Órbitas elípticas bajo la acción de la fuerza central –k·r

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula de masa m bajo la acción de una fuerza central atractiva, proporcional a la distancia al centro fijo de fuerzas. La partícula parte de la posición (r0, 0) con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el eje X, tal como se muestra en la figura.

Ecuación del movimiento

Cuando la partícula se encuentra en la posición r(x, y), la fuerza que actúa sobre la partícula es –k·r=-kxi-kyj

La ecuación del movimiento de la partícula es:

m d 2 r d t 2 =kr{ m d 2 x d t 2 =kx m d 2 y d t 2 =ky

La solución de este sistema de dos ecuaciones diferenciales es:

x= A x sin( ωt )+ B x cos( ωt ) y= A y sin( ωt )+ B y cos( ωt ) }ω= k m

Que es la composición de dos MAS de la misma frecuencia y direcciones perpendiculares

Las componentes de la velocidad de la partícula son

dx dt =ω( A x cos( ωt ) B x sin( ωt ) ) dy dt =ω( A y cos( ωt ) B y sin( ωt ) )

Lasconstantes Ax, Ay, Bx y By se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, la partícula parte de la posición x=r0, y=0, con velocidad vx=v0·cosφ, vy=v0·sinφ.

B x = r 0 B y =0 A x = v 0 cosφ ω A y = v 0 sinφ ω

Las coordenadas x e y de la partícula son:

x= v 0 cosφ ω sin( ωt )+ r 0 cos( ωt ) y= v 0 sinφ ω sin( ωt )

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria

x 2 +( v 0 2 cos 2 φ+ ω 2 r 0 2 v 0 2 sin 2 φ ) y 2 2xy 1 tanφ = r 0 2

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo φ con el que se dispara la partícula.

f(x, y, φ)=0

La envolvente

La ecuación de la envolvente de las trayectorias se obtiene derivando con respecto a φ e igualando a cero.

f φ =0 2cosφ( r 0 2 ω 2 + v 0 2 ) v 0 2 sin 3 φ y 2 +2xy 1 sin 2 φ =0 tanφ= y x ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) v 0 2

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria para eliminar el ángulo φ. Para ello, empleamos las relaciones trigonométricas

cos 2 φ= 1 1+ tan 2 φ = v 0 4 x 2 v 0 4 x 2 + ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2 sin 2 φ= tan 2 φ 1+ tan 2 φ = ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2 v 0 4 x 2 + ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2

Introducimos las expresiones de sin2φ, cos2φ y tanφ en la ecuación de la trayectoria obteniendo la ecuación de la envolvente, que es una elipse de semiejes a y b.

ω 2 v 0 2 + ω 2 r 0 2 x 2 + ω 2 v 0 2 y 2 =1 a= r 0 2 + v 0 2 ω 2 b= v 0 ω

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa las trayectorias de las partículas disparadas con ángulos φ=0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 330º y la envolvente de todas las trayectorias elípticas.


Referencias

French A. P. The envelopes of some families of fixed-energy trajectories. Am. J. Phys. 61 (9) September 1993