Trayectorias alrededor de un cuerpo en forma de anillo delgado

Consideremos un cuerpo de masa M en forma de anillo delgado de radio R. Representaremos las órbitas de una partícula de masa mp en el plano YZ perpendicular al anillo y que pasa por su eje, tal como se muestra en la figura. Para ello, calculamreos las componentes Fy y Fz de la fuerza de atracción que ejerce el anillo sobre la partícula
Primero, calculamos la fuerza de atracción que ejerce un elemento dm de masa del anillo sobre la partícula
El vector que une el elemento de masa dm, cuyas coordenadas son (Rcosφ, Rsinφ,0) con el punto P (0, y, z) situado en el plano YZ es
La fuerza de atracción es
El elemento de masa dm
Las componentes de dicha fuerza son
Por simetría, la componente Fx se debería anular. Resolvemos la integral, haciendo el cambio u=R2+y2+z2-2yRsinφ, du=-2yRcosφ·dφ
Las ecuaciones del movimiento de la partícula son
Escalas
Establecemos las siguientes escalas
El sistema de ecuaciones diferenciales se expresa en términos de la snuevas variables
Resolveremos el sistema de dos ecuaciones diferenciales utilizando procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante τ=0, Y=Y0, (dY/dτ)0=Vy0, Z=Z0, (dZ/dτ)0=Vz0
Energía
Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo, la energía mecánica, permanece constante.
La energía cinética de la partícula es
La energía potencial de la interacción entre el elemento diferencial de masa dm del anillo y la partícula es
Integramos para obtener la energía potencial de la interacción entre el anillo y la partícula
La suma de la energía cinética y potencial de la partícula se mantiene constante e igual a la energía en la situación inicial τ=0
Establecemos las escalas
La energía se expresa en términos de las nuevas variables
Trayectorias
Vamos a reproducir las trayectorias que aparecen en las figuras 2 y 5 del artículo que se menciona en la referencias, resolviendo el sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales que se especifican en la tabla
Calcularemos la energía inicial E0 y final E de la partícula y el tanto por ciento de error
Si el error fuera grande nos indicaría que el procedimiento numérico no ha realizado el cálculo de la trayectoria con la suficiente precisión.
Y0 | (dY/dτ)0 | Z0 | (dZ/dτ)0 | τf |
---|---|---|---|---|
0 | 0.422 | 0 | 0.422 | 9.465 |
0 | 0.34 | 0.5 | 0 | 11.73 |
0.8 | 0 | 0 | 0.42 | 1.57 |
0 | 0.185 | 0.6 | 0 | 23.7 |
0 | 0.0836 | 1.95 | 0 | 32.805 |
0 | 0.159 | 0.35 | 0 | 26.75 |
0 | 0.985 | 0.5 | 0 | 52.2 |
0 | 0.4595 | 2 | 0 | 67.7 |
0 | 0.2076 | 0 | 1 | 29.6 |
0 | 0.2 | 2 | 0 | 84.3 |
1.2 | 0 | 0 | 0.4 | 4.75 |
Definimos las función
function dr=anillo_gravitatorio(t, x) %Y es x(1) y Z es x(3) dr=zeros(4,1); dr(1)=x(2); f=@(phi) (x(1)-sin(phi))./(1+x(1)^2+x(3)^2-2*x(1)*sin(phi)).^(3/2); dr(2)=-integral(f,0,2*pi)/(2*pi); f=@(phi) x(3)./(1+x(1)^2+x(3)^2-2*x(1)*sin(phi)).^(3/2); dr(3)=x(4); dr(4)=-integral(f,0,2*pi)/(2*pi); end
Integramos el sistema de dos ecuaciones diferenciales y comprobamos la conservación de la energía para las siguientes condiciones iniciales, (segunda fila de la tabla): Y0=0, (dY/dτ)0=0.34, Z0=0.5, (dZ/dτ)0=0. Se representa la trayectoria hasta el tiempo (adimensional) τf=11.73
%x(1) es Y, x(2) es dY/dt, x(3) es Z, y x(4) dZ/dt %x0=[0,0.422,0,0.422]; tf=9.465; x0=[0,0.34,0.5,0]; tf=11.73; %x0=[0.8,0,0,0.42]; tf=1.57; %x0=[0,0.185,0.6,0]; tf=23.7; %x0=[0,0.0836,1.95,0]; tf=32.805; %x0=[0,0.159,0.35,0]; tf=26.75; %x0=[0,0.985,0.5,0]; tf=52.2; %x0=[0,0.4595,2,0]; tf=67.7; %x0=[0,0.2076,0,1]; tf=29.6; %x0=[0,0.2,2,0]; tf=84.3; %x0=[1.2,0,0,0.4]; tf=4.57; [t,x]=ode45(@anillo_gravitatorio,[0,tf],x0); plot(x(:,1),x(:,3)) grid on xlabel('x') ylabel('y'); title('Orbita alrededor de un anillo') %energía inicial Y=x0(1); Z=x0(3); V2=x0(2)^2+x0(4)^2; f=@(phi) 1./sqrt(1+Y^2+Z^2-2*Y*sin(phi)); E0=V2/2-integral(f,0,2*pi)/(2*pi); %energía final Y=x(end,1); z=x(end,3); V2=x(end,2)^2+x(end,4)^2; E=V2/2-integral(f,0,2*pi)/(2*pi); fprintf('Tanto por ciento de error, %2.3f\n', abs((E-E0)/E0)*100)
Al comprobar el principio de conservación de la energía, vemos que el error es pequeño
Tanto por ciento de error, 0.116
Sean ahora las condiciones iniciales, (fila 7 de la tabla): Y0=0, (dY/dτ)0=0.985, Z0=0.5, (dZ/dτ)0=0. Se representa la trayectoria hasta el tiempo (adimensional) τf=52.2
Tanto por ciento de error, 4.105
Sean ahora las condiciones iniciales, (fila 10 de la tabla): Y0=0, (dY/dτ)0=0.2, Z0=2, (dZ/dτ)0=0. Se representa la trayectoria hasta el tiempo (adimensional) τf=84.3
Tanto por ciento de error, 1.584
Hay trayectorias que dan un error elevado, por ejemplo, la que corresponde a la última fila de la tabla
Referencias
R Wesley Tobin, J West Closed orbits about a massive thin ring. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 215-223