Movimiento bajo una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia
Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es
x=r·cosθ, x=r·sinθ
Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios
Derivamos con respecto del tiempo
La expresión del vector velocidad en coordenadas polares es
Derivando el vector velocidad con respecto del tiempo, obtenemos el vector aceleración
Fuerza repulsiva inversamente proporcional al cubo de la distancia
Para deducir la ecuación de la trayectoria seguiremos los mismos pasos que para una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (última sección al final de la página)
Supongamos una partícula de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza central atractiva F(r)=k/r3. Las ecuaciones del movimiento son
La segunda ecuación nos indica que el momento angular L (expresado en coordenadas polares es constante)
Teniendo en cuenta la constancia del momento angular L, escribimos la ecuación del movimiento en la dirección radial, de la forma
Para calcular la ecuación de la trayectoria, r=r(θ), eliminamos el tiempo t del siguiente modo
Obtenemos una ecuación en términos de r y de sus derivadas respecto del ángulo θ
Hacemos el cambio de variable u=1/r
La ecuación del movimiento se convierte en
La solución de la ecuación diferencial es
Como F(r)=k/r3 es una fuerza conservativa, su energía potencial es Ep(r)=k/(2r2). Recuérdese que
El momento angular y la energía de la partícula es
El segundo término es la energía potencial efectiva, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
fplot(@(x) 1./x.^2, [0.5,4]) E=1.5; %energía line([0,4],[E,E],'color','k') rm=sqrt(1/E); % distancia mínima line([rm,rm],[0,E],'color','k', 'lineStyle','--') grid on xlabel('r') ylabel('V_{ef}(r)') title('Energía potencial efectiva')
La partícula se acerca hasta una distancia rm del origen, su componente radial de la velocidad dr/dt=0.
La partícula de energía E, parte del infinito r→∞, u=0, su posición angular θ=0. El coeficiente B deberá ser nulo.
La ecuación de la trayectoria es 1/r=Asin(βθ). El coeficiente A se determina sabiendo que para r→∞, la energía de la partícula es E
Teniendo en cuenta que
La energía de la partícula E está relacionada con el coeficiente A
La ecuación de la trayectoria es
Dispersión
Una introducción al fenómeno de la dispersión se estudia en la página titulada 'Parámetro de impacto y ángulo de dispersión'
Si v es la velocidad de la partícula cuando r→∞, y b es el parámetro de impacto, la energía E y el momento angular L son
Dibujamos la trayectoria, tomando el término común bajo la raiz igual a la unidad y tomando una velocidad v=1
b=0.8; %parámero de impacto th=linspace(10,170,40)*pi*b/180; r=1./sin(th/b); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) line([0,1],[0,tan(pi*b/2)], 'lineStyle','--', 'color','k') %vectores line([0,-1],[0,-tan(pi*b)],'color','k') grid on axis equal xlim([-5,5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión')
La velocidad inicial y final de la partícula no cambia, cuando r→∞, cambia su dirección. Se define el ángulo de dispersión Φ el que forma la dirección de la velocidad inicial y final de la partícula, tal como se muestra en la figura
Cuando θ→0 y θ→π/β, entonces r→∞. La posición angular de máximo acercamiento es θ=π /(2β)
coincide con la expresión obtenida anteriormente
La relación entre parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión Φ es
Representamos las trayectorias de las partículas para varios valores del parámetros de impacto b
hold on for b=0.2:0.2:1 %parámero de impacto th=linspace(10,170,100)*pi*b/180; r=1./sin(th/b); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) end hold off grid on axis equal xlim([-5,5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión')
Fuerza atractiva inversamente proporcional al cubo de la distancia
Como F(r)=-k/r3 es una fuerza conservativa, su energía potencial es Ep(r)=-k/(2r2).
El segundo término es la energía potencial efectiva, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
Se pueden dar tres casos
hold on fplot(@(x) 1./x.^2, [0.5,4]) fplot(@(x) -1./x.^2, [0.5,4]) line([0,4],[0,0]) E=1.5; %energía line([0,4],[E,E],'color','k') rm=sqrt(1/E); % distancia mínima line([rm,rm],[0,E],'color','k', 'lineStyle','--') line([0,4],[-E,-E],'color','k') line([rm,rm],[0,-E],'color','k', 'lineStyle','--') hold off grid on xlabel('r') ylabel('V_{ef}(r)') title('Energía potencial efectiva')
- En el primer caso, L2>mk, cuando E>0, la distancia de la partícula al origen r puede variar desde rm hasta ∞
- En el tercer caso, L2<mk, cuando E<0, la distancia de la partícula al origen r puede variar desde 0 hasta rm
La ecuación del movimientos es la misma que en el apartado anterior sustituyendo k por -k
Examinamos los distintos casos
L2>mk
La solución de la ecuación diferencial es la misma que en el apartado anterior sustituyendo k por -k
Otra forma alternativa es
Calculamos la constante C a partir de la conservación de la energía
La energía de la partícula en coordenadas polares es
Conocido u y du/dθ, obtenemos la energía E y despejamos la constante C
Para que C sea real, E>0
Cuando r→∞, u→0, β(θ-θ0)=π/2, θ=π/(2β)+θ0
beta=1/7; th_0=pi/3; th=th_0:pi/18:th_0+pi/(2*beta)-pi/18; r=1./cos(beta*(th-th_0)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on xlabel('x') ylabel('y') title('L^2>mk')
L2<mk
La solución de la ecuación diferencial en u es
Conocido u y du/dθ, obtenemos la energía E de la partícula
E<0
De forma alternativa
Conocido u y du/dθ, obtenemos la energía E de la partícula y despejamos la constante C como en el apartado anterior
Para que C sea real, E<0. Como la función |cosh(x)|≥1, la trayectoria r=1/u está limitada
beta=1/7; th_0=pi/6; th=th_0:pi/18:10*pi; r=1./cosh(beta*(th-th_0)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('L^2<mk, E<0')
E>0
De forma alternativa
Conocido u y du/dθ, obtenemos la energía E de la partícula y despejamos la constante C como en el apartado anterior
Para que C sea real E>0. r tiende a infinito cuando sinh se hace cero, una trayectoria ilimitada
beta=1/100; th_0=pi/6; th=3*pi:-pi/18:th_0-pi/18; r=1./sinh(beta*(th-th_0)); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('L^2<mk, E>0')
E=0
Cuando E=0, A o B es cero
u=Aexp(βθ) o bien, u=Aexp(-βθ)
beta=1/100; th_0=pi/6; th=th_0:pi/36:5*pi; r=1./exp(beta*th); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('L^2<mk, E=0')
L2=mk
La ecuación diferencial en u se reduce a
E>0
Conocido u y du/dθ, obtenemos la energía E de la partícula y despejamos la constante A como en el apartado anterior
th_0=pi/6; th=th_0:pi/18:5*pi; r=1./(th+pi); plot(r.*cos(th),r.*sin(th)) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('L^2=mk, E>0')
u=0, r=∞, para el ángulo θ=-B/A
E=0
Cuando E=0, el coeficiente A=0, y u=B o r=1/B. La trayectoria es una circunferencia
Referencias
O.L. de Lange, J. Pierrus. Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2010). Questions 8.11
Douglas Cline. Variational Principles in Classical Mechanics. Second edition, 2019, pp. 273