el punto r0=0.5, y θ0=π/6, señalado por un punto de color azul claro

Referencias

Javier E. Hasbun. On the optical path length in refracting media. Am. J. Phys. 86 (4) April 2018, pp. 268-274

J M H Peters. The deviation and curvature of light ray. Phys. Educ. 19 (1984) pp. 200-203

Max Born, Emil Wolf. Principles of Optics. Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light. Cambridge University Press. Seventh edition. pp. 157-159