Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación (I)

Consideremos ahora que una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una combinación de dos fuerzas centrales:

Para deducir la ecuación de la trayectoria, seguiremos los mismos pasos que en la página titulada 'Movimiento bajo una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia'

Si la energía potencial de la partícula es

E p (r)= k r α r 2

La fuerza central es

F(r)= d dr E p (r) F(r)= k r 2 2α r 3

Las ecuaciones del movimiento en coordendas polares

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )= k r 2 2α r 3 m( r d 2 θ d t 2 +2 dθ dt dr dt )=0

Teniendo en cuenta la constancia del momento angular L, escribimos la ecuación del movimiento en la dirección radial de la forma

d 2 r d t 2 + 1 r 3 ( 2α m L 2 m 2 )+ k m 1 r 2 =0

Seguidamente, obtenemos una ecuación en términos de r y de sus derivadas respecto del ángulo θ

d 2 r d θ 2 2 r ( dr dθ ) 2 +r( 2mα L 2 1 )+ mk L 2 r 2 =0

Hacemos el cambio de variable u=1/r. La ecuación del movimiento se convierte en

d 2 u d θ 2 +( 1 2αm L 2 )u= mk L 2

Llamamos

β 2 = L 2 2αm L 2 1 2αm L 2 >0

La solución particular es u=C, introduciéndolo en la ecuación diferencial

C= mk L 2 2αm = mk β 2 L 2

La solución completa de la ecuación diferencial en u es

u=Asin(βθ)+Bcos(βθ)+ mk β 2 L 2

De forma alternativa

A β 2 L 2 mk =εsinβ θ 0 B β 2 L 2 mk =εcosβ θ 0 u= mk β 2 L 2 ( εcosβ(θ θ 0 )+1 )

Calculamos la constante ε a partir de la constancia de la energía

E= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 } k r α r 2 E= 1 2 L 2 m r 4 { ( dr dθ ) 2 + r 2 } k r α r 2 E= 1 2 L 2 m u 4 { 1 u 4 ( du dθ ) 2 + 1 u 2 }kuα u 2 E= 1 2 { L 2 m ( du dθ ) 2 +( L 2 m 2α ) u 2 }ku E= 1 2 { L 2 m ( du dθ ) 2 + ω 2 L 2 m u 2 }ku

Introduciendo la expresión de u y su derivada du/dθ, obtenemos

ε= 1+ 2 β 2 L 2 m k 2 E

La ecuación de la trayectoria es r=1/u

r= r 0 1+εcosβ(θ θ 0 ) r 0 = β 2 L 2 mk

Cuando β se expresa como un número racional β=m/n, el numerador m indica la simetría y el denominador n el número de vueltas que el radio vector da alrededor del origen. La órbita es cerrada siempre que β sea un número racional.

β es un número racional

beta=4/5;
e=4/5;
th=0:pi/72:10*pi;
r=1./(1+e*cos(beta*th));
plot(r.*cos(th),r.*sin(th))
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('\beta=4/5,\epsilon=4/5')

Como casos curiosos, las trayectorias de la forma β=1/n

beta=1/3;
e=4/5;
th=0:pi/72:6*pi;
r=1./(1+e*cos(beta*th));
plot(r.*cos(th),r.*sin(th))
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('\beta=1/3,\epsilon=4/5')

o las trayectorias de la forma β=n

beta=3;
e=4/5;
th=0:pi/72:2*pi;
r=1./(1+e*cos(beta*th));
plot(r.*cos(th),r.*sin(th))
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('\beta=3,\epsilon=4/5')

β no es un número racional

beta=(2+pi)/(2*pi);
e=4/5;
th=0:pi/72:11*pi;
r=1./(1+e*cos(beta*th));
plot(r.*cos(th),r.*sin(th))
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('\beta=(2+\pi)/(2\pi),\epsilon=4/5')

La trayectoria no es cerrada

Periodos

Denominaremos periodo radial Pr al tiempo que tarda el móvil en dar dos pasos consecutivos por el perihelio o por el afelio, y el periodo orbital Pθ al tiempo necesario para que el móvil dé una vuelta completa al origen. La relación entre ambos periodos cuando β=m/n (número racional) es la siguiente

m·Pr=n·Pθ

La energía de la partícula en coordenadas polares es

E= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 }+ E p (r) E= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 L 2 m 2 r 4 }+ E p (r) E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + L 2 2m r 2 + E p (r)

Los dos últimos términos, se denominan energía potencial efectiva

Para analizar cualitativamente, el movimiento en la direción radial, se representa la energía potencial efectiva en función de la distancia radial r. Se traza una recta horizontal que representa la energía total E. Los puntos de intersección corresponden a las distancias máxima r2 y mínima r1 al centro de fuerzas

hold on
fplot(@(x) 1./x.^2-1./x, [1,10],'color','k') %energía potencial efectiva
x1=(1-sqrt(0.2))/0.4;
x2=(1+sqrt(0.2))/0.4;
line([0,10],[-0.2,-0.2],'color','r') %energía 
line([x1,x1],[-0.2,0],'lineStyle','--') %distancia mínima
line([x2,x2],[-0.2,0],'lineStyle','--') %distancia máxima
hold off
grid on
xlabel('r')
ylabel('V_e(r)')
title('Energía potencial efectiva')

Se denomina periodo del movimiento radial Pr al doble del tiempo que tarda la partícula en desplazarse desde r1 a r2

dr dt = 2 m ( E L 2 2m r 2 E p (r) ) P r = r 1 r 2 2m E L 2 2m r 2 E p (r) dr

De la constancia del momento angular deducimos la fórmula del periodo del movimiento angular, Pθ.

