Proyectil disparado desde lo alto de una montaña que penetra en la Tierra.
En la página titulada Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra, hemos estudiado las trayectorias de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra con velocidad v0 haciendo distintos ángulos φ con la dirección radial. En esta página, nos limitaremos al caso φ=90°, el disparo se produce en la dirección tangencial
Se dispara un proyectil de masa m desde una distancia r0=R+h del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo 90° con el radio vector. El momento angular y la energía del proyectil son, respectivamente.
Orbita circular

La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, nos proporciona la velocidad vc de disparo del proyectil para que describa una órbita circular de radio r0
Orbita elíptica

Conocidos r0 y v0, calculamos r1 y v1 a partir de la constancia del momento angular y la energía
- Si v0>vc, v1<v0 y r1>r0. La posición de disparo es el perigeo
- Si v0<vc, v1>v0 y r1<r0. La posición de disparo es el apogeo, tal como se muestra en la figura
Estamos interesados en los proyectiles que impacten sobre la superficie de la Tierra, aquellos en los que r1<R y por tanto, la posición de disparo es el apogeo.
Por ejemplo, si el disparo se produce sobre el polo Norte, cuando r1=R, el proyectil roza tangencialmente la superficie de la Tierra en el polo Sur. La velocidad de disparo para esta trayectoria elíptica vale
Para que impacte sobre la superficie de la Tierra el proyectil debería ser disparado con velocidad v0<vm
Ejemplos
Sea el radio de la Tierra, R=6371 km, la masa M=5.972·1024 kg y G=6.674·10-11 Nm2/kg2.
Se dispara un proyectil desde una altura h=2700 km, por lo que r0=9071 km.
- Para que el proyectil describa una trayectoria circular de radio r0, la velocidad de disparo debería ser vc= 6.6287 km/s.
- Para que el proyectil roce tangencialmente la Tierra su velocidad debería ser vm=6.0213 km/s
Dibujamos las trayectorias de los proyectiles disparados con velocidades v0 crecientes desde la misma posición r0.
R=6371*1000; %radio de la Tierra M=5.972e24; %masa de la Tierra G=6.674e-11; %constante G h=2700*1000; %altura de disparo r0=R+h; %desde el centro de la Tierra hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra %trayectorias for v0=[1.70,4.90,6.00,6.60,6.90]*1000; %velocidad de disparo d=r0^2*v0^2/(G*M); e=sqrt(1+r0*v0^2*(r0*v0^2-2*G*M)/(G*M)^2); delta=0; if v0>6.6*1000 delta=pi; end %trayectorias elípticas r=@(x) d./(1+e*cos(x+delta)); plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R, 'r') end %centro de la Tierra plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') hold off axis equal
>> vc=sqrt(G*M/r0) vc = 6.6287e+03 >> vm=sqrt(2*G*M*R/(r0*(r0+R))) vm = 6.0213e+03
Trayectoria exterior
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
Punto de impacto
Determinamos la intersección P de la trayectoria elíptica con la superficie de la Tierra
En coordenadas polares, el proyectil sale de la posición r0, θ=π, y llega a la posición R, θ0, donde
Las coordenadas del punto P son: xp=Rcosθ0, yp=Rsinθ0.
Calculamos el módulo de la velocidad del proyectil en el punto P a partir del principio de conservación de la energía.
