Órbitas elípticas bajo la acción de la fuerza central –k·r

Vamos a determinar la ecuación de la trayectoria de una partícula de masa m bajo la acción de una fuerza central atractiva, proporcional a la distancia al centro fijo de fuerzas. La partícula parte de la posición (r0, 0) con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el eje X, tal como se muestra en la figura.

Ecuación del movimiento

Cuando la partícula se encuentra en la posición r =x i ^ +y j ^ , la fuerza que actúa sobre la partícula es k r =kx i ^ ky j ^

La ecuación del movimiento de la partícula es:

m d 2 r d t 2 =k r { m d 2 x d t 2 =kx m d 2 y d t 2 =ky

La solución de este sistema de dos ecuaciones diferenciales es:

x= A x sin( ωt )+ B x cos( ωt ) y= A y sin( ωt )+ B y cos( ωt ) }ω= k m

Que es la composición de dos MAS de la misma frecuencia y direcciones perpendiculares

Las componentes de la velocidad de la partícula son

dx dt =ω( A x cos( ωt ) B x sin( ωt ) ) dy dt =ω( A y cos( ωt ) B y sin( ωt ) )

Lasconstantes Ax, Ay, Bx y By se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, la partícula parte de la posición x=r0, y=0, con velocidad vx=v0·cosφ, vy=v0·sinφ.

B x = r 0 B y =0 A x = v 0 cosφ ω A y = v 0 sinφ ω

Las coordenadas x e y de la partícula son:

x= v 0 cosφ ω sin( ωt )+ r 0 cos( ωt ) y= v 0 sinφ ω sin( ωt )

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria

x 2 +( v 0 2 cos 2 φ+ ω 2 r 0 2 v 0 2 sin 2 φ ) y 2 2xy 1 tanφ = r 0 2

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo φ con el que se dispara la partícula.

f(x, y, φ)=0

La envolvente

La ecuación de la envolvente de las trayectorias se obtiene derivando con respecto a φ e igualando a cero.

f φ =0 2cosφ( r 0 2 ω 2 + v 0 2 ) v 0 2 sin 3 φ y 2 +2xy 1 sin 2 φ =0 tanφ= y x ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) v 0 2

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria para eliminar el ángulo φ. Para ello, empleamos las relaciones trigonométricas

cos 2 φ= 1 1+ tan 2 φ = v 0 4 x 2 v 0 4 x 2 + ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2 sin 2 φ= tan 2 φ 1+ tan 2 φ = ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2 v 0 4 x 2 + ( ω 2 r 0 2 + v 0 2 ) 2 y 2

Introducimos las expresiones de sin2φ, cos2φ y tanφ en la ecuación de la trayectoria obteniendo la ecuación de la envolvente, que es una elipse de semiejes a y b.

ω 2 v 0 2 + ω 2 r 0 2 x 2 + ω 2 v 0 2 y 2 =1 a= r 0 2 + v 0 2 ω 2 b= v 0 ω

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa las trayectorias de las partículas disparadas con ángulos φ=0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 330º y la envolvente de todas las trayectorias elípticas.


Referencias

French A. P. The envelopes of some families of fixed-energy trajectories. Am. J. Phys. 61 (9) September 1993