Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación (I)
Consideremos ahora que una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una combinación de dos fuerzas centrales:
- Una atractiva, proporcional al cuadrado de las distancia r de la la partícula al centro de fuerzas que estudiamos en la página Ecuación de la trayectoria
- Una fuerza atractiva o repulsiva, proporcional al cubo de las distancia r, que hemos estudiado en la sección anterior y que denominaremos perturbación
Para deducir la ecuación de la trayectoria, seguiremos los mismos pasos que en la página titulada 'Movimiento bajo una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia'
Si la energía potencial de la partícula es
La fuerza central es
Las ecuaciones del movimiento en coordendas polares
Teniendo en cuenta la constancia del momento angular L, escribimos la ecuación del movimiento en la dirección radial de la forma
Seguidamente, obtenemos una ecuación en términos de r y de sus derivadas respecto del ángulo θ
Hacemos el cambio de variable u=1/r. La ecuación del movimiento se convierte en
Llamamos
La solución particular es u=C, introduciéndolo en la ecuación diferencial
La solución completa de la ecuación diferencial en u es
De forma alternativa
Calculamos la constante ε a partir de la constancia de la energía
Introduciendo la expresión de u y su derivada du/dθ, obtenemos
La ecuación de la trayectoria es r=1/u
Cuando β se expresa como un número racional β=m/n, el numerador m indica la simetría y el denominador n el número de vueltas que el radio vector da alrededor del origen. La órbita es cerrada siempre que β sea un número racional.
β es un número racional
beta=4/5; e=4/5; th=0:pi/72:10*pi; r=1./(1+e*cos(beta*th)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('\beta=4/5,\epsilon=4/5')
Como casos curiosos, las trayectorias de la forma β=1/n
beta=1/3; e=4/5; th=0:pi/72:6*pi; r=1./(1+e*cos(beta*th)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('\beta=1/3,\epsilon=4/5')
o las trayectorias de la forma β=n
beta=3; e=4/5; th=0:pi/72:2*pi; r=1./(1+e*cos(beta*th)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('\beta=3,\epsilon=4/5')
β no es un número racional
beta=(2+pi)/(2*pi); e=4/5; th=0:pi/72:11*pi; r=1./(1+e*cos(beta*th)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('\beta=(2+\pi)/(2\pi),\epsilon=4/5')
La trayectoria no es cerrada
Periodos
Denominaremos periodo radial Pr al tiempo que tarda el móvil en dar dos pasos consecutivos por el perihelio o por el afelio, y el periodo orbital Pθ al tiempo necesario para que el móvil dé una vuelta completa al origen. La relación entre ambos periodos cuando β=m/n (número racional) es la siguiente
m·Pr=n·Pθ
La energía de la partícula en coordenadas polares es
Los dos últimos términos, se denominan energía potencial efectiva
Para analizar cualitativamente, el movimiento en la direción radial, se representa la energía potencial efectiva en función de la distancia radial r. Se traza una recta horizontal que representa la energía total E. Los puntos de intersección corresponden a las distancias máxima r2 y mínima r1 al centro de fuerzas
hold on fplot(@(x) 1./x.^2-1./x, [1,10],'color','k') %energía potencial efectiva x1=(1-sqrt(0.2))/0.4; x2=(1+sqrt(0.2))/0.4; line([0,10],[-0.2,-0.2],'color','r') %energía line([x1,x1],[-0.2,0],'lineStyle','--') %distancia mínima line([x2,x2],[-0.2,0],'lineStyle','--') %distancia máxima hold off grid on xlabel('r') ylabel('V_e(r)') title('Energía potencial efectiva')
Se denomina periodo del movimiento radial Pr al doble del tiempo que tarda la partícula en desplazarse desde r1 a r2
De la constancia del momento angular deducimos la fórmula del periodo del movimiento angular, Pθ.