A partir de la constancia del momento angular, calculamos la componente vθ de la velocidad
Ahora la componente radial vr
Las componentes rectangulares vx y vy del vector velocidad en el punto P son (véase la figura anterior):
El alcance del proyectil es el arco sobre la superficie de la Tierra correspondiente al ángulo π-θ0, s=R(π-θ0)
Tiempo de vuelo
Calculamos el instante de impacto empleando la ecuación de Kepler
- Se calcula el tiempo t0 para posición angular π
- Se calcula el tiempo t1 para posición θ0
Dada la posición angular θ, determinamos el ángulo E mediante las relaciones
Dependiendo del signo del seno y del coseno, se determina el cuadrante y se calcula el ángulo E. Sustituyendo en la ecuación de Kepler, obtenemos Me
Conocido Me, obtenemos el tiempo τ hasta que impacta en la superficie de la Tierra
Desde una altura h=2000 km, lanzamos un proyectil con velocidad v0=2000 m/s en la dirección tangencial. Calculamos el tiempo de vuelo y el alcance
R=6371*1000; %radio de la Tierra M=5.972e24; %masa de la Tierra G=6.674e-11; %constante G h=2000*1000; %altura de disparo r0=R+h; %desde el centro de la Tierra hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra %trayectoria en el exterior v0=2*1000; %velocidad de disparo d=r0^2*v0^2/(G*M); e=sqrt(1+r0*v0^2*(r0*v0^2-2*G*M)/(G*M)^2); E=v0^2/2-G*M/r0; r=@(x) d./(1+e*cos(x)); plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R, 'r','lineStyle','--') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') %punto de impacto th_0=acos((d-R)/(R*e)); plot (cos(th_0),sin(th_0),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R,'r') line([0,-r0/R],[0,0],'color','k','lineStyle','--') line([0,r(th_0)*cos(th_0)/R],[0,r(th_0)*sin(th_0)/R],'color','k','lineStyle','--') r1=(r0*v0)^2/(2*G*M-r0*v0^2); c=(r0-r1)/2; %semidistancia focal a=(r0+r1)/2; %semieje mayor th=pi; s_E=sqrt(1-e^2)*sin(th)/(1+e*cos(th)); c_E=(e+cos(th))/(1+e*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-e*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); th=th_0; s_E=sqrt(1-e^2)*sin(th)/(1+e*cos(th)); c_E=(e+cos(th))/(1+e*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t2=(E-e*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo es %2.1f min, alcance es %4.1f km\n' ,(t1-t2)/60,(pi-th_0)*R/1000) hold off axis equal
El tiempo de vuelo es 14.0 min, alcance es 1532.5 km
Actividades
Se introduce
- La altura en kilómetros sobre la superficie de la Tierra desde la que lanzamos un proyectil, perpendicularmente a la dirección radial, en el control titulado Altura (km)
- La velocidad con que se lanza el proyectil, en el control titulado Velocidad (m/s).
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se representa la trayectoria seguida por el proyectil. Si impacta en la superficie de la Tierra, se calcula el alcance o longitud del arco del meridiano terrestre comprendido entre la dirección radial de disparo y la dirección radial de impacto.
Ejemplos:
Comprobamos que un proyectil disparado horizontalmente en lo alto de una montaña situada en el polo Norte, no puede caer más allá del polo Sur. Si se le proporciona una velocidad adicional el proyectil rodeará la Tierra.
Para comprobarlo, introducir los siguientes datos en los respectivos controles
- Altura 30000 km
- Velocidad de disparo 1808 y 1809 m/s
Calculamos la velocidad de disparo para que el proyectil describa una trayectoria circular de altura h=20000 km
- Masa de la Tierra M=5.98·1024 kg
- Radio de la Tierra, R=6.37·106 m
- Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Cuando la altura es pequeña, por ejemplo 20 km o menos, la superficie de la Tierra aparece plana, la trayectoria elíptica se aproxima a la parábola que describe un cuerpo bajo la aceleración constante de la gravedad. Calculamos el alcance aplicando las ecuaciones del tiro parabólico.
Un proyectil se dispara desde una altura de h=20 km, con una velocidad de v=30 m/s, calcular el alcance. Tómese g=9.8 m/s2
Trayectoria interior
Una vez que el móvil se encuentra en P, sigue una trayectoria elíptica bajo la acción de una fuerza atractiva proporcional a la distancia al centro de la Tierra
La posición de la partícula respecto del tiempo es
Las componentes de la velocidad de la partícula son
Las constantes Ax, Ay, Bx y By se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, el proyectil entra en la Tierra en la posición xp=Rcosθ0, yp=Rsinθ0, con velocidades
Los coeficientes valen
La intersección entre la trayectoria elíptica y la circunferencia de radio R nos proporciona el tiempo t1 que tarda el proyectil en salir del interior de la Tierra. La ecuación de la circunferencia es, x2+y2=R2
En el siguiente script representamos en color rojo la trayectoria seguida por un proyectil que es disparado con velocidad de 3.70 km/s desde una altura de 2700 km, la línea a puntos completa la trayectoria elíptica que seguiría el proyectil si la Tierra fuese una masa puntual. El punto de color rojo señala el impacto del proyectil sobre la superficie de la Tierra cuya posición angular es θ0.
