Propagación en un medio no homogéneo

El índice de refracción n es el cociente entre la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad v de la luz en un medio material transparente. n=c/v
El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino AB es
Esta última integral, se denomina camino óptico
En general el índice de refracción n no es constante sino que varía con x, con y o ambos, n=n(x, y). Para que el tiempo sea mínimo, tenemos que calcular el extremo de la funcional
La función f es
La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
La ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es
Estudiaremos dos casos particulares:
El indice de refracción n varía con x

Supongamos una pieza de cierto material (un líquido contenido en un recipiente), de espesor t, que se ilumina con un rayo de luz a a la altura y0. El rayo entra en la pieza x=0, formando un cierto ángulo tal que
Cuando el índice de refracción n(x) varía horizontalmente, solamente depende de x, la ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es
Es una integral del tipo
El resultado es
Integrando respecto de la variable x,obtenemos la desviación vertical Δy=y1-y0
El índice de refracción n varía con la altura y

Cuando el índice de refracción n(y) varíaverticalmente, solamente depende de y, la ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio es
Multiplicando por dy/dx
Tenemos una integral del tipo
El resultado es
Integrando respecto de la variable x,obtenemos el espesor t del material
En la página titulada Medida de la difusividad térmica, estudiamos un ejemplo interesante de este caso
El indice de refracción n varía con x.
Supongamos que el indice de refración varía con x, n=n(x). Como la función f
no depende de y. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
La constante C se determina sabiendo que para x=0
Para una pieza de espesor t, obtenemos el mismo resultado que en el primer apartado
Ejemplo. Ley de la refracción
Cuando el índice de refracción n es constante, la trayectoria y=y(x) es una línea recta
Consideremos el caso más sencillo: el índice de refracción n varía con x de la siguiente forma
La ecuación de la recta que une el punto (x1, y1) con (xm, ym) es
La ecuación de la recta que une el punto (xm, ym) con (x2, y2) es
Relacionamos los ángulos θ1 y θ2
En términos del sinθ
que es la ley de Snell de la refracción
El índice de refracción n varía con la altura y
Consideremos ahora, un medio no homogéneo en el que el índice de refracción n varía con la altura y, n=n(y). Un ejemplo similar se estudia en la página titulada Espejismos
Como la función f
no depende de x. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
La constante C1 se determina sabiendo que para x=0
Para una pieza de espesor t, obtenemos el mismo resultado que en el primer apartado
Ejemplo. El índice de rafracción se incrementa linealmente con la altura
Despejamos dy/dx e integramos
Como ejemplo, supongamos que el índice de refracción n se incrementa linealmente con la altura y, n(y)=n0(1+αy)
Como los parámetros n0 y α son constantes, los incorporamos a la constante indeterminada C1 para disponer de una expresión más simplificada
Sea u=(1/α+y)/C1, du=dy/C1
u=coshz, du=sinhz·dz
Esta es la ecuación de la trayectoria. Calculamos las constantes C1 y C2 sabiendo que para x=0, y=y0 y el rayo forma un ángulo θ con el eje X.
La pendiente dy/dx del rayo en x=0 es
Teniendo en cuenta las relaciones
Despejamos C1 y C2
Posición del mínimo de la trayectoria
La pendiente es cero para xm=C2
Un rayo que sale de y0 con θ=0, tiene el mínimo xm=0 e ym=y0, en el punto de partida.
Trazamos los rayos que salen del punto x=0, y0=10, haciendo ángulos de -60, -30, 0, 30 y 60° con el eje X. Los rayos se propagan en un medio no homogéneo con índice de refracción que crece linealmente con la altura y, con α=2.3
alfa=2.3; y0=10; hold on for th=(-60:30:60)*pi/180 c1=(y0+1/alfa)*cos(th); c2=-c1*asinh(tan(th)); f=@(x) -1/alfa+c1*cosh((x-c2)/c1); fplot(f,[0,10]) end hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') title('Trazado de rayos')
Comprobamos con la herramienta Data cursor de la ventana gráfica que el mínimo para la trayectoria cuyo ángulo θ=60°, es xm=6.87, ym=4.78
>> th=-pi/3; >> c1=(y0+1/alfa)*cos(th); >> c2=-c1*asinh(tan(th)) c2 = 6.8711 >> ym=-1/alfa+(y0+1/alfa)*cos(th) ym = 4.7826
Ecuación diferencial del camino de la luz a través del medio
En el primer apartado, obtuvimos esta ecuación diferencial para un medio de índice de refracción n(x,y)
Para n(y)=n0(1+αy) toma la forma
Integramos esta ecuación diferencial mediante el procedimiento numérico
alfa=2.3; %rayo de luz y0=10; angulo=-60*pi/180; f=@(t,x) [x(2);alfa*(1+x(2)^2)/(1+alfa*x(1))]; [t,x]=ode45(f,[0,10],[y0,tan(angulo)]); plot(t,x(:,1)) grid on xlabel('x') ylabel('y') title('Indice n variable')
La solución numérica de la ecuación diferencial es útil en muchos casos que no es posible obtener una solución analítica, véase la página titulada Espejismos
El ojo de pez de Maxwell
En este caso, el índice de refracción n varía con la distancia radial r, n=n(r). Para que el tiempo sea mínimo, tenemos que calcular el extremo de la funcional