Calculamos los periodos Pr y Pθ para el potencial Ep(r)=-k/r-α/r2
Periodo del movimiento radial
donde r1 y r2 son las raíces de la ecuación
Como E<0, ambas raíces son positivas
Calculamos la integral, véase la página titulada Trayectorias elípticas (II)
Finalmente, el periodo Pr es
Como el periodo radial es independiente del momento angular, por tanto, no lo modifica la perturbación
Periodo del movimiento angular
Para entender el periodo del movimiento angular consideremos el caso de que β=p/q sea un número racional, por ejemplo β=1/3.
beta=1/3; e=4/5; hold on for i=1:3 th=(i-1)*2*pi:pi/72:i*2*pi; r=1./(1+e*cos(beta*th)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) end hold off grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('\beta=1/3,\epsilon=4/5')
La trayectoria es la suma de q (tres) intervalos angulares (cada intervalo en un color diferente), de 0≤θ<2π, 2π≤θ<4π y 4π≤θ<6π. El tiempo que invierte la partícula en desplazarse en cada intervalo angular no es el mismo. El tiempo total es Pθ
hacemos el cambio de variable, φ=βθ, dφ=β·dθ
Teniendo en cuenta el valor de la integral, véase la página titulada Trayectorias elípticas (II)
La relación entre los dos periodos es
Precesión de las órbitas
Otro concepto interesante, es la velocidad de precesión Ω del afelio (perihelio), que se define como el cociente entre la distancia angular Δθ entre dos pasos consecutivos por el afelio (perihelio) y el tiempo que tarda o periodo radial Pr. La distancia angular es el intervalo para el cual βθ se incrementa en 2π es decir, Δθ=2π/β. La velocidad de precesión es
Actividades
Se introduce
- El parámetro β, en el control titulado β
- La posición inicial x, la ordenada y=0, en el control titulado Posición X
- La componente Y de la velocidad inicial vy, la componente X de la velocidad vx=0, en el control titulado Velocidad Vy
- Se ha fijado el valor de k=1
- Se ha fijado la masa de la partícula, m=1
Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación ►, se traza la trayectoria de la partícula, se muestra como van cambiando los valores de la posición (X, Y) y su distancia r al centro de fuerzas, y las componentes (Vx, Vy) de la velocidad y su módulo v a medida que transcurre el tiempo t.
Observaremos que la energía y el momento angular permanecen constantes. En la parte inferior izquierda, se muestra en color rojo el tanto por ciento de error. Cuando es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene. Los mayores porcentajes de error se obtienen cuando la partícula pasa muy cerca del centro fijo de fuerzas.
Se pulsa el botón titulado pausa || y luego, paso a paso >|, para acercarnos a una posición determinada con el fin de medir los periodos Pr y Pθ.
Ejemplo
-
Sea β=p/q=1/3. Posición inicial x0=2, velocidad inicial V0y=1
-
Sea β=p/q=2/3. Posición inicial x0=2, velocidad inicial V0y=1
El parámetro α vale
La energía y el momento angular valen
Donde es la posicón inicial y velocidad inicial, respectivamente.
Detenemos el movimiento cuando la posición angular es θ=2π, 4π, 6π (cuando pasa por el eje X positivo, y=0). Medimos los tiempos, 3.63, 3.86, 7.48. El tiempo total en dar q=3 (denominador) vueltas completas es 7.48
La distancia desde la partícula al centro de fuerzas es r=2 en el instante t=0 y vuelve a ser r=2 en el instante 7.48 s
Se cumple que Pθ=p·Pr, donde p (numerador) es 1
Detenemos el movimiento cuando la posición angular es θ=2π, 4π, 6π (cuando pasa por el eje X positivo, y=0). Medimos los tiempos, 9.67, 20.68, 30.34 . El tiempo total en dar q=3 (denominador) vueltas completas es 30.34
La distancia desde la partícula al centro de fuerzas es r=2 (posición x=2, y=0) en el instante t=0 y vuelve a ser r=2 (posición x=-2, y=0) en el instante 15.17 s
Se cumple que Pθ=p·Pr, donde p (numerador) es 2
Referencias
O.L. de Lange, J. Pierrus. Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2010). Questions 8.12, 8.16