Disponemos de un tubo de PVC de longitud L y sección A, sellado por ambos extremos, que tiene en su interior una pelota de ping-pong. El diámetro del tubo es un poco mayor que el diámetro de la pelota, de modo que ésta pueda moverse a lo largo del tubo.

Se retira el aire en el interior del tubo, conectándolo a una bomba de vacío. Se rompe con un objeto punzante la lámina que sella el extremo izquierdo, el aire penetra en el interior del tubo y empuja a la pelota, que se mueve a lo largo del tubo, hasta que llega al otro extremo, rompe la tapa derecha y sale a gran velocidad.

Tenemos de este modo, un cañón cuyo proyectil es impulsado por la fuerza que ejerce la presión atmosférica. La sucesión de imágenes de la figura nos permite entender como opera este dispositivo.

Movimiento del proyectil en el tubo de lanzamiento

Supongamos que el proyectil tiene sección A y masa m. La fuerza que ejerce la presión atmosférica p₀ sobre el proyectil es p₀·A. Pero esta fuerza ha de acelerar el proyectil de masa m y la columna de aire de masa ρAx por detrás del proyectil (en color amarillo en la figura).

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle p_{0}A=\frac{d}{dt}\left((m+\rho Ax)v\right)}$

Si el proyectil parte del reposo v=0 en el instante t=0, la expresión de la velocidad v en función del tiempo t es

${\displaystyle p_{0}At=(m+\rho Ax)v}$

Para obtener la posición x del proyectil en función del tiempo t tenemos que integrar

${\displaystyle p_{0}At=(m+\rho Ax)\frac{dx}{dt}}$

con la condición inicial de que en el instante t=0, el proyectil parte del origen x=0.

${\displaystyle mx+\frac{1}{2}\rho A{x}^2=\frac{1}{2}{p}_{0}A{t}^{2}x=\frac{\sqrt{m^2+\rho A^2{p}_0{t}^2}-m}{\rho A}}$

La velocidad v del proyectil en función del tiempo es

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\frac{A{p}_{0}t}{\sqrt{m^2+\rho A^2{p}_0{t}^2}}={\left(\frac{m^2}{p_0^2{A}^2{t}^2}+\frac{\rho }{p_0}\right)}^{-1/2}}$

Para un cañón infinitamente largo, cuando t→∞, la velocidad final tiende hacia

${\displaystyle v_{\infty }=\sqrt{\frac{p_0}{\rho }}}$

Esta velocidad puede comparase con la velocidad del sonido en el aire

${\displaystyle v_s=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho }}}$

Donde γ=1.4 es el índice adiabático del aire

La ecuación anterior nos da la velocidad v en función del tiempo t. Es más útil, expresar la velocidad v en función de x utilizando la ecuación p_{0}At=(m+\rho Ax)v. El resultado es

${\displaystyle v=v_{\infty }\left(\frac{x}{x+\lambda }\sqrt{1+2\frac{\lambda }{x}}\right)\lambda =\frac{m}{\rho A}}$

Ejemplo:

Una pelota de ping-pong tiene una masa m=2.5 g y un diámetro de 3.8 cm, o una sección trasversal de A=1.13·10^-3 m², la densidad del aire es ρ=1.29 kg/m³ y la presión atmosférica es de p₀=1.013·10⁵ Pa

Calculamos la velocidad final del proyectil en un tubo de longitud L=1.5 m, x=1.5 m

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{\infty }=\sqrt{\frac{1.013·{10}^5}{1.29}}=280.2\text{m/s}\lambda \text{=}\frac{{2.5310}^{-3}}{1.29·\pi {0.019}^2}=1.71\text{m}\\ v=280.2\left(\frac{1.5}{1.5+1.71}\sqrt{1+2\frac{1.71}{1.5}}\right)=237.2\text{m/s}\end{array}}$

Representamos la valocidad v de la pelota en función de x. Dibujamos la asíntota horizontal v_∞ como línea a trazos

m=2.5e-3; %masa de la pelota
R=1.9/100; %radio del tubo
rho=1.29; %densidad del aire
p0=1.013e5; %presión atmosférica

v_inf=sqrt(p0/rho); %velocidad máxima
lambda=m/(rho*pi*R^2);
v=@(x) v_inf*(x.*sqrt(1+2*lambda./x)./(x+lambda));
fplot(v,[0,1.5])
line([0,1.5],[v_inf,v_inf],'lineStyle','--')
ylim([0,290])
grid on
xlabel('x')
ylabel('v')
title('velocidad')

>> v_inf
v_inf =  280.2269
>> v(1.5)
ans =  237.1860

Actividades

Se introduce

• La masa en gramos de la pelota de ping-pong, en el control titulado Masa pelota

• La longitud del tubo, en metros, en el control titulado Longitud tubo

• La densidad del aire vale ρ=1.29 kg/m³

• La el área de la sección trasversal de la pelota de ping-pong se ha fijado en A=1.13·10^-3 m²

• La presión atmosférica vale p₀=1.013·105 Pa

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Primero, se conecta el tubo a una bomba de vacío y un manómetro nos señala la disminución de la presión en el tubo sellado por ambos extremos.

A continuación, se observa el movimiento del proyectil (en color rojo) a lo largo del tubo y la columna de aire (en color amarillo) detrás.

En la parte superior, se representa la velocidad v del proyectil en función de la posición x, medida desde la parte izquierda del tubo que se toma como origen.

Referencias

Ayars E., Buchholtz L. Analysis of the vacuum cannon. Am. J. Phys. 72 (7) July 2004, pp. 961-963.