Una vez que llega a la superficie, el proyectil describe una porción de trayectoria elíptica girada, señalada en color negro en la figura. La trayectoria del proyectil en el interior de la Tierra se representa mediante una línea continua. La variable t1 guarda el tiempo que tarda en alcanzar la superficie de la Tierra desde el interior
R=6371*1000; %radio de la Tierra M=5.972e24; %masa de la Tierra G=6.674e-11; %constante G h=2700*1000; %altura de disparo r0=R+h; %desde el centro de la Tierra hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra %trayectoria en el exterior v0=3.70*1000; %velocidad de disparo d=r0^2*v0^2/(G*M); e=sqrt(1+r0*v0^2*(r0*v0^2-2*G*M)/(G*M)^2); E=v0^2/2-G*M/r0; r=@(x) d./(1+e*cos(x)); plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R, 'r','lineStyle','--') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') %punto de impacto th_0=acos((d-R)/(R*e)); plot (cos(th_0),sin(th_0),'o','markersize',4,'markeredgecolor','r', 'markerfacecolor','r') ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R,'r') %velocidades vp=sqrt(v0^2+2*G*M*(1/R-1/r0)); v_th=r0*v0/R; vr=sqrt(vp^2-v_th^2); %trayectoria en el interior de la Tierra vx=vr*cos(pi-th_0)+v_th*sin(pi-th_0); vy=-vr*sin(pi-th_0)+v_th*cos(pi-th_0); w=sqrt(G*M/R^3); Ax=vx/w; Ay=vy/w; Bx=R*cos(th_0); By=R*sin(th_0); %tiempo hasta que llega a la superficie t1=(atan(2*(Ax*Bx+Ay*By)/(R^2-(vp/w)^2))+pi)/w; fplot(@(t) (Ax*sin(w*t)+Bx*cos(w*t))/R, @(t) (Ay*sin(w*t)+By*cos(w*t))/R, [0,2*pi/w], 'lineStyle','--','color','k') fplot(@(t) (Ax*sin(w*t)+Bx*cos(w*t))/R, @(t) (Ay*sin(w*t)+By*cos(w*t))/R, [0,t1],'color','k') hold off axis equal
Ecuación de la trayectoria interior
Vamos a dibujar la trayectoria del proyectil en el interior de la Tierra usando ecuación de la trayectoria en coordenadas polares
Donde E' es la energía E del proyectil disparado más una cantidad adicional
Se calcula el ángulo φ0 a partir de la posición de partida (R, θ0). El punto P de impacto que se ha producido cuando r=R, en la posición angular θ0 ya calculado en la sección anterior y que es el punto de entrada del proyectil en el interior de la Tierra
La intersección de esta trayectoria con la superficie esférica, se produce para el ángulo θ1, que es la posición angular de salida del proyectil de la Tierra. Dado que para θ=θ0, r=R y para θ=θ1, r=R, se tendrá que cumplir que
Creamos un script alternativo para representar las trayectorias de la figura al principio de este apartado
R=6371*1000; %radio de la Tierra M=5.972e24; %masa de la Tierra G=6.674e-11; %constante G h=2700*1000; %altura de disparo r0=R+h; %desde el centro de la Tierra hold on plot (-r0/R,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') %trayectoria en el exterior v0=3.70*1000; %velocidad de disparo d=r0^2*v0^2/(G*M); e=sqrt(1+r0*v0^2*(r0*v0^2-2*G*M)/(G*M)^2); E=v0^2/2-G*M/r0; r=@(x) d./(1+e*cos(x)); %intersección th_0=acos((d-R)/(R*e)); plot (cos(th_0),sin(th_0),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R,'r') %trayectoria en el interior Ep=E+3*G*M/(2*R); ep=sqrt(1-G*M*(r0*v0)^2/(R^3*Ep^2)); dp=(r0*v0)^2/Ep; phi_0=th_0-acos((dp-R^2)/(ep*R^2))/2; th_1=2*phi_0-th_0; ang=(th_1*180/pi:th_0*180/pi)*pi/180; r2=@(x) dp./(1+ep*cos(2*(x-phi_0))); plot(sqrt(r2(ang)).*cos(ang)/R, sqrt(r2(ang)).*sin(ang)/R,'k') ang=(th_0*180/pi:360+th_1*180/pi)*pi/180; plot (cos(th_1),sin(th_1),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') hold off axis equal
Trayectorias exteriores e interiores
Una vez que hemos aprendido a trazar y conectar una trayectoria exterior a la Tierra y una trayectoria interior, vamos a continuar el proceso de forma indefinida tal como se muestra en la figura.