L=m r 2 dθ dt P θ = m L 0 2π r 2 dθ

Calculamos los periodos Pr y Pθ para el potencial Ep(r)=-k/r-α/r2

Periodo del movimiento radial

P r = r 1 r 2 2m E β 2 L 2 2m r 2 + k r dr =2m r 1 r 2 rdr 2mE r 2 +2mkr β 2 L 2

donde r1 y r2 son las raíces de la ecuación

2mE r 2 +2mkr β 2 L 2 =0,E<0 r 1 = mk+ m 2 k 2 +2mE β 2 L 2 2mE r 2 = mk m 2 k 2 +2mE β 2 L 2 2mE

Como E<0, ambas raíces son positivas

Calculamos la integral, véase la página titulada Trayectorias elípticas (II)

x·dx a x 2 +bxc = 1 a a x 2 +bxc + b 2 a 3/2 arcsin( 2axb b 2 4ac )

Finalmente, el periodo Pr es

P r =2m { 1 2mE 2mE r 2 +2mkr β 2 L 2 + mk ( 2mE ) 3/2 arcsin( 2mErmk m 2 k 2 +2mE β 2 L 2 ) } r 1 r 2 = 2 m 2 k ( 2mE ) 3/2 { arcsin(1)arcsin(1) }=πk m 2 E 3

Como el periodo radial es independiente del momento angular, por tanto, no lo modifica la perturbación

Periodo del movimiento angular

Para entender el periodo del movimiento angular consideremos el caso de que β=p/q sea un número racional, por ejemplo β=1/3.

beta=1/3;
e=4/5;
hold on
for i=1:3
    th=(i-1)*2*pi:pi/72:i*2*pi;
    r=1./(1+e*cos(beta*th));
    plot(r.*cos(th),r.*sin(th))
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('\beta=1/3,\epsilon=4/5')

La trayectoria es la suma de q (tres) intervalos angulares (cada intervalo en un color diferente), de 0≤θ<2π, 2π≤θ<4π y 4π≤θ<6π. El tiempo que invierte la partícula en desplazarse en cada intervalo angular no es el mismo. El tiempo total es Pθ

P θ = m L 0 2πq r 2 dθ = m L ( β 2 L 2 mk ) 2 0 2πq 1 ( 1+εcosβθ ) 2 dθ

hacemos el cambio de variable, φ=βθ, dφ=β·dθ

P θ = β 3 L 3 m k 2 0 2πβq dφ ( 1+εcosφ ) 2 = β 3 L 3 m k 2 0 2πp dφ ( 1+εcosφ ) 2 =p β 3 L 3 m k 2 0 2π dφ ( 1+εcosφ ) 2

Teniendo en cuenta el valor de la integral, véase la página titulada Trayectorias elípticas (II)

dφ ( 1+εcosφ ) 2 = 1 ( 1 ε 2 ) 3/2 { 2 tan 1 ( 1ε 1+ε tan φ 2 )ε 1 ε 2 sinφ 1+εcosφ } 0 2π dφ ( 1+εcosφ ) 2 =2 0 π dφ ( 1+εcosφ ) 2 = 2π ( 1 ε 2 ) 3/2

La relación entre los dos periodos es

P θ =p β 3 L 3 m k 2 2π ( 1 ε 2 ) 3/2 =p P r

Precesión de las órbitas

Otro concepto interesante, es la velocidad de precesión Ω del afelio (perihelio), que se define como el cociente entre la distancia angular Δθ entre dos pasos consecutivos por el afelio (perihelio) y el tiempo que tarda o periodo radial Pr. La distancia angular es el intervalo para el cual βθ se incrementa en 2π es decir, Δθ=2π/β. La velocidad de precesión es

Ω= Δθ P r = 2π β P r

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación , se traza la trayectoria de la partícula, se muestra como van cambiando los valores de la posición (X, Y) y su distancia r al centro de fuerzas, y las componentes (Vx, Vy) de la velocidad y su módulo v a medida que transcurre el tiempo t.

Observaremos que la energía y el momento angular permanecen constantes. En la parte inferior izquierda, se muestra en color rojo el tanto por ciento de error. Cuando es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene. Los mayores porcentajes de error se obtienen cuando la partícula pasa muy cerca del centro fijo de fuerzas.

Se pulsa el botón titulado pausa || y luego, paso a paso >|, para acercarnos a una posición determinada con el fin de medir los periodos Pr y Pθ.

Ejemplo


Referencias

O.L. de Lange, J. Pierrus. Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2010). Questions 8.12, 8.16