Choque inelástico de duración finita

Vamos a considerar un sistema aislado formado por una bala y un bloque de forma rectangular. La bala se dispara horizontalmente contra una de las caras del bloque a lo largo de la línea que pasa por su centro de masas, penetra en el bloque una cierta distancia hasta que ambos adquieren la misma velocidad.

En esta página, vamos a estudiar un modelo simple que nos describe el comportamiento de la bala y del bloque durante el transcurso del choque inelástico.

Choque inelástico

Si M es la masa del bloque inicialmente en reposo, m la masa de la bala. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, a este sistema aislado, para obtener la velocidad inmediatamente después del choque vf del conjunto bala-bloque en función de la velocidad v0 de la bala antes del choque.

mv0=(m+M)vf

A continuación, se efectúa el balance energético de la colisión. La variación de energía cinética es

ΔE= E f E i = 1 2 (m+M) v f 2 1 2 m v 0 2 = 1 2 mM m+M v 0 2

Choque inelástico de duración finita

Mediante un modelo simple de interacción entre la bala y el bloque, vamos a explicar cómo la bala disminuye de velocidad, aumenta la del bloque hasta que ambas se igualan. También, explicaremos el origen de la diferencia de energía cinética.

A medida que la bala penetra en el bloque, la bala ejerce una fuerza F que supondremos constante sobre el bloque y su efecto será la de incrementar su velocidad.

A su vez, el bloque ejercerá una fuerza F igual y opuesta sobre la bala cuyo efecto será el de disminuir su velocidad. El choque se completará cuando la velocidad de la bala se iguale a la del bloque.

Tenemos que estudiar la dinámica de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan entre sí. La interacción se describe en términos de una fuerza constante F.

Velocidades antes y después del choque

Dado que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado, el momento lineal total o la velocidad de su centro de masas vcm permanece constante e igual a su velocidad inicial.

v cm = m v 0 m+M = mv+MV m+M

El choque finaliza cuando la velocidad v de la bala se iguala a la velocidad V del bloque, es decir en el instante tc, medido desde el momento en el que la bala penetra en el bloque.

v0-F·tc/m= F·tc/M

Se despeja el tiempo tc

t c = mM v 0 (m+M)F

La velocidad final del bloque Vf y de la bala vf en dicho instante es

v f = V f = m v 0 m+M

que es a su vez la velocidad del centro de masas del sistema aislado y es independiente del valor de la fuerza F

Creamos el siguiente script para representar las velocidades v de la bala y V del bloque en función del tiempo. Ambas velocidades se igualan en el instante tc

m=0.4; % masa d ela bala
M=1; %masa del bloque
v0=10; %velocidad de la bala
F=20; %valor de la fuerza de frenado de la bala 

%tiempo que tardan en alcanzar la misma velocidad
tc=m*M*v0/((m+M)*F);  
t=0:0.005:2*tc;
v=(v0-F*t/m).*(t<tc)+(m*v0/(m+M))*(tc<=t);
V=(F*t/M).*(t<tc)+(m*v0/(m+M))*(tc<=t);

hold on
plot(t,v,'blue')
plot(t,V,'red')
hold off
legend('bala','bloque')
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m)')
title('Choque entre una bala y un bloque')
grid on

Desplazamientos de la bala y del bloque

Si la bala y la cara anterior del bloque están en el origen en el momento en el que la bala entra en contacto con el bloque, al cabo de un cierto tiempo t<tc, la posición de la bala x y la posición del bloque X serán, respectivamente

x= v 0 t 1 2 F m t 2 X= 1 2 F M t 2

En el instante tc en el que finaliza el choque, la bala habrá penetrado una distancia xc-Xc en el interior del bloque.

Trabajo de la fuerza interior y variación de energía cinética

El trabajo realizado por la fuerza F será

W=F( x c X C )= 1 2 mM m+M v 0 2

El signo menos se debe a que la fuerza F sobre la bala es de sentido contrario a su desplazamiento. La fuerza interior F realiza un trabajo que modifica la energía cinética de las partículas del sistema.

ΔE= E f E i = 1 2 (m+M) v f 2 1 2 m v 0 2 = 1 2 mM m+M v 0 2

No se completa el choque

Si el bloque tiene una longitud L y la fuerza F no es suficientemente intensa, puede ocurrir que la bala no quede empotrada en el bloque sino que salga por la cara opuesta con velocidad vf.

Si la distancia que penetra la bala xc-Xc en el bloque en el instante tc es mayor que su longitud L, la bala saldrá por la cara opuesta. Calculamos el tiempo t que tarda la bala en penetrar la distancia L=x-X resolviendo la ecuación de segundo grado

L= v 0 t 1 2 F m t 2 1 2 F M t 2

Para calcular la velocidad final de la bala vf empleamos la relación entre la velocidad final vf, la velocidad inicial v0 y el desplazamiento x de la partícula.

v f 2 = v 0 2 2 F m x

Una relación semejante empleamos para calcular la velocidad Vf del bloque cuando la bala sale por la cara opuesta.

V f 2 =2 F M X

La variación de energía cinética de las partículas es

ΔE= E f E i = 1 2 m v f 2 + 1 2 M V f 2 1 2 m v 0 2 =F(Xx)=FL

El trabajo realizado por la fuerza F será

W=-F·L

La fuerza interior F realiza un trabajo –FL que modifica la energía cinética de las partículas del sistema.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la bala, cómo va penetrando en el bloque a la vez que disminuye su velocidad y aumenta la del bloque.

En la parte izquierda observamos los cambios energéticos:

Ejemplo 1:

La bala y el bloque alcanzan la misma velocidad en el instante tc

t c = mM v 0 (m+M)F = 0.4·1·10 (0.4+1)·20 =0.143s

El desplazamiento de la bala y el bloque es

x= v 0 t c 1 2 F m t c 2 =0.92mX= 1 2 F M t c 2 =0.20m

La bala ha penetrado en el bloque una distancia

d=xc-Xc=0.71 m

La velocidad final del conjunto bala-bloque es

v f = V f = m v 0 m+M = 0.4·10 0.4+1.0 =2.86m/s

Conocidas las velocidades iniciales y finales de las partículas calculamos la diferencia de energía cinética

ΔE=-14.3 J

que tiene el mismo valor que el trabajo realizado por la fuerza de interacción F

ΔE=-F(xc-Xc)=-20·0.71=-14.3 J

Ejemplo 2:

Observamos que la bala penetra el bloque y sale por el extremo opuesto en el instante t que se calcula, resolviendo la ecuación de segundo grado

1.0=10t 1 2 14 0.4 t 2 1 2 14 1.0 t 2

Una de las raíces es t=0.175 s

En dicho instante, la velocidad de la bala y la del bloque son respectivamente

v=10 14 0.4 t=3.87m/sV= 14 1.0 t=2.45m/s

La posición del bloque será

X= 1 2 14 1.0 t 2 =0.21m

y la de la bala será

x=X+1.0=1.21 m

Conocidas las velocidades iniciales y finales de las partículas calculamos la diferencia de energía cinética

ΔE=-14. J

que tiene el mismo valor que el trabajo realizado por la fuerza de interacción F

ΔE=-FL=-14·1=-14 J


Referencias

Donnelly D, Diamond J. Slow collisions in the ballistic pendulum: A computational study. Am. J. Phys. 71 (6) June 2003, pp. 535-540.