Vamos a resumir los pasos
-
Trayectoria inicial exterior
- Trayectoria interior
-
Trayectoria exterior
-
Se vuelve a la trayectoria interior con θ0=θ2 y así, sucesivamente
Donde el ángulo φe se determina a partir de la posición de partida que en nuestro caso es: θ=π, r=r0, por lo que φe=0
Cuando el proyectil impacta en la superficie de la Tierra, el ángulo θ0 para el que r=R es
La posición (R, θ0) es la posición de partida para la trayectoria interior
Donde E' es la energía E del proyectil disparado más una cantidad adicional necesaria para ajustar el nivel cero de energía potencial en el infinito
El ángulo φi se determina a partir de la posición inicial de esta trayectoria (R, θ0)
La otra intersección de la trayectoria interior con la superficie de la Tierra r=R, marca el final de la trayectoria interior y el comienzo de la exterior
El ángulo φe se determina a partir de la posición inicial (R, θ1). Teniendo en cuenta que arccos(k)=±θ (en este caso, tomamos el signo negativo)
La otra intersección de la trayectoria interior con la superficie de la Tierra r=R, marca el final de la trayectoria exterior y el comienzo de la interior
R=6371*1000; %radio de la Tierra M=5.972e24; %masa de la Tierra G=6.674e-11; %constante G h=2700*1000; %altura de disparo r0=R+h; %desde el centro de la Tierra hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (-r0/R,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b', 'markerfacecolor','b') %trayectoria en el exterior v0=3.70*1000; %velocidad de disparo d=r0^2*v0^2/(G*M); e=sqrt(1+r0*v0^2*(r0*v0^2-2*G*M)/(G*M)^2); E=v0^2/2-G*M/r0; %trayectoria en el interior Ep=E+3*G*M/(2*R); ep=sqrt(1-G*M*(r0*v0)^2/(R^3*Ep^2)); dp=(r0*v0)^2/Ep; %trayectoria exterior (inicial) th_0=acos((d-R)/(R*e)); r=@(x) d./(1+e*cos(x)); ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R,'r') for i=1:6 %trayectoria interior phi_i=th_0-acos((dp-R^2)/(ep*R^2))/2; th_1=2*phi_i-th_0; ang=(th_1*180/pi:th_0*180/pi)*pi/180; r2=@(x) dp./(1+ep*cos(2*(x-phi_i))); plot(sqrt(r2(ang)).*cos(ang)/R, sqrt(r2(ang)).*sin(ang)/R,'k') %trayectoria exterior phi_e=th_1+acos((d-R)/(R*e)); th_2=2*phi_e-th_1-2*pi; r=@(x) d./(1+e*cos(x-phi_e)); ang=(th_2*180/pi:th_1*180/pi)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang)/R, r(ang).*sin(ang)/R,'r') th_0=th_2; end hold off axis equal axis off
Mediante el siguiente script podremos cambiar fácilmente los parámetros (d', ε', d, ε) de la trayectoria interior y exterior y observamos el resultado. Para reproducir la figura anterior ponemos los parámetros d y d' en unidades del radio de la Tierra R. Definimos los ángulos
Para cada iteracción i, calculamos los ángulos, φi y θ1 de la trayectoria interior
los ángulos, φe y θ2 de la trayectoria exterior
hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') %trayectoria en el interior ep=0.6788; %excentricidad dp=0.4891; %parámetro d %trayectoria en el exterior e=0.6884; %excentricidad d=0.4436; %parámetro d n=6; delta_p=acos((dp-1)/ep)/2; delta=acos((d-1)/e); %trayectoria exterior (inicial) th_0=delta; r=@(x) d./(1+e*cos(x)); ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang), r(ang).*sin(ang),'r') th_2=th_0; for i=1:n %trayectoria interior phi_i=th_0-(2*i-1)*delta_p+2*(i-1)*delta-2*(i-1)*pi; %th_0-delta_p; th_1=th_0-2*i*delta_p+2*(i-1)*delta-2*(i-1)*pi; %2*phi_i-th_0; ang=(th_1*180/pi:th_2*180/pi)*pi/180; r2=@(x) dp./(1+ep*cos(2*(x-phi_i))); plot(sqrt(r2(ang)).*cos(ang), sqrt(r2(ang)).*sin(ang),'k') %trayectoria exterior phi_e=th_0-2*i*delta_p+(2*i-1)*delta-2*(i-1)*pi; th_2=th_0-2*i*delta_p+2*i*delta-2*i*pi; %2*phi_e-th_1-2*pi; r=@(x) d./(1+e*cos(x-phi_e)); ang=(th_2*180/pi:th_1*180/pi)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang), r(ang).*sin(ang),'r') end hold off axis equal axis off
Trayectorias cerradas
El eje de la primera trayectoria exterior es horizontal, tiene un ángulo φe=0. Para que la trayectoria se cierre, el ángulo del eje φe de la trayectoria exterior tiene que ser un múltiplo de 2π, φe=-2nπ. Teniendo en cuenta que el ángulo θ0=δ
Si elegimos modificar el parámetro d de la trayectoria exterior
Por ejemplo, queremos que la trayectoria se cierre en la última iteracción, cuando i=n
hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') %trayectoria en el interior ep=0.6788; %excentricidad dp=0.4891; %parámetro d %trayectoria en el exterior e=0.6884; %excentricidad d=0.4436; %parámetro d n=6; delta_p=acos((dp-1)/ep)/2; d=1+e*cos(delta_p+pi/n); %para que se cierre la trayectoria delta=acos((d-1)/e); %trayectoria exterior (inicial) th_0=delta; r=@(x) d./(1+e*cos(x)); ang=(th_0*180/pi:180)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang), r(ang).*sin(ang),'r') th_2=th_0; for i=1:n %trayectoria interior phi_i=th_0-(2*i-1)*delta_p+2*(i-1)*delta-2*(i-1)*pi; %th_0-delta_p; th_1=th_0-2*i*delta_p+2*(i-1)*delta-2*(i-1)*pi; %2*phi_i-th_0; ang=(th_1*180/pi:th_2*180/pi)*pi/180; r2=@(x) dp./(1+ep*cos(2*(x-phi_i))); plot(sqrt(r2(ang)).*cos(ang), sqrt(r2(ang)).*sin(ang),'k') %trayectoria exterior phi_e=th_0-2*i*delta_p+(2*i-1)*delta-2*(i-1)*pi; th_2=th_0-2*i*delta_p+2*i*delta-2*i*pi; %2*phi_e-th_1-2*pi; r=@(x) d./(1+e*cos(x-phi_e)); ang=(th_2*180/pi:th_1*180/pi)*pi/180; plot(r(ang).*cos(ang), r(ang).*sin(ang),'r') end hold off axis equal axis off
Referencias
W. Dean Pesnell. The flight of Newton's cannonball. Am. J. Phys. 86 (5) May 2018, pp. 338-343
H. X. Jiang, J. Y. Lin. Precession of Kepler's orbit. Am. J. Phys. 53(7) July 1985, pp. 694-695