La función f es
La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
Como f no depende de θ, tenemos
Supongamos que el índice de refracción n(r) depende de la distancia radial r
Haciendo el cambio de variable
Obtenemos
Integramos para obtener la ecuación θ=θ(r) de los rayos dependiente de dos constantes de integración c o α y θ1
El resultado de la integral, que el lector puede verificar derivando el arcsin, se ha tomado del texto de Max Born y Emil Wolf, véase las Referencias
Se determina la constante c sabiendo que los rayos parten del punto de coordenadas polares (r0, θ0)
La ecuación de los rayos que depende de la constante de integración θ1 es
Volviendo a las coordenadas rectangulares, x=rcosθ, y=rsinθ, comprobamos se trata de la ecuación de una circunferencia, calculamos su centro y radio
Representamos la ecuación de los rayos que pasan por la posición r0=0.5, y θ0=π/6, para los siguientes valores de la constante θ1=-0.1, 0, 0.1, 0.2. Se toma el parámetro a=1
a=1; r0=0.5; %posición de partida th_0=pi/6; hold on for th1=[-0.1, 0, 0.1, 0.2] b=r0*sin(th_0-th1)/(r0^2-a^2); R=sqrt(a^2+1/(4*b^2)); %radio xC=-sin(th1)/(2*b); %centro yC=cos(th1)/(2*b); fplot(@(t) xC+R*cos(t), @(t) yC+R*sin(t), [0,2*pi],'displayName',num2str(th1)) end hold off grid on axis equal legend('-DynamicLegend','location','best') xlabel('x') ylabel('y') title('Ojo de pez de Maxwell')
Actividades
Se introduce
- El valor de la constante θ1 en el control titulado Constante
- Los rayos pasan por una posición que se ha fijado en r0=0.5, y θ0=π/6
- Se ha fijado el parámetro a=1
Se pulsa el botón titulado Nuevo
El fondo (en color que va de negro a gris claro) nos muestra el índice de refracción, que va disminuyendo a medida que nos alejamos radialmente del origen
Representamos la trayectoria circular de la luz que pasa por el punto r0=0.5, y θ0=π/6, señalado por un punto de color azul claro
Referencias
Javier E. Hasbun. On the optical path length in refracting media. Am. J. Phys. 86 (4) April 2018, pp. 268-274
J M H Peters. The deviation and curvature of light ray. Phys. Educ. 19 (1984) pp. 200-203
Max Born, Emil Wolf. Principles of Optics. Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light. Cambridge University Press. Seventh edition. pp. 